Ramanujan-Sato 級数の級数変形による証明
はじめに
どうも, 色数です.
最近は忙しくてあまり記事を上げれていませんでしたが, 進捗はいくつかあったのでそのうちの$1$つを紹介します.
数学を始めて最初に見た級数が Ramanujan による $\frac{1}{\pi}$ の級数表示だったので, それの類似の$1$つを示せたのは嬉しかったです.
内容
今回示す等式は次のやつです.
最初見たときは意味不明でした.
\begin{equation} \frac{16}{\pi}=\sum_{n=0}^\infty(42n+5)\frac{\binom{2n}{n}^3}{2^{12n}} \end{equation}
証明
\begin{align} \sum_{n=0}^\infty\frac{\binom{2n}{n}^2}{(n-\frac{1}{2})^22^{4n}}=\frac{16}{\pi} \end{align}
超幾何級数の変換を使って潰します.
\begin{align} LHS&=4\sum_{n=0}^\infty\frac{(-\frac{1}{2})_{n}^2}{n!^2}\\\\ &=4{}_2F_1\left[\begin{aligned}-\frac{1}{2}&,-\frac{1}{2}\\&1\end{aligned};1\right]\\ &=4\frac{\Gamma(1)\Gamma(2)}{\Gamma(\frac{3}{2})^2}\\ &=\frac{16}{\pi} \end{align}
本題を示します.
$\displaystyle f_k(n)\coloneqq\sum_{n< m}\frac{(a)_m^2}{(a+m-1)^k(2a)_{n+m}^2}$とおく.
\begin{align}
\frac{(a)_n^2}{(2a)_{2n}^2}&=\sum_{n< m}\left(\frac{(a)_{m-1}^2}{(2a)_{n+m-1}^2}-\frac{(a)_m^2}{(2a)_{n+m}^2}\right)\\
&=\sum_{n< m}\frac{(a)_m^2}{(2a)_{n+m}^2}\frac{2(a+n)(a+m-1)+(a+n)^2}{(a+m-1)^2}\\
&=2(a+n)f_1(n)+(a+n)^2f_2(n)
\end{align}
同様にして,
\begin{align}
\frac{(a)_n(a)_{n+1}}{(2a)_{2n}^2}&=\sum_{n< m}\left(\frac{(a)_m(a)_{m-1}}{(2a)_{n+m-1}^2}-\frac{(a)_m(a)_{m+1}}{(2a)_{n+m}^2}\right)\\
&=\sum_{n< m}\frac{(a)_m(a)_{m+1}}{(2a)_{n+m}^2}\frac{(2a+2n-1)(a+m-1)+(a+n)^2}{(a+n)(a+m-1)}\\
&=(2a+2n-1)f_0(n)+(a+n)^2f_1(n)
\end{align}
が得られる.
さらに,
\begin{align}
f_0(n)&=\sum_{n< m}\frac{(a)_m^2}{(2a)_{n+m}^2}\\
&=\sum_{n\le m}\frac{(a)_m^2}{(2a)_{n+m}^2}-\frac{(a)_n^2}{(2a)_{2n}^2}\\
&=\sum_{n< m}\frac{(a)_{m-1}^2}{(2a)_{n+m-1}}-\frac{(a)_n^2}{(2a)_{2n}^2}\\
&=\sum_{n\le m}\frac{(a)_{m-1}^2}{(2a)_{n+m-1}^2}-\frac{(a)_n^2}{(2a)_{2n}^2}-\frac{(a)_{n-1}^2}{(2a)_{2n-1}^2}\\
&=f_2(n-1)-\frac{(a)_n^2}{(2a)_{2n}^2}-\frac{(a)_{n-1}^2}{(2a)_{2n-1}^2}
\end{align}
という $f_0$ を $f_2$ で表示する方法を得る.
以上をまとめると,
\begin{align}
2(a+n)f_1(n)+(a+n)^2f_2(n)&=\frac{(a)_n^2}{(2a)_{2n}^2}\\
(2a+2n-1)f_0(n)+(a+n)^2f_1(n)&=\frac{(a)_n(a)_{n+1}}{(2a)_{2n}^2}\\
f_2(n-1)-\frac{(a)_n^2}{(2a)_{2n}^2}-\frac{(a)_{n-1}^2}{(2a)_{2n-1}^2}&=f_0(n)
\end{align}
これを $f_2$ について解き, 和をとることで,
\begin{align}
f_2(0)&=\sum_{n=1}^\infty\frac{(a)_{n+1}^3(a)_n}{(2a)_{2n}}\left(\frac{(a)_n^2}{(a+n)^2(2a)_{2n}^2}+\frac{2(2a+2n-1)(a)_n^2}{(a+n)^3(2a)_{2n}}+\frac{2(2a+2n-1)(a)_{n-1}^2}{(2a)_{2n-1}^2}\right)
\end{align}
となり, $a=1/2$ とし整理することで主張を示せる.
最後に
こういう $\frac{1}{\pi}\times\mathbb{Q}$ となる級数を最近余余余さんが導出していたのでそれらも今後考察していきたいです.
また, 今回導出した Ramanujan-Sato 級数は保型形式とも関連しているようなので, 子葉さんの記事などで勉強したいです.
謝辞
今回の記事は余余余さんからいくつもの気づきをいただきました.
深謝いたします.
余余余さん神✨まじイケメン✨✨✨
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