東大院試04-A3
問題
$xy$-平面$\mathbb{R}^2$の正方形
$$X=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2|0\leq x\leq 1, 0\leq y\leq 1\}$$
上の必ずしも連続でない関数$f:X\rightarrow \mathbb{R}$をとる．$X$の$2$点$p=(x_1,y_1),q=(x_2,y_2)$について
$$d(p,q)=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2+(f(p)-f(q))^2}$$
とおく．以下を証明せよ．
(1) $(X,d)$は距離空間である．
(2) $(X,d)$がコンパクトであることと，関数$f:X\rightarrow\mathbb{R}$が通常の位相（$\mathbb{R}^2$の部分空間としての位相）に関して連続であることは同値である．
復習
$X$を空でない集合とする．写像$d:X\times X\rightarrow\mathbb{R}$が次を満たすとき，$(X,d)$を距離空間という．
(1) 任意の$x,y\in X$に対して，$d(x,y)\ge 0$であり，
また，$x=y$と$d(x,y)=0$は同値である．
(2) 任意の$x,y\in X$に対して，$d(x,y)=d(y,x)$が成り立つ．
(3) 任意の$x,y,z\in X$に対して，$d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z)$が成り立つ．
等長写像$f:X\rightarrow Y$は連続である．
任意の$\varepsilon>0$に対して，$\delta=\varepsilon$とすれば，$d_X(p,q)<\delta\Rightarrow d_Y(f(p),f(q))<\varepsilon$が成り立つので連続．
解答
(1)簡単なので省略．
(2)$d(p,q)=d_{\mathbb{R}^3}((p,f(p)),(q,f(q)))$である．$G_f=((p,f(p))\in\mathbb{R}^3|p\in X)$とおく．$(X,d)\cong (G_f,d_{\mathbb{R}^3})$を確かめる．$F:X\rightarrow G_f$を$F(p)=(p,f(p))$で定める．全単射であることは明らか．$F,F^{-1}$は等長写像なので連続．よって$X$と$G_f$は同相．$G_f$について考えればよい．
$f$が連続の時，$id_{(X,d_{\mathbb{R}^2})}\times f:X\times X\rightarrow G_f$も連続で，$X$は$\mathbb{R}^2$の部分空間としてコンパクトなので，連続写像の像として$G_f$はコンパクト．
逆に，$G_f$がコンパクトの時，任意の$\mathbb{R}$の閉集合$C$について，$f^{-1}(C)=\pi_1(
(G_f\cap(\mathbb{R}^2\times C)))$なので（$\pi_1$は第1,2成分への射影），閉集合となり，連続であることが分かる．
