舟木確率論　ボホナーの定理の備忘録

はじめに

舟木確率論　ボホナーの定理のp. 134で式変形でわからない箇所がありました。
備忘録を残します。

\begin{eqnarray} f(x) &=& \lim_{R\rightarrow\infty}\dfrac{1}{2\pi}\int_{-R}^{R}\left(1-\dfrac{|\xi|}{R}\right)e^{-i\xi x}\varphi(\xi)d\xi\\ &=& \lim_{R\rightarrow\infty}\dfrac{1}{2\pi R}\int_{-R}^{0}\left(R+\xi\right)e^{-i\xi x}\varphi(\xi)d\xi + \dfrac{1}{2\pi R}\int_{0}^{R}\left(R-\xi\right)e^{-i\xi x}\varphi(\xi)d\xi \\ &=& \lim_{R\rightarrow\infty}\dfrac{1}{2\pi R}\int_{-R}^{0}\int^{R}_{-\xi}d\eta e^{-i\xi x}\varphi(\xi)d\xi + \dfrac{1}{2\pi R}\int_{0}^{R}\int^{R-\xi}_{0}d\eta e^{-i\xi x}\varphi(\xi)d\xi \\ &=& \lim_{R\rightarrow\infty}\dfrac{1}{2\pi R}\int_{0}^{R}\int^{R-\eta}_{-\eta}e^{-i\xi x}\varphi(\xi)d\xi d\eta \ \ (\because 積分交換) \\ &=& \lim_{R\rightarrow\infty}\dfrac{1}{2\pi R}\int_{0}^{R}\int_{0}^{R}e^{-i\xi x}e^{i\eta x}\varphi(\xi-\eta)d\xi d\eta \ \ (\because \xi:=\xi-\eta)\\ \end{eqnarray}