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東大数理院試過去問解答例(2025B08)

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ここでは東大数理の修士課程の院試の2025B08の解答例を解説していきます。解答例はあくまでも例なので、最短・最易の解答とは限らないことにご注意ください。またこの解答を信じきってしまったことで起こった不利益に関しては一切の責任を負いませんので、参照する際は慎重に慎重を重ねて議論を追ってからご参照ください。また誤り・不適切な記述・非自明な箇所などがあればコメントで指摘していただけると幸いです。

2025B08

S(r)Rnの球面
S(r):={(x1,,xn)Rn|x12++xn2=r2}
とおく。またΩk(Rn)Rn上のCk形式全体とする。以下の問いに解答しなさい。

  1. 任意のωΩn1(Rn)に対して積分
    1rn|S(r)ω|
    r+0で有限の値に収束することを示しなさい。
  2. kを正定数とする。任意のωΩn1(Rn)に対して積分
    1ra|S(r)x1kω|
    r+0で収束するような実数aの範囲を求めなさい。
  1. まず極座標表示
    x1=scosθ1
    x2=ssinθ1cosθ2
    x3=ssinθ1sinθ2cosθ3

    xn=scosθ1sinθn1
    を取り、
    dω=f(x1,,xn)dx1dxn
    g(s,θ1,,θn1)=f(x1,,xn)
    B(r)={(x1,,xn)Rn|x12++xn2r2}
    とおくと、問題の積分は
    1rnB(r)gsn1sinn2θ1sinn3θ2sinθn2dsdθ1dθn
    と表される。この積分はあるC級関数G:RRを用いて
    1rn0rG(s)sn1ds=G(r)n1nrn0rH(s)snds
    と書ける。ここで第二項はr+00に収束するから、問題の積分はr+0G(0)nに収束する。よって結果が示せた。
  2. 問題の積分はストークスの定理から
    kB(r)x1k1dx1ω+B(r)x1kdω
    と表される。
     ここで積分
    I(2m1,f):=B(r)x12m1f(x)dx
    を考える。まず補題をf及びM=2に適用して
    f(x)=c+i=1ncixi+ijcijxixj+ijhij(x)xixj
    と表す。このとき
    I(2m1,f)=c1B(r)x12mdx+i,jB(r)hij(x)x12m1xixjdx
    と表される。ここで(1)で用いた極座標表示により、任意のan+2m+1に対して
    limr+0I(2m1,f)ra=limr+0c1raB(r)x12mdx
    は収束する。
     次に上記と同様に積分I(2m,f)を定義したとき、上の議論と同様に補題を用いてfを分解すると、I(2m,f)
    cB(r)x12mdx+i=1mci,iB(r)x12mxi2dx+B(r)x12mhij(x)dx
    とできる。このとき任意のan+2m+1に対して極限
    limr+0I(2m,f)ra=limr+0craB(r)x12mdx
    は有限値に収束することが分かる。
     以上から極限
    limr+0S(r)x1kωra
    は、ωの取り方に関わらず、kが偶数の時は任意のMn+k+1に対して、kが奇数のときは任意のMn+kに対して収束することが分かる。
     kが奇数とする。このとき
    ω=dx2dxn
    と置くと、考える極限は
    limr+0B(r)x1k1dxra
    であり、これはa>n+kに於いて発散する。
     一方kが偶数の時
    ω=x2dx1dx3dxn
    と置くと、これもa>n+k+1に於いて発散する。
     以上をまとめると極限が収束するようなaの範囲は
    {an+k+1(k2Z)an+k(k2Z)
    である。
多変数版テイラーの定理

f:RnRC級関数とする。このとき任意の自然数Mについて
f(x)=|α|M1α!|α|fxα(0)xα+|α|=Mhα(x)xα
limx0hα(x)=0
を満たす関数の族(hα:RnR)αが存在する。

投稿日:515
更新日:24日前
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藍色の日々。趣味の数学と院試の過去問の(間違ってるかもしれない雑な)解答例を上げていきます。リンクはX(旧Twitter)アカウント 

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