積分解説09

2020/11/08に出題した問題です。
https://mathlog.info/articles/297

[解説]
$ \begin{eqnarray*} &&\int_0^1 \frac{\log\left(\frac{1+x}{1-x} \right)}x dx\\ &=&2\int_0^1 \frac{\text{arctanh} x}{x}dx\\ &=&2\int_0^1 \sum_{n=0}^\infty \frac1{2n+1}x^{2n}dx\\ &=&2\sum_{n=0}^\infty \frac1{2n+1}\left[\frac1{2n+1}x^{2n+1} \right]_0^1\\ &=&2\sum_{n=0}^\infty \frac1{(2n+1)^2}\\ &=&2\sum_{n=0}^\infty\left(\frac1{n^2}-\frac1{4n^2} \right)\\ &=&\frac32\zeta(2)\\ &=&\frac{\pi^2}4 \end{eqnarray*} $
よって、この問題の解答は$\displaystyle \frac{\pi^2}4$となります。