Askey-Wilson陪多項式1: Askey-Wilson関数による表示

前の記事 で, Askey-Wilson関数
\begin{align} R_{\alpha}(z)&=\frac{(abq^{\alpha},acq^{\alpha},adq^{\alpha},bcdq^{\alpha}/z;q)_{\infty}}{(bcq^{\alpha},bdq^{\alpha},cdq^{\alpha},azq^{\alpha};q)_{\infty}}\left(\frac az\right)^{\alpha}\\ &\qquad\cdot W(bcd/zq;b/z,c/z,d/z,abcdq^{\alpha-1},q^{-\alpha};zq/a)\\ S_{\alpha}(z)&=\frac{(abcdq^{2\alpha},bzq^{\alpha+1},czq^{\alpha+1},dzq^{\alpha+1},bcdzq^{\alpha};q)_{\infty}}{(bcq^{\alpha},bdq^{\alpha},cdq^{\alpha},q^{\alpha+1},bcdzq^{2\alpha+1};q)_{\infty}}(az)^{\alpha}\\ &\qquad\cdot W(bcdzq^{2\alpha};bcq^{\alpha},bdq^{\alpha},cdq^{\alpha},q^{\alpha+1},zq/a;az) \end{align}
が漸化式
\begin{align} 2xh_{\alpha}(z)&=A_{\alpha}h_{\alpha+1}(z)+B_{\alpha}h_{\alpha}(z)+C_{\alpha}h_{\alpha-1}(z) \end{align}
の解になっていることを示した. ここで, $\displaystyle x=\frac{z+z^{-1}}2$
\begin{align} W(a;b_1,\dots,b_r;x)&:=\Q{r+3}{r+2}{a,\sqrt aq,-\sqrt aq,b_1,\dots,b_r}{\sqrt a,-\sqrt a,aq/b_1,\dots,aq/b_r}x\\ A_{\alpha}&:=\frac{a^{-1}(1-abq^{\alpha})(1-acq^{\alpha})(1-adq^{\alpha})(1-abcdq^{\alpha-1})}{(1-abcdq^{2\alpha-1})(1-abcdq^{2\alpha})}\\ C_{\alpha}&:=\frac{a(1-bcq^{\alpha-1})(1-bdq^{\alpha-1})(1-cdq^{\alpha-1})(1-q^{\alpha})}{(1-abcdq^{2\alpha-2})(1-abcdq^{2\alpha-1})}\\ B_{\alpha}&:=a+a^{-1}-A_{\alpha}-C_{\alpha} \end{align}
である.

定義

Askey-Wilson陪多項式(associated Askey-Wilson polynomial)$r_n^{\alpha}(x)$は漸化式
\begin{align} 2xr_n^{\alpha}(x)&=A_{n+\alpha}r_{n+1}^{\alpha}(x)+B_{n+\alpha}r_n^{\alpha}(x)+C_{n+\alpha}r_{n-1}^{\alpha}(x) \end{align}
と初期条件$r_{-1}^{\alpha}(x)=0, r_0^{\alpha}(x)=1$を満たすようなものとして定義される. これは$\alpha=0$のときAskey-Wilson多項式に一致することが分かる.

Askey-Wilson関数による表示

$R_{n+\alpha}(x), S_{n+\alpha}(x)$は上の方程式の2つの独立な解であるから,
\begin{align} r_n^{\alpha}(x)=L_{\alpha}R_{n+\alpha}(z)+M_{\alpha}S_{n+\alpha}(z) \end{align}
となるような$n$によらない$L_{\alpha},M_{\alpha}$がある. $n=-1,0$を代入すると

