ある有限和とAbelの恒等式の初等的な証明

$p=0$のときの和は$(1-1)^{n}$の二項展開に他ならず，従って$0$になる．
$p\geq 1$のときを数学的帰納法で示す．
(I)　$n=p=1$での和は
$$ \sum_{k=0}^{1} \dbinom{1}{k} (-1)^{1-k} (a+bk) = -a + (a+b) = b $$
となるから，$n=1$のときは示された．
(II)　ある正整数$n$での成立を仮定する．$n+1$のときの和を
\begin{align*} (a+bk) \dbinom{n+1}{k} &= a \dbinom{n}{k} + a \dbinom{n}{k-1} + b(n+1) \dbinom{n}{k-1} \\ &= a \dbinom{n}{k} + (a+b+bn) \dbinom{n}{k-1} \end{align*}
を用いて分解すると
\begin{align*} &a \sum_{k=0}^{n+1} \dbinom{n}{k} (-1)^{n+1-k} (a+bk)^{p-1} + (a+b+bn) \sum_{k=0}^{n+1} \dbinom{n}{k-1} (-1)^{n+1-k} (a+bk)^{p-1} \\ &= -a \sum_{k=0}^{n} \dbinom{n}{k} (-1)^{n-k} (a+bk)^{p-1} + (a+b+bn) \sum_{k=0}^{n} \dbinom{n}{k} (-1)^{n-k} (a+b+bk)^{p-1} \end{align*}
となるが，帰納法の仮定より，これは$1\leq p\leq n$で$0$，$p=n+1$で
$$ -ab^{n}n! + (a+b+bn)b^{n}n! = b^{n+1}(n+1)! $$
となるから，$n+1$のときも示された．
以上により，命題2が示された．$\square$

$y-kz = -(x+kz) + x+y$とみて二項展開すると
\begin{align*} (y-kz)^{n-k} &= \sum_{j=0}^{n-k} \dbinom{n-k}{j} (-1)^{j} (x+kz)^{j} (x+y)^{n-k-j} \\ &= \sum_{j=k}^{n} \dbinom{n-k}{j-k} (-1)^{j-k} (x+kz)^{j-k} (x+y)^{n-j} \end{align*}
となり，また
\begin{align*} &\dbinom{n}{k} \dbinom{n-k}{j-k} = \frac{n!}{ k!(n-k)! } \frac{ (n-k)! }{ (j-k)!(n-j)! } \\ &= \frac{n!}{ j!(n-j)! } \frac{j!}{ k!(j-k)! } = \dbinom{n}{j} \dbinom{j}{k} \end{align*}
も用いれば，示すべき式の左辺は
$$ \sum_{k=0}^{n} \sum_{j=k}^{n} \dbinom{n}{j} x(x+y)^{n-j} \dbinom{j}{k} (-1)^{j-k} (x+kz)^{j-1} $$
となる．二重和を交換すれば
$$ = \sum_{j=0}^{n} \dbinom{n}{j} x(x+y)^{n-j} \sum_{k=0}^{j} \dbinom{j}{k} (-1)^{j-k} (x+kz)^{j-1} $$
となるが，命題2により内側の$\sum$は$j\geq1$で$0$になるので，結局$j=0$の項だけ残って
$$ = (x+y)^{n} \quad \square $$