この記事では, ε-δ論法についてのお話をしようと思います. 極限の議論をする時に, この考え方が頭にあるかどうかで, 考えやすさが変わってくると思います.
ただし, 高校範囲の延長としてのお話をしますので, あまり厳密なところには踏み込まないことにします.
極限
この式の解釈の仕方は, 「どんなに小さな
次に, 数列の極限
捉え方は, 同様です. これはε-N論法と呼ばれることもあるみたいです.
最後に, 発散の場合を次式で定義します.
負の無限大の場合も同様です.
また, 収束も発散もしない場合, 振動すると言います.
これらの定義法は, 少し恣意的だと思われるかもしれません. 確かに感覚的には極限の概念を的確に数式で表しているように思えますが, この方法しかあり得ないかと言われると, どうなんだろうと思ってしまいますね.
まあ, こう定義されているんだから仕方ないかなと思っています.
教科書にも載っている, 数列の極限に関する以下の命題を, ε-δ論法を用いて証明していきます.
如何なる
いま,
従って,
これが全ての
即ち, 任意の
任意の
従って, 任意の
最後に, はさみうちの原理を証明しようと思います.
(命題) 全ての
(証明)
ここで
(解答)
仮に
従って,
(解答)
これは, 読者の方への演習問題とします.
ここまで読んでくださった方, 本当にありがとうございます.
この極限のお話も続きがあって, まずそもそも極限が存在する集合とはなにか, とかの難しい抽象的なお話になってくるみたいです.
そこのところはまだまだ私もお勉強中なのですが, 今回は, ε-δ論法の考え方, 定式化することの嬉しさ, が伝えられていたら幸いです.
では, 改めてありがとうございました.