文献あり

舟木確率論　ボホナーの定理の備忘録

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はじめに

舟木確率論　ボホナーの定理のp. 134で式変形でわからない箇所がありました。
備忘録を残します。

$\begin{array}{rcl} (1) & f (x) & = & lim_{R \to \infty} \frac{1}{2 π} \int_{- R}^{R} (1 - \frac{| ξ |}{R}) e^{- i ξ x} φ (ξ) d ξ \\ (2) & = & lim_{R \to \infty} \frac{1}{2 π R} \int_{0}^{R} \int_{0}^{R} e^{- i ξ x} e^{i η x} φ (ξ - η) d ξ d η \end{array}$

$\begin{array}{rcl} f (x) & = & lim_{R \to \infty} \frac{1}{2 π} \int_{- R}^{R} (1 - \frac{| ξ |}{R}) e^{- i ξ x} φ (ξ) d ξ \\ = & lim_{R \to \infty} \frac{1}{2 π R} \int_{- R}^{0} (R + ξ) e^{- i ξ x} φ (ξ) d ξ + \frac{1}{2 π R} \int_{0}^{R} (R - ξ) e^{- i ξ x} φ (ξ) d ξ \\ = & lim_{R \to \infty} \frac{1}{2 π R} \int_{- R}^{0} \int_{- ξ}^{R} d η e^{- i ξ x} φ (ξ) d ξ + \frac{1}{2 π R} \int_{0}^{R} \int_{0}^{R - ξ} d η e^{- i ξ x} φ (ξ) d ξ \\ = & lim_{R \to \infty} \frac{1}{2 π R} \int_{0}^{R} \int_{- η}^{R - η} e^{- i ξ x} φ (ξ) d ξ d η (∵ 積分交換) \\ = & lim_{R \to \infty} \frac{1}{2 π R} \int_{0}^{R} \int_{0}^{R} e^{- i ξ x} e^{i η x} φ (ξ - η) d ξ d η (∵ ξ := ξ - η) \end{array}$