問題
-平面の正方形
上の必ずしも連続でない関数をとる.の点について
とおく.以下を証明せよ.
(1) は距離空間である.
(2) がコンパクトであることと,関数が通常の位相(の部分空間としての位相)に関して連続であることは同値である.
復習
距離空間
を空でない集合とする.写像が次を満たすとき,を距離空間という.
(1) 任意のに対して,であり,
また,とは同値である.
(2) 任意のに対して,が成り立つ.
(3) 任意のに対して,が成り立つ.
解答
(1)簡単なので省略.
(2)である.とおく.を確かめる.をで定める.全単射であることは明らか.は等長写像なので連続.よってとは同相.について考えればよい.
が連続の時,も連続で,はの部分空間としてコンパクトなので,連続写像の像としてはコンパクト.
逆に,がコンパクトの時,任意のの閉集合について,なので(は第1,2成分への射影),閉集合となり,連続であることが分かる.