【高専生用】微分方程式の解法

0. 進度に合わせて追加していきます．

現在進行形で微分方程式の授業が行われているので，随時追加箇所があれば更新して追加していこうと思っています．
以下，微分方程式について説明していきますが，“解法”を軸として説明していきます．
あと，一階非斉次微分方程式についてはめんどくさいので書いてないです．
正直，代入して線形結合するだけだと思っているので．
2025/4/28 更新
初期値問題を追加
2025/5/20 更新
二階線形微分方程式を追加

1. 微分方程式とは

※$y$ : 変数 $y$
※$y(x)$ : $x$ の式　

“xについての関数 $ y = y(x) $ の導関数の間の関係式によって書かれる方程式”のことを「微分方程式」と言います．
つまり，$ y' + xy = 0 $ みたいな式のことを言います．
また，微分方程式において，関数 $ y = y(x) $ が微分方程式に当てはめて等式が成り立つとき，関数 $ y = y(x) $ は微分方程式の「解」と言います．

解には2種類あります．
「一般解」：$C$($C$は任意定数) のように書かれる関数 $y=y(x,C)$ みたいな関数です．
「特殊解」：任意定数といった表記がないような関数 $y=y(x)$ です．
つまり，任意定数という“都合のいい数”があるかないかっていう話です．
そうそう，積分定数みたいな感じね．

とりあえず「」がついている部分の単語を抑えておけばおｋ．

2. 一階微分方程式

はい．早速新しい単語出てきました．
「一階」：微分一回のみ（微分二回以上したものは出てこない）
つまり，一階微分方程式とは $y' - f(x)g(x) = 0$ となるような微分方程式です．
解き方に種類があるので，それぞれで見ていきます．

a.変数分離形

$y' - f(x)g(y) = 0$ となるような微分方程式を「変数分離形」の微分方程式と言います．
解き方は以下の通りです．

\begin{align} y' - f(x)g(y) &= 0 \\ \frac{dy}{dx} &= f(x)g(y) \\ \frac{1}{g(y)}dy &= f(x)dx \\ \int \frac{1}{g(y)}dy &= \int f(x)dx \end{align}
より $y$ についての式を導出します．

みたいな感じです．

b.同次形

$\dfrac{dy}{dx} = f \left( \dfrac{y}{x} \right)$ となるような微分方程式を「同時形」の微分方程式と言います．
この形の方程式は，$u = \dfrac{y}{x}$ すなわち $y = ux$ とすると，
$y' = u + u'x$ なので $\dfrac{du}{dx} = \dfrac{\frac{dy}{dx} - u}{x}$ ，
すなわち $\dfrac{du}{dx} = \dfrac{f(u) - u}{x}$ と変形できます．
このとき，変数分離形の微分方程式となって $y = y(x) = u(x)x$ を求めることができます．

みたいな感じです．

c.完全微分形

2変数関数 $P(x, y)$，$Q(x, y)$ によって
$P(x, y)dx + Q(x, y)dy = 0$ となる微分方程式を「完全微分形」の微分方程式と言います．
(正確にはこの微分方程式の解き方は「完全微分形」と「積分因子」とで分けられるのですが，「積分因子」を習わなさそうなのでこちらのみの紹介となります．)

この微分方程式の解は
\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} F_x(x, y) &= P(x, y) \\ F_y(x, y) &= Q(x, y) \end{array} \right. \quad \quad \cdot \cdot \cdot (*) \end{eqnarray}を満たす $F(x, y)$ です．
ここで一つ，以下を覚えておくと楽です．

一応証明を載せておきました．
それでは例題です．

少し式が長いですが頑張りましょう．

d.初期値問題

与えられた微分方程式において，
与えられた初期条件を満たす解を求めることを「初期値問題」と言います．
これは，例題をみたほうが分かりやすいと思います．

条件が付いている微分方程式は「特殊解」まで解く必要があるので注意が必要です．

3.二階線形微分方程式

二階微分方程式は，
\begin{align} y'' + P(x)y' + Q(x)y = R(x) \end{align}
の形をした微分方程式のことを指します．

この中で，二階線形微分方程式とは，
「二階」：微分二回のみ（微分三回以上したものは出てこない）
「線形」：$x^n$の係数が定数であること
を満たす微分方程式で，
\begin{align} y'' + py' + qy = R(x) \quad (p,q \, \text{ is const.}) \end{align}
の形をした微分方程式を指します．

この式を $\lambda$ を用いた特性方程式で解く方法を紹介します．

補助方程式 $y'' + py' + qy = 0 \quad (p,q \, \text{ is const.})$ の解の1つを
\begin{align} w(x) = C e^{\lambda x} \quad (C \text{ is arb.const.}) \end{align}
とすると，特性方程式 $\lambda ^2 + p \lambda + q = 0$ が得られます．（導出は簡単）
したがって，この特性方程式の解 $\lambda$ を求めたとき，元の微分方程式の一般解が求められます．
ここで，この特性方程式の解は2個あり，代入し計算すると以下のような形になります．

$ y = \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} C_1 e^{\lambda_1 x} + C_2 e^{\lambda_2 x} &\quad& \text{($\lambda_1,\lambda_2$ が異なる実数解のとき)} \\ e^{\lambda x}(C_1 x + C_2) &\quad& \text{($\lambda$ が重なる実数解のとき（重解）)} \\ e^{\alpha x}(C_1 \cos \beta x +C_2 \sin \beta x) &\quad& \text{($\lambda = \alpha \pm i\beta$，$\lambda$ が異なる共役な虚数解)} \end{array} \right. \end{eqnarray} $

ここで，$C_1, C_2, \alpha, \beta$ は実数定数です．
また，$\lambda$ が虚数解となるとき，オイラーの公式
\begin{align} e^{ix} = \cos x + \sin x \end{align}
を用いることで導出することができます．

ここから元の微分方程式 $y'' + py' + qy = R(x)$ を求める際に予想解を立てます．
ここの予想解が種類が多く存在します．

a.簡単な多項式

簡単と書きましたが，$\sin$ 関数や $\log$ 関数などの特殊なが含まれていない$n$次多項式のことを指します．
このような $R(x)$ の予想解は $R(x)$ と同じ次数を持つ多項式を予想解とすれば解けます．
ex.
$R(x) = 5x + 6$ のとき，$5x + 6$ より予想解は $ax + b$
$R(x) = 8x^2$ のとき，予想解は $ax^2 + bx + c$

b.$R(x) = Ae^{\lambda x}$ の形

これは，補助方程式の形によります．

この予想解の表を用いてもいいのですが，解の1つを $w(x)$ として $y = u(x)w(x)$ の形を考える方法もありますが，ここでは紹介しません．
気になる人は調べてみるといいと思います．

4.おわりに

自分が解説するのはここまでにしたいと思います．
一応自分のクラスメイト向けに作ったサイトなので，もっと気になる人は微分方程式や常微分方程式と書かれた本を読んでみるといいと思います．
それでは，お疲れさまでした！