積分計算のためのラプラス変換

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こんにちは！るめなるです！今回はラプラス変換について書きたいと思います．ただ，あくまでも計算（の省略）で使うことを目的としているので，厳密性は考慮せず，公式の証明も書きません．それについてはなにかの書籍やpdfを参照してください．~~まあ私が知らないだけなんですけどね．~~

定義と公式

まずは $t$ を変数とする関数 $f (t)$ のラプラス変換 $L [f (t)] (s)$ を定義します．

定義

L [f (t)] (s) = \int_{0}^{\infty} f (t) e^{- s t} d t

とりあえず，これが定義になります．どうしてこの積分区間なのかとか，どうして $e^{- s t}$ と一緒に積分するのかとか色々疑問はあると思いますが，まずは受け入れましょう．計算で使うためだけならそこまで踏み込まなくても十分だと思いますし，私も分かりません．
　ちなみに，他にも「フーリエ変換」や「メリン変換」というものがあり，これも色々と使われます（これも定義と変換の例を調べて少し見ておくだけで大丈夫だと思います）．
　では，使用頻度が高めの公式を見てみましょう．

公式

\begin{aligned} L [t] (s) = \frac{1}{s^{2}} & L [t^{α}] (s) = \frac{Γ (α + 1)}{s^{α + 1}} \\ L [\sin ω t] (s) = \frac{ω}{s^{2} + ω^{2}} & L [\cos ω t] (s) = \frac{s}{s^{2} + ω^{2}} \end{aligned}

証明ですが，定義通り積分を計算していくだけになります．良い計算練習になると思うのでぜひやってみましょう．使用頻度ですが， $\sin ω t$ と $\cos ω t$ のラプラス変換が一番良く使われる気がします（かなり計算を短縮できるため）．また，逆の方向の変形，つまり，例えば積分の中に $\frac{ω}{s^{2} + ω^{2}}$ という形があった時にそれを $L [\sin ω t] (s)$ と変形して，元の積分と順序を交換して計算する，という技法も使われることがあります．このように逆方向に変換することを逆ラプラス変換といいます．

例題

最後に，実際にラプラス変換がどのように使われるのかを見ていきたいと思います．ぜひ解説を見る前に自分で解いてみてください！

例題

\begin{array}{r} \int_{0}^{\infty} \frac{\cos x - 1}{x e^{2 x}} d x = ? \end{array}

解説

\begin{aligned} \int_{0}^{\infty} \frac{\cos x - 1}{x e^{2 x}} d x & = \int_{0}^{\infty} \frac{1}{x e^{2 x}} \int_{0}^{1} \frac{d}{d t} \cos x t d t d x \\ = - \int_{0}^{\infty} \int_{0}^{1} e^{- 2 x} \sin x t d t d x \\ = - \int_{0}^{1} \int_{0}^{\infty} e^{- 2 x} \sin x t d x d t \\ = - \int_{0}^{1} L [\sin x t] (2) d t \\ = - \int_{0}^{1} \frac{t}{t^{2} + 4} d t \\ = - \frac{1}{2} \int_{0}^{1} \frac{(t^{2} + 4)^{'}}{t^{2} + 4} d t \\ = - \frac{1}{2} [\ln (t^{2} + 4)]_{0}^{1} \\ = - \frac{1}{2} (\ln 5 - 2 \ln 2) \\ = \ln 2 - \frac{\ln 5}{2} \end{aligned}

どうだったでしょうか．3行目で現れた積分が，ラプラス変換の公式を使うことですぐに計算することができていますね．このように，計算の途中でラプラス変換（もしくは上で少し触れたフーリエ変換，メリン変換）の形が出てきた場合，公式を用いて簡単に計算できるのです．
　お気づきの方もいるかもしれませんが，この積分において，被積分関数の $\cos x$ の $x$ の係数， $e^{x}$ の $x$ の係数をそれぞれ一般化することができます．計算方法は例題と全く同じなので，簡単な演習問題としてやってみてください！
※問題は私が適当に作ったんですが，二重積分の交換が出来るのかは私に確認できる力がないので，もし交換できない場合だったら申し訳ないです…