ホモロジー完全列

1. $H_n(C_{*})$における完全性（つまり，$\operatorname{Ker} p_{*}=\Im i_{*}$となること．）
   チェイン複体の完全性から$p_{n}\circ i_{n} = 0\ (\forall n \in \mathbb{N})$で，チェイン写像に対し誘導準同型を対応させる対応は自然性をもつから$p_{*}\circ i_{*}=0$ である．よって， $\Im i_{*} \subset \operatorname{Ker}p_{*}$が成り立つ．次に$\operatorname{Ker}p_{*}\subset \Im i_{*}$を示す．$[u]\in\operatorname{Ker}p_{*}$を任意に取る．このとき，$u\in Z_{n}(C_{*})=\operatorname{Ker}\partial_{n}$である．$[p_{n}(u)]=p_{*}([u]) = 0 \in H_{n}(C_{*}^{\prime\prime}) = \operatorname{Ker}\partial_{n}^{\prime\prime}/\Im\partial_{n+1}^{\prime\prime} $となるから，$p_{n}(u) \in \Im\partial_{n+1}^{\prime\prime}$が成り立つ．したがって，ある$v^{\prime\prime}\in C_{n+1}^{\prime\prime}$が存在して，$p_{n}(u) = \partial_{n+1}^{\prime\prime}(v^{\prime\prime})$が成り立つ．また$p_{n+1}: C_{n+1}\to C_{n+1}^{\prime\prime}$は全射なので，ある$v\in C_{n+1}$が存在して，$p_{n+1}(v)=v^{\prime\prime}$が成り立つ．ここで$u-\partial_{n+1}(v)$について考える．$\partial_{n+1}(v)\in \Im\partial_{n+1}\subset \operatorname{Ker}\partial_{n}$だから$u-\partial_{n+1}(v)\in\operatorname{Ker}\partial_{n}$である．さらに$[\partial_{n+1}(v)]=0$に注意すれば，$[u]=[u-\partial_{n+1}(v)]$である．図式\begin{xy}\xymatrix{ \ar[r] & C_{n+1} \ar[d]_{\partial_{n+1}} \ar[r]^{p_{n+1}} & C_{n+1}^{\prime \prime}\ar[r] \ar[d]_{\partial_{n+1}^{\prime\prime}}&\\ \ar[r] & C_{n} \ar[r]^{p_{n}} & C_{n}^{\prime \prime}\ar[r] & } \end{xy}
   の可換性と$v,v^{\prime\prime}$の決め方から，\begin{align*} p_{n}(u-\partial_{n+1}(v)) &= p_{n}(u)-p_{n}\circ\partial_{n+1}(v)\\ &=p_{n}(u)-\partial_{n+1}^{\prime\prime}\circ p_{n+1}(v)\\ & = p_{n}(u) -\partial_{n+1}^{\prime\prime}(v^{\prime\prime})\\ &=0 \end{align*}よって，$u-\partial_{n+1}(v)\in\operatorname{Ker}p_{n}$である．チェイン複体の完全性から$\operatorname{Ker}p_{n}=\Im i_{n}$だから，$u-\partial_{n+1}(v)\in\Im i_{n}$となる．したがって，ある$u^{\prime}\in C_{n}^{\prime}$が存在して，$i_{n}(u^{\prime}) = u-\partial_{n+1}(v)$となる．$u\in Z_{n}(C_{*})=\operatorname{Ker}\partial_{n}$から，$\partial_{n}(u)=0$が成り立つことと，図式\begin{xy}\xymatrix{ \ar[r] & C_{n}^{\prime} \ar[d]_{\partial_{n}^{\prime}} \ar[r]^{i_{n}} & C_{n}^{}\ar[r] \ar[d]_{\partial_{n}^{}}&\\ \ar[r] & C_{n-1}^{\prime} \ar[r]^{i_{n-1}} & C_{n-1}^{}\ar[r] & } \end{xy}の可換性から\begin{align*} i_{n-1}\circ\partial_{n}^{\prime}(u^{\prime})&=\partial_{n}\circ i_{n}(u^{\prime}) \\ &=\partial_{n}(u-\partial_{n+1}(v))\\&=\partial_{n}(u)-\partial_{n}\circ\partial_{n+1}(v)\\ &=0\end{align*}となる．$i_{n-1}$は単射だから，$\partial_{n}^{\prime}(u^{\prime})=0$が成り立つ，すなわち，$u^{\prime}\in\Ker\partial_{n}^{\prime}$が成り立つ．したがって，\begin{align*} [u]&=[u-\partial_{n+1}(v)]\\&=[i_{n}(u)]\\&=i_{*}([u^{\prime}])\ \ \in\Im \ i_{*} \end{align*}以上で，$\Ker p_{*}=\Im i_{*}$が成り立つ．
2. $H_{n}(C_{*}^{\prime\prime})$における完全性（つまり，$\operatorname{Ker}\partial_{*}=\Im p_{*}$となること．）
   $\Im p_{*}\subset \Ker\partial_{*}$を示す． $x\in\Im p_{*}$を任意にとる．$x=p_{*}([u])\ ([u]\in H_{n}(C^{*}))$とかける．$u\in\Ker\partial_{n}$である．$\partial_n(u)=0=i_{n-1}(0)$となるから$\partial_{*}:H_{n}(C_{*}^{\prime\prime})\to H_{n-1}(C_{*}^{\prime})$ の定義に注意して，\begin{align*}\partial_{*}(x) &=\partial_{*}( p_{*}([u]))\\&=\partial_{*} [p_{n}(u)] \\ &=[ 0 ] \\&=0 \end{align*}よって，$x\in\Ker\partial_{*}$が成り立つ．$\Ker\partial_{*}\subset\Im p_{*}$を示す．$[u^{\prime\prime}]\in \Ker\partial_{*}$を任意に取る．