東大院試04-A3

この著者は初心者として投稿しています。間違いや考慮が足りていない点が含まれている可能性が高いです。見つけたらコメント欄で優しく指摘してあげましょう。

問題

$x y$ -平面 $R^{2}$ の正方形
$X = {(x, y) \in R^{2} | 0 \leq x \leq 1, 0 \leq y \leq 1}$
上の必ずしも連続でない関数 $f : X \to R$ をとる． $X$ の $2$ 点 $p = (x_{1}, y_{1}), q = (x_{2}, y_{2})$ について
$d (p, q) = \sqrt{(x_{1} - x_{2})^{2} + (y_{1} - y_{2})^{2} + (f (p) - f (q))^{2}}$
とおく．以下を証明せよ．
(1) $(X, d)$ は距離空間である．
(2) $(X, d)$ がコンパクトであることと，関数 $f : X \to R$ が通常の位相（ $R^{2}$ の部分空間としての位相）に関して連続であることは同値である．

復習

距離空間

$X$ を空でない集合とする．写像 $d : X \times X \to R$ が次を満たすとき， $(X, d)$ を距離空間という．
(1) 任意の $x, y \in X$ に対して， $d (x, y) \geq 0$ であり，
また， $x = y$ と $d (x, y) = 0$ は同値である．
(2) 任意の $x, y \in X$ に対して， $d (x, y) = d (y, x)$ が成り立つ．
(3) 任意の $x, y, z \in X$ に対して， $d (x, z) \leq d (x, y) + d (y, z)$ が成り立つ．

等長写像の連続性

等長写像 $f : X \to Y$ は連続である．

任意の $ε > 0$ に対して， $δ = ε$ とすれば， $d_{X} (p, q) < δ \Rightarrow d_{Y} (f (p), f (q)) < ε$ が成り立つので連続．

解答

(1)簡単なので省略．
(2) $d (p, q) = d_{R^{3}} ((p, f (p)), (q, f (q)))$ である． $G_{f} = ((p, f (p)) \in R^{3} | p \in X)$ とおく． $(X, d) ≅ (G_{f}, d_{R^{3}})$ を確かめる． $F : X \to G_{f}$ を $F (p) = (p, f (p))$ で定める．全単射であることは明らか． $F, F^{- 1}$ は等長写像なので連続．よって $X$ と $G_{f}$ は同相． $G_{f}$ について考えればよい．
$f$ が連続の時， $i d_{(X, d_{R^{2}})} \times f : X \times X \to G_{f}$ も連続で， $X$ は $R^{2}$ の部分空間としてコンパクトなので，連続写像の像として $G_{f}$ はコンパクト．
逆に， $G_{f}$ がコンパクトの時，任意の $R$ の閉集合 $C$ について， $f^{- 1} (C) = π_{1} ((G_{f} \cap (R^{2} \times C)))$ なので（ $π_{1}$ は第1,2成分への射影），閉集合となり，連続であることが分かる．

投稿日：2024年11月16日

この記事を高評価した人

高評価したユーザはいません

この記事に送られたバッジ

バッジはありません。

バッチを贈って投稿者を応援しよう

バッチを贈ると投稿者に現金やAmazonのギフトカードが還元されます。

投稿者

くどくど橄欖石

2054

はじめまして！楽しい記事を書ければと思いますので、よろしくお願いします。

他の人のコメント

コメントはありません。

読み込み中

くどくど橄欖石

東大院試04-A3

問題
復習
解答