ガウスの超幾何微分方程式のフロベニウスの解法と解の記録

$z=0$近傍の場合
\begin{eqnarray} &&y=\sum_{n=0}^{\infty}c_{n}x^{n+\lambda}\\ &&\frac{dy}{dx}=\sum_{n=0}^{\infty}\left(n+\lambda\right)c_{n}x^{n+\lambda-1}\\ &&\frac{d^{2}y}{dx^{2}}=\sum_{n=0}^{\infty}\left(n+\lambda\right)\left(n+\lambda-1\right)c_{n}x^{n+\lambda-2}\\ \end{eqnarray}
これらの事を超幾何微分方程式に代入してまとめると次の様にまとめられる。
\begin{eqnarray} &&\lambda\left(\lambda+c-1\right)c_{0}x^{\lambda-1}\\ &+&\sum_{n=0}^{\infty}[\left(n+\lambda+1\right)\left(n+\lambda+c\right)c_{n+1} \\ &-&\{\left(n+\lambda\right)\left(n+\lambda+a+b\right)+ab\}c_{n}]x^{n+\lambda}=0 \end{eqnarray}
\begin{eqnarray} \left \{ \begin{array}{l} \lambda\left(\lambda+c-1\right)=0\\ \left(n+\lambda+1\right)\left(n+\lambda+c\right)c_{n+1}=\{\left(n+\lambda+a\right)\left(n+\lambda+b\right)\}c_{n}\} \end{array} \right . \end{eqnarray}
$\lambda=0$の場合
\begin{equation} c_{n+1}=\frac{\left(a+n\right)\left(b+n\right)}{\left(c+n\right)\left(1+n\right)}c_{n}=\frac{\left(a,b\right)_{n}}{\left(c,1\right)_{n}} \end{equation}
$\lambda=1-c$の場合
\begin{equation} c_{n+1}=\frac{\left(a+1-c,b+1-c\right)_{n}}{\left(2-c,1\right)_{n}} \end{equation}
ゆえに超幾何微分方程式の解は次の様に書ける。
\begin{equation} y=A{}_{2}F_{1}\left(a,b;c|x\right)+Bx^{1-c}{}_{2}F_{1}\left(a+1-c,b+1-c;2-c|x\right) \end{equation}

$z=1$近傍の場合
$w=z-1$の様に変数変換する。すると、元の微分方程式は次のように書きなおせる。
\begin{equation} [-w\left(1+w\right)\frac{d^{2}}{dw^{2}}+\{c-\left(a+b+1\right)-\left(a+b+1\right)w\}\frac{d}{dw}-ab]y\left(w\right)=0 \end{equation}
解を$y=\sum_{n=0}^{\infty}c_{n}w^{n+\lambda}$と置き、今得た微分方程式に代入する。
\begin{eqnarray} &-&\lambda\left(\lambda-c+a+b\right)c_{0}z^{\lambda-1}\\ &+&\sum_{n=0}^{\infty}[-\left(n+\lambda+1\right)\left(n+\lambda-c+a+b+1\right)c_{n+1}-\left(n+\lambda+a\right)\left(n+\lambda+b\right)c_{n}]z^{n+\lambda}\\ &=&0 \end{eqnarray}
\begin{eqnarray} \left \{ \begin{array}{l} \lambda=0,c-a-b\\ c_{n}=\left(-1\right)^{n}\frac{\left(a+\lambda,b+\lambda\right)_{n}}{\left(a+b-c+\lambda+1,1+\lambda\right)_{n}} \end{array} \right . \end{eqnarray}
\begin{equation} y=A{}_{2}F_{1}\left(a,b;a+b-c+1|1-z\right)+B\left(z-1\right)^{c-a-b}{}_{2}F_{1}\left(c-a,c-b;c-a-b+1|1-z\right) \end{equation}

$z=\infty$近傍の場合
$w=\frac{1}{z}$の様に変数変換する。すると、元の微分方程式は次のように書きなおせる。
\begin{equation} [w^{2}\left(w-1\right)\frac{d^{2}}{dw^{2}}+\{\left(a+b-1\right)+\left(2-c\right)w\}w\frac{d}{dw}-ab]y\left(w\right)=0 \end{equation}
解を$y=\sum_{n=0}^{\infty}c_{n}w^{n+\lambda}$と置き、今得た微分方程式に代入する。
\begin{eqnarray} &-&\left(\lambda-a\right)\left(\lambda-b\right)c_{0}z^{\lambda-1}\\ &+&\sum_{n=0}^{\infty}[-\left(n+\lambda+1-a\right)\left(n+\lambda+1-b\right)c_{n+1}\\ &+&\left(n+\lambda\right)\left(n+\lambda-c+1\right)c_{n}]z^{n+\lambda}\\ &=&0 \end{eqnarray}
\begin{eqnarray} \left \{ \begin{array}{l} \lambda=a,b\\ c_{n}=\frac{\left(\lambda-c+1,\lambda\right)_{n}}{\left(1-\lambda+a,1-\lambda+b\right)_{n}}c_{0} \end{array} \right. \end{eqnarray}
\begin{equation} y=Az^{a}{}_{2}F_{1}\left(a-c+1,a;1-a+b|\frac{1}{z}\right)+Bz^{b}{}_{2}F_{1}\left(b-c+1,b;1-b+a|\frac{1}{z}\right) \end{equation}