このとき，$u^{\prime\prime}\in \Ker\partial_{n} $である．$p_{n}(u)=u^{\prime\prime}$を満たす$u\in C_{n}$と$i_{n-1}(u^{\prime}) = \partial_{n}(u)$を満たす$u^{\prime}\in\Ker\partial_{n-1}^{\prime}$がとれ，$\partial_{*}([u^{\prime\prime}]) = [u^{\prime}]$が成り立つ．$[u^{\prime}] =\partial_{*}([u^{\prime\prime}])=0\in H_{n-1}(C_{*}^{\prime})=\Ker\partial_{n-1}^{\prime}/\Im \partial_{n}^{\prime} $となるから，ある$v^{\prime}\in C_{n}^{\prime}$が存在して，$u^{\prime} = \partial_{n}^{\prime}(v^{\prime})$である．$u-i_{n}(v^{\prime})$について考える．図式\begin{xy}\xymatrix{ \ar[r] & C_{n}^{\prime} \ar[d]_{\partial_{n}^{\prime}} \ar[r]^{i_{n}} & C_{n}^{}\ar[r] \ar[d]_{\partial_{n}^{}}&\\ \ar[r] & C_{n-1}^{\prime} \ar[r]^{i_{n-1}} & C_{n-1}^{}\ar[r] & } \end{xy}
   の可換性と$u^{\prime},v^{\prime}$の決め方から\begin{align*}\partial_{n}(u-i_{n}(v^{\prime}))&=i_{n-1}(u^{\prime})-i_{n-1}\circ\partial_{n}^{\prime}(v^{\prime})\\&=i_{n-1}(u^{\prime} - \partial_{n}^{\prime}(v^{\prime})) \\&=0 \end{align*}よって，$u-i_{n}(v^{\prime})\in \Ker\partial_{n}$となる．$[u-i_{n}(v^{\prime})]\in H_{n}(C_{*})$を考えられる．$u$の決め方と，チェイン写像の列は完全だから$p_{n}\circ i_{n}=0$であることから，\begin{align*}[u^{\prime\prime}]&=[u^{\prime\prime}-0]\\ &=[p_{n}(u)-p_{n}\circ i_{n}(v^{\prime})] \\&=p_{*}([u-i_{n}(v^{\prime})]) \end{align*}したがって，$[u^{\prime\prime}] \in \Im p_{*}$となる．
3. $H_{n-1}(C_{*}^{\prime})$における完全性（つまり，$\operatorname{Ker}i_{*}=\Im \partial_{*}$となること．）
   $\Im\partial_{*}\subset\Ker i_{*}$を示す．$x\in\Im\partial_{*}$を任意にとる．$x=\partial_{*}([u^{\prime\prime}])\ ([u^{\prime\prime}]\in H_{n}(C_{*}))$とかける．このとき，$u^{\prime\prime}\in\Ker\partial_{n}^{\prime\prime}$である．$p_{n}(u)=u^{\prime\prime}$なる$u\in C_{n}$と$i_{n-1}(u^{\prime})=\partial_{n}(u)$となる$u^{\prime}\in\Ker\partial_{n-1}^{\prime}$をとる．このとき，\begin{align*} i_{*}(x) &= i_{*}\circ\partial_{*}([u^{\prime\prime}])\\ &=i_{*}([u^{\prime}])\\&=[i_{n-1}(u^{\prime})]\\&=[\partial_{n}(u)]\\ &=0 \end{align*}
   $\Ker i_{*}\subset\Im \partial_{*}$を示す．$[u^{\prime}]\in\Ker i_{*}$を任意に取る．$[i_{n-1}(u^{\prime})]=i_{*}([u^{\prime}])=0$が成り立つ．よって，$i_{n-1}(u^{\prime})\in\Im \partial_{n+1} $となる．ある$u\in C_{n}$が存在して，$i_{n-1}(u^{\prime}) =\partial_{n}(u)$を満たす．$u^{\prime\prime}:=p_{n}(u)$とおく．図式\begin{xy}\xymatrix{ \ar[r] & C_{n} \ar[d]_{\partial_{n}^{}} \ar[r]^{p_{n}} & C_{n}^{\prime\prime}\ar[r] \ar[d]_{\partial_{n}^{\prime\prime}}&\\ \ar[r] & C_{n-1} \ar[r]^{p_{n-1}} & C_{n-1}^{\prime\prime}\ar[r] & } \end{xy}の可換性と$u^{\prime}$の決め方から\begin{align*}\partial_{n}^{\prime\prime}(u^{\prime\prime})&=\partial_{n}^{\prime\prime}\circ p_{n}(u)\\&=p_{n-1}\circ\partial_{n}(u)\\&=p_{n-1}\circ i_{n-1} (u^{\prime})\\&=0\end{align*}したがって，$u^{\prime\prime}\in\Ker\partial_{n}^{\prime\prime}$となり，$[u^{\prime\prime}]$を考えられる．$\partial_{*}$の定義に注意すれば，\begin{align*}[u^{\prime}]=\partial_{*}([u^{\prime\prime}])\in\Im \partial_{*}\end{align*}
   となる．
4. $H_{0}(C_{*}^{\prime\prime})$における完全性$p_{*}:H_{0}(C_{*})\to H_{0}(C_{*}^{\prime\prime})$が全射であることを示せばよい．$[u^{\prime\prime}]\in H_{0}(C_{*}^{\prime\prime})$を任意にとる．このとき，$u^{\prime\prime}\in C_{0}^{\prime\prime}$である．チェイン複体の完全性から$p_{0}:C_{0}\to C_{0}^{\prime\prime}$は全射なので，$p_{0}(u)=u^{\prime\prime}$を満たす$u\in C_{0}$が取れる．$p_{*}([u])=([u^{\prime\prime}])$となるから，$p_{*}$は全射である．

