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東大院試04-A3

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問題

xy-平面R2の正方形
X={(x,y)R2|0x1,0y1}
上の必ずしも連続でない関数f:XRをとる.X2p=(x1,y1),q=(x2,y2)について
d(p,q)=(x1x2)2+(y1y2)2+(f(p)f(q))2
とおく.以下を証明せよ.
(1) (X,d)は距離空間である.
(2) (X,d)がコンパクトであることと,関数f:XRが通常の位相(R2の部分空間としての位相)に関して連続であることは同値である.

復習

距離空間

Xを空でない集合とする.写像d:X×XRが次を満たすとき,(X,d)を距離空間という.
(1) 任意のx,yXに対して,d(x,y)0であり,
また,x=yd(x,y)=0は同値である.
(2) 任意のx,yXに対して,d(x,y)=d(y,x)が成り立つ.
(3) 任意のx,y,zXに対して,d(x,z)d(x,y)+d(y,z)が成り立つ.

等長写像の連続性

等長写像f:XYは連続である.

任意のε>0に対して,δ=εとすれば,dX(p,q)<δdY(f(p),f(q))<εが成り立つので連続.

解答

(1)簡単なので省略.
(2)d(p,q)=dR3((p,f(p)),(q,f(q)))である.Gf=((p,f(p))R3|pX)とおく.(X,d)(Gf,dR3)を確かめる.F:XGfF(p)=(p,f(p))で定める.全単射であることは明らか.F,F1は等長写像なので連続.よってXGfは同相.Gfについて考えればよい.
fが連続の時,id(X,dR2)×f:X×XGfも連続で,XR2の部分空間としてコンパクトなので,連続写像の像としてGfはコンパクト.
逆に,Gfがコンパクトの時,任意のRの閉集合Cについて,f1(C)=π1((Gf(R2×C)))なので(π1は第1,2成分への射影),閉集合となり,連続であることが分かる.

投稿日:20241116
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投稿者

はじめまして!楽しい記事を書ければと思いますので、よろしくお願いします。

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