\begin{align} 0&=L_{\alpha}R_{\alpha-1}(z)+M_{\alpha}S_{\alpha-1}(z)\\ 1&=L_{\alpha}R_{\alpha}(z)+M_{\alpha}S_{\alpha}(z) \end{align}
となるから, これを解いて,
\begin{align} L_{\alpha}&=W_{\alpha}^{-1}S_{\alpha-1}(z)\\ M_{\alpha}&=-W_{\alpha}^{-1}R_{\alpha-1}(z) \end{align}
となる. ここで,
\begin{align} W_{\alpha}=R_{\alpha}(z)S_{\alpha-1}(z)-S_{\alpha}(z)R_{\alpha-1}(z) \end{align}
である. Askey-Wilson関数が満たす漸化式を用いると
\begin{align} W_{\alpha+1}&=R_{\alpha+1}(z)S_{\alpha}(z)-S_{\alpha+1}(z)R_{\alpha}(z)\\ &=-\frac{C_{\alpha}}{A_{\alpha}}(R_{\alpha-1}(z)S_{\alpha}(z)-S_{\alpha-1}(z)R_{\alpha}(z))\\ &=\frac{C_{\alpha}}{A_{\alpha}}W_{\alpha}\\ &=\frac{a^2(1-bcq^{\alpha-1})(1-bdq^{\alpha-1})(1-cdq^{\alpha-1})(1-q^{\alpha})(1-abcdq^{2\alpha})}{(1-abcdq^{2\alpha-2})(1-abq^{\alpha})(1-acq^{\alpha})(1-adq^{\alpha})(1-abcdq^{\alpha-1})}W_{\alpha} \end{align}
となる. よって, $V_{\alpha}=a^{-2\alpha}W_{\alpha}$とすると,
\begin{align} V_{\alpha+1} &=\frac{(1-bcq^{\alpha-1})(1-bdq^{\alpha-1})(1-cdq^{\alpha-1})(1-q^{\alpha})(1-abcdq^{2\alpha})}{(1-abcdq^{2\alpha-2})(1-abq^{\alpha})(1-acq^{\alpha})(1-adq^{\alpha})(1-abcdq^{\alpha-1})}V_{\alpha} \end{align}
となるので, これを繰り返し用いて,
\begin{align} V_{\alpha}&=\frac{(abq^{\alpha},acq^{\alpha},adq^{\alpha},abcdq^{\alpha-1};q)_n}{(bcq^{\alpha-1},bdq^{\alpha-1},cdq^{\alpha-1},q^{\alpha};q)_n}\frac{1-abcdq^{2\alpha-2}}{1-abcdq^{2\alpha+2n-2}}V_{n+\alpha} \end{align}
となる. ここで, $n\to\infty$とすると,
\begin{align} V_{\alpha}=\frac{(abq^{\alpha},acq^{\alpha},adq^{\alpha},abcdq^{\alpha-1};q)_{\infty}}{(bcq^{\alpha-1},bdq^{\alpha-1},cdq^{\alpha-1},q^{\alpha};q)_{\infty}}(1-abcdq^{2\alpha-2})\lim_{n\to\infty}V_{n+\alpha} \end{align}
を得る. ここで,
\begin{align} \lim_{n\to\infty}V_{n+\alpha}&=\lim_{n\to\infty}a^{-2(n+\alpha)}(R_{n+\alpha}(z)S_{n+\alpha-1}(z)-S_{n+\alpha}(z)R_{n+\alpha-1}(z))\\ &=a^{-1}\bigg(z^{-1}W(bcd/zq;b/z,c/z,d/z,abcdq^{n+\alpha-1},q^{-n-\alpha};zq/a))\\ &\qquad\cdot W(bcdzq^{2n+2\alpha-2};bcq^{n+\alpha-1},bdq^{n+\alpha-1},cdq^{n+\alpha-1},q^{n+\alpha},zq/a;az)\\ &\qquad-zW(bcd/zq;b/z,c/z,d/z,abcdq^{n+\alpha-2},q^{-n-\alpha+1};zq/a))\\ &\qquad\cdot W(bcdzq^{2n+2\alpha};bcq^{n+\alpha},bdq^{n+\alpha},cdq^{n+\alpha},q^{n+\alpha-1},zq/a;az)\bigg)\\ &=a^{-1}(z^{-1}-z)\frac{(z^2q;q)_{\infty}}{(az;q)_{\infty}}W(bcd/zq;b/z,c/z,d/z;z^2) \end{align}
Rogersの和公式 より
\begin{align} W(bcd/zq;b/z,c/z,d/z;z^2)&=\frac{(bcd/z,bz,cz,dz;q)_{\infty}}{(bc,bd,cd,z^2;q)_{\infty}} \end{align}
となるから,
\begin{align} \lim_{n\to\infty}V_{n+\alpha}&=\frac 1{az}\frac{(bcd/z,bz,cz,dz;q)_{\infty}}{(az,bc,bd,cd;q)_{\infty}} \end{align}
を得る. よって,
\begin{align} W_{\alpha}&=\frac{a^{2\alpha-1}}{z}\frac{(bcd/z,bz,cz,dz,abq^{\alpha},acq^{\alpha},adq^{\alpha},abcdq^{\alpha-1};q)_{\infty}}{(az,bc,bd,cd,bcq^{\alpha-1},bdq^{\alpha-1},cdq^{\alpha-1},q^{\alpha};q)_{\infty}}(1-abcdq^{2\alpha-2}) \end{align}
となる. よって以下の明示公式を得る.