ガウスの超幾何微分方程式のフロベニウスの解法と解の記録

$z=0$近傍の場合
$$\begin{array}{rcl}& & y=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{c}_n{x}^{n+\lambda }\\ & & \frac{dy}{dx}=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(n+\lambda )c_n{x}^{n+\lambda -1}\\ & & \frac{d^{2}y}{d{x}^2}=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(n+\lambda )(n+\lambda -1)c_n{x}^{n+\lambda -2}\end{array}$$
これらの事を超幾何微分方程式に代入してまとめると次の様にまとめられる。
$$\begin{array}{rcl}& & \lambda (\lambda +c-1)c_0{x}^{\lambda -1}\\ & +& \sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}[(n+\lambda +1)(n+\lambda +c)c_{n+1}\\ & -& \{(n+\lambda )(n+\lambda +a+b)+ab\}{c}_n]x^{n+\lambda }=0\end{array}$$
$$\begin{array}{r}\{\begin{array}{l}\lambda (\lambda +c-1)=0\\ (n+\lambda +1)(n+\lambda +c)c_{n+1}=\{(n+\lambda +a)(n+\lambda +b)\}{c}_n\}\end{array}\end{array}$$
$\lambda =0$の場合
$$c_{n+1}=\frac{(a+n)(b+n)}{(c+n)(1+n)}{c}_n=\frac{{(a,b)}_n}{{(c,1)}_n}$$
$\lambda =1-c$の場合
$$c_{n+1}=\frac{{(a+1-c,b+1-c)}_n}{{(2-c,1)}_n}$$
ゆえに超幾何微分方程式の解は次の様に書ける。
$$y=A{}_2{F}_1(a,b;c|x)+B{x}^{1-c}{}_2{F}_1(a+1-c,b+1-c;2-c|x)$$

$z=1$近傍の場合
$w=z-1$の様に変数変換する。すると、元の微分方程式は次のように書きなおせる。
$$[-w(1+w)\frac{d^2}{d{w}^2}+\{c-(a+b+1)-(a+b+1)w\}\frac{d}{dw}-ab]y\left(w\right)=0$$
解を$y=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{c}_n{w}^{n+\lambda }$と置き、今得た微分方程式に代入する。
$$\begin{array}{rcl}& -& \lambda (\lambda -c+a+b)c_0{z}^{\lambda -1}\\ & +& \sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}[-(n+\lambda +1)(n+\lambda -c+a+b+1)c_{n+1}-(n+\lambda +a)(n+\lambda +b)c_n]z^{n+\lambda }\\ & =& 0\end{array}$$
$$\begin{array}{r}\{\begin{array}{l}\lambda =0,c-a-b\\ c_n={(-1)}^n\frac{{(a+\lambda ,b+\lambda )}_n}{{(a+b-c+\lambda +1,1+\lambda )}_n}\end{array}\end{array}$$
$$y=A{}_2{F}_1(a,b;a+b-c+1|1-z)+B{(z-1)}^{c-a-b}{}_2{F}_1(c-a,c-b;c-a-b+1|1-z)$$

$z=\mathrm{\infty }$近傍の場合
$w=\frac{1}{z}$の様に変数変換する。すると、元の微分方程式は次のように書きなおせる。
$$[w^2(w-1)\frac{d^2}{d{w}^2}+\{(a+b-1)+(2-c)w\}w\frac{d}{dw}-ab]y\left(w\right)=0$$
解を$y=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{c}_n{w}^{n+\lambda }$と置き、今得た微分方程式に代入する。
$$\begin{array}{rcl}& -& (\lambda -a)(\lambda -b)c_0{z}^{\lambda -1}\\ & +& \sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}[-(n+\lambda +1-a)(n+\lambda +1-b)c_{n+1}\\ & +& (n+\lambda )(n+\lambda -c+1)c_n]z^{n+\lambda }\\ & =& 0\end{array}$$
$$\begin{array}{r}\{\begin{array}{l}\lambda =a,b\\ c_n=\frac{{(\lambda -c+1,\lambda )}_n}{{(1-\lambda +a,1-\lambda +b)}_n}{c}_0\end{array}\end{array}$$
$$y=A{z}^a{}_2{F}_1(a-c+1,a;1-a+b|\frac{1}{z})+B{z}^b{}_2{F}_1(b-c+1,b;1-b+a|\frac{1}{z})$$