Pascalの定理(円の場合)の計算による証明

点$Z(z)$が$AB$上にあるとき，$\left|\begin{array}{ccccc}a& & \overline{a}& & 1\\ b& & \overline{b}& & 1\\ z& & \overline{z}& & 1\end{array}\right|=0$すなわち$(\overline{a}-\overline{b})z+(b-a)\overline{z}=-(a\overline{b}-b\overline{a})$となる．(前の記事の補題3を参照)
同様に，$Z$が$CD$上にあるとき$(\overline{c}-\overline{d})z+(d-c)\overline{z}=-(c\overline{d}-d\overline{c})$となるので，$AB,CD$の交点の座標はこの連立方程式を解くことで求まり，$$\begin{gathered} z={\displaystyle \frac{-(d-c)(a\overline{b}-b\overline{a})+(b-a)(c\overline{d}-d\overline{c})}{(\overline{a}-\overline{b})(d-c)-(b-a)(\overline{c}-\overline{d})}} \\ ={\displaystyle \frac{(a-b)(\overline{c}d-\overline{d}c)-(c-d)(\overline{a}b-\overline{b}a)}{(a-b)(\overline{c}-\overline{d})-(\overline{a}-\overline{b})(c-d)}} \end{gathered}$$となる．

${\displaystyle \overline{a}=\frac{1}{a},\overline{b}=\frac{1}{b},\overline{c}=\frac{1}{c},\overline{d}=\frac{1}{d}}$を使うとわかる．

定理$3$から$$\begin{gathered} {\displaystyle x=\frac{ab(d+e)-de(a+b)}{ab-de}} \\ {\displaystyle y=\frac{bc(e+f)-ef(b+c)}{bc-ef}} \\ {\displaystyle z=\frac{cd(f+a)-fa(c+d)}{cd-fa}} \end{gathered}$$
がわかる．
これより，
$\left|\begin{array}{ccccc}\frac{ab(d+e)-de(a+b)}{ab-de}& & \frac{a+b-d-e}{ab-de}& & 1\\ \frac{bc(e+f)-ef(b+c)}{bc-ef}& & \frac{b+c-e-f}{bc-ef}& & 1\\ \frac{cd(f+a)-fa(c+d)}{cd-fa}& & \frac{c+d-f-a}{cd-fa}& & 1\end{array}\right|=0$
すなわち
$\left|\begin{array}{ccccc}ab(d+e)-de(a+b)& & a+b-d-e& & ab-de\\ bc(e+f)-ef(b+c)& & b+c-e-f& & bc-ef\\ cd(f+a)-fa(c+d)& & c+d-f-a& & cd-fa\end{array}\right|=0$を示せばいいことになる．
ところで，前回の記事を見るとこれが$0$になることは既に示してある．

$X$が無限遠点であると仮定してよい．
このとき，$ab=de$が成り立つ．
これより，
$$\begin{gathered} {\displaystyle y=\frac{bc(e+f)-ef(b+c)}{bc-ef}} \\ {\displaystyle z=\frac{cd(f+a)-fa(c+d)}{cd-fa}} \\ {\displaystyle =\frac{bc(f+a)-ef(c+d)}{bc-ef}} \end{gathered}$$
となって，
$$\begin{gathered} {\displaystyle z-y=\frac{bc(a-e)-ef(d-b)}{bc-ef}} \\ {\displaystyle =\frac{bc(a-e)-bf(a-e)}{bc-ef}} \\ {\displaystyle =\frac{b(c-f)(a-e)}{bc-ef}} \end{gathered}$$
となる．
ここで，偏角を考えると単位円上の$2$点$\alpha ,\beta$について${\displaystyle \frac{\alpha -\beta }{i\sqrt{\alpha \beta }}}$は実数である．(複素数の平方根は符号が一意に定まらないがどちらの符号を取っても実数であるかに影響はない)
これより，${\displaystyle \frac{z-y}{a-b}=\frac{b\frac{c-f}{i\sqrt{cf}}\frac{a-e}{i\sqrt{ae}}}{\frac{bc-ef}{i\sqrt{bcef}}\frac{a-b}{i\sqrt{ab}}}\frac{i\sqrt{cf}i\sqrt{ae}}{i\sqrt{bcef}i\sqrt{ab}}}$は実数であり，$YZ$と$AB$は平行であることがわかる．

$X$と$Y$が無限遠点であるとしてよい．
$ab=de$および$bc=ef$が成り立つので$cd=fa$となり，$Z$も無限遠点である．