連結準同型の自然性から，
\begin{xy}\xymatrix{ H_{n}(C_{*}^{\prime\prime}) \ar[d]_{f_{*}^{\prime\prime}} \ar[r]^{\partial_{*}} & H_{n-1}(C_{*}^{\prime\prime})\ar[d]_{f_{*}^{\prime}}\\ H_{n}(D_{*}^{\prime\prime}) \ar[r]^{\partial_{*}} & H_{n-1}(D_{*}^{\prime}) } \end{xy}
は可換であることから従う．

縦の列のチェイン複体\begin{xy} \xymatrix {0\ar[r] & A_{2}\ar[r]^{} & A_{1}\ar[r]^{} & A_{0}\ar[r] &0 } \end{xy}を$A_{*}$とし，\begin{xy}\xymatrix {0\ar[r] & B_{2}\ar[r]^{} & B_{1}\ar[r]^{} & B_{0}\ar[r] &0 } \end{xy}を$B_{*}$とし，\begin{xy}\xymatrix {0\ar[r] & C_{2}\ar[r]^{} & C_{1}\ar[r]^{} & C_{0}\ar[r] &0 } \end{xy}を$C_{*}$とする．すると，チェイン複体の短完全列$0\to A_{*}\to B_{*} \to C_{*}\to 0\ (\text{exact})$を考えることができる．したがって，ホモロジー完全列
\begin{xy} \xymatrix { 0 \ar[r]^{} & H_{2}(A_{*}) \ar[r]^{} & H_{2}(B^{}_{*})\ar[r]^{} &H_{2}(C^{}_{*}) & & \\ \ar[r]^{ } & H_{1}(A^{}_{*}) \ar[r]^{} & H_{1}(B_{*}) \ar[r]^{} & H_{1}(C_{*}^{}) && \\ \ar[r]^{} & H_{0}(A^{}_{*}) \ar[r]^{} & H_{0}(B_{*})\ar[r]^{} &H_{0}(C^{}_{*})\ar[r]&0 } \end{xy}を得ることができる．チェイン複体$A_{*},B_{*},C_{*}$のうち少なくとも$2$つは完全なので，$H_{i}(A_{*}),H_{i}(B_{*}),H_{i}(C_{*})$のうちいずれか$2$つは$0$となる．（$\Ker=\Im$となるのが完全の条件なので，$\Ker$を$\Im$で割った空間$H_{i}(*)=0$となる．）
$A_{*},B_{*}$が完全であるときについて図式を書くと，
\begin{xy} \xymatrix { 0 \ar[r]^{} & 0 \ar[r]^{} & 0\ar[r]^{} &H_{2}(C^{}_{*}) & & \\ \ar[r]^{ } & 0 \ar[r]^{} & 0 \ar[r]^{} & H_{1}(C_{*}^{}) && \\ \ar[r]^{} & 0 \ar[r]^{} & 0\ar[r]^{} &H_{0}(C^{}_{*})\ar[r]&0 } \end{xy}
となるので，$H_{i}(C_{*})=0 \ (i=0,1,2)$となる．すなわち，チェイン複体$C_{*}$は完全である．

省略

$f_{*}^{\prime},f_{*}^{\prime\prime}$のうち$2$つがホモロジー群の同型を誘導したとする．このとき，任意の$n\geq 0$について，可換図式

\begin{xy} \xymatrix { H_{n+1}(C_{*}^{\prime\prime})\ar[r]^{\partial_{*}}\ar[d]_{f_{*}^{\prime\prime}} & H_{n}(C_{*}^{\prime})\ar[r]^{i_{*}}\ar[d]_{f_{*}^{\prime}} & H_{n}(C_{*}^{})\ar[r]^{p_{*}}\ar[d]_{f_{*}} & H_{n}(C_{*}^{\prime\prime})\ar[r]^{\partial_{*}}\ar[d]_{f_{*}^{\prime\prime}} &H_{n-1}(C_{*}^{\prime }) \ar[d]_{f_{*}^{\prime}}\\ H_{n+1}(C_{*}^{\prime\prime}) \ar[r]^{\partial_{*}} & H_{n}(D_{*}^{\prime}) \ar[r]^{\iota_{*}} & H_{n}(D_{*}) \ar[r]^{\varpi_{*}} & H_{n}(D_{*}^{\prime \prime})\ar[r]^{\partial_{*}} &H_{n-1}(D_{*}^{\prime}) } \end{xy}
について横の列はホモロジー完全列だから，完全で，$f_{*}^{\prime\prime},f_{*}^{\prime}$は同型である．
$5$補題より，$f_{*}:H_{n}(C_{*})\to H_{n}(D_{*})$は同型となる．
$f_{*}^{},f_{*}^{\prime}$のうち$2$つがホモロジー群の同型を誘導したとする．

\begin{xy} \xymatrix { & H_{n}(C_{*}^{\prime})\ar[r]^{i_{*}}\ar[d]_{f_{*}^{\prime}} & H_{n}(C_{*}^{})\ar[r]^{p_{*}}\ar[d]_{f_{*}} & H_{n}(C_{*}^{\prime\prime})\ar[r]^{\partial_{*}}\ar[d]_{f_{*}^{\prime\prime}} &H_{n-1}(C_{*}^{\prime }) \ar[d]_{f_{*}^{\prime}}\ar[r]^{i_{*}}&H_{n-1}(C_{*}^{})\ar[d]_{f_{*}^{}}\\ & H_{n}(D_{*}^{\prime}) \ar[r]^{\iota_{*}} & H_{n}(D_{*}) \ar[r]^{\varpi_{*}} & H_{n}(D_{*}^{\prime \prime})\ar[r]^{\partial_{*}} &H_{n-1}(D_{*}^{\prime}) \ar[r]^{\iota_{*}}&H_{n-1}(C_{*}^{}) } \end{xy}
について，$5$補題より，$f_{*}^{\prime\prime}:H_{n}(C_{*}^{\prime\prime})\to H_{n}(D_{*}^{\prime\prime})$は同型

$f_{*}^{},f_{*}^{\prime\prime}$のうち$2$つがホモロジー群の同型を誘導したとする．
\begin{xy} \xymatrix {H_{n+1}(C_{*}^{}) \ar[r]^{p_{*}}\ar[d]_{f_{*}}& H_{n+1}(C_{*}^{\prime\prime})\ar[r]^{\partial_{*}}\ar[d]_{f_{*}^{\prime\prime}} & H_{n}(C_{*}^{\prime})\ar[r]^{i_{*}}\ar[d]_{f_{*}^{\prime}} & H_{n}(C_{*}^{})\ar[r]^{p_{*}}\ar[d]_{f_{*}} & H_{n}(C_{*}^{\prime\prime})\ar[d]_{f_{*}^{\prime\prime}} &\\ H_{n+1}(C_{*}^{}) \ar[r]^{\varpi_{*}}&H_{n+1}(C_{*}^{\prime\prime}) \ar[r]^{\partial_{*}} & H_{n}(D_{*}^{\prime}) \ar[r]^{\iota_{*}} & H_{n}(D_{*}) \ar[r]^{\varpi_{*}} & H_{n}(D_{*}^{\prime \prime}) } \end{xy}
について，$5$補題より，$f_{*}^{\prime}:H_{n}(C_{*}^{\prime})\to H_{n}(D_{*}^{\prime})$は同型