写像$x:\mathbb{N}\times\mathbb{N}\to\mathbb{C}$を二重数列といい, 主に$x((n,m))$または$(x_{n,m})$とかく。
$\lim_{n\to\infty}(\lim_{m\to\infty}x_{n,m})$はどのような条件の下に極限の順序を入れ替えた$\lim_{m\to\infty}(\lim_{n\to\infty}x_{n,m})$と一致するのかは重要な問いである。以下先ずはこのことについて述べていく予定であるが, まずは二重数列が収束することとは何かを定め, その収束概念と上記のような極限との関わりを探ることとする。
二重数列$(x_{n,m})$が$a\in\mathbb{C}$に収束するとは, 次の命題が満たされることである。
$$\forall\epsilon>0 \exists N=N(\epsilon)\in\mathbb{N}\ s.t.\ \forall n,m\ge N\ [|x_{n,m}-a|<\epsilon]$$このとき, $\lim_{n,m\to\infty}x_{n,m}=a$と表記することと定義する。もし上のようなaが存在しないとき$(x_{n,m})$は発散するという。
$(x_{n,m})が有界:\Leftrightarrow \exists M\in\mathbb{R}_{>0}\ s.t.\ \forall n,m\in\mathbb{N}\ |x_{n,m}|\le M$
ただし, 二重数列が実数列のときは次のように$\pm\infty\notin\mathbb{R}$に収束することの意味も追加する。すなわち
$$\lim_{n,m\to\infty}x_{n,m}=\infty:\Leftrightarrow \forall\alpha\in\mathbb{R}\ \exists K=K(\alpha)\in\mathbb{N}\ s.t.\ \forall n,m\in\mathbb{N}\ [n,m\ge K\Rightarrow x_{n,m}>\alpha]$$$$\lim_{n,m\to\infty}x_{n,m}=-\infty:\Leftrightarrow \forall\alpha\in\mathbb{R}\ \exists K=K(\alpha)\in\mathbb{N}\ s.t.\ \forall n,m\in\mathbb{N}\ [n,m\ge K\Rightarrow x_{n,m}<\alpha]$$また, 特に$(x_{n,m})$が真に発散するとは$\lim_{n,m}x_{n,m}=\pm\infty$であることであり, $(x_{n,m})$がある$a\in\mathbb{R}$に収束せず真に発散することもないときに, $(x_{n,m})$が有界ならoscillates finitelyといって非有界ならoscillates infinitelyという。例えば$((-1)^{n+m}(n+m))$はoscillates infinitelyである。
$x_{n,m}=\frac{1}{n+m}$に対し$\lim_{n,m}x_{n,m}=0$が成り立つ。なぜなら任意の正数$\epsilon>0$に対して$N>\frac{2}{\epsilon}$なる$N\in\mathbb{N}$を選ぶと, 任意の$n,m\ge N$について
$$|x_{n,m}-0|=|\frac{1}{n+m}|<\frac{1}{n}+\frac{1}{m}<\frac{2}{N}<\epsilon$$$x_{n,m}=\frac{n}{n+m}$は発散する二重数列である。$n=m$である十分大きい$n,m\in\mathbb{N}$に対し$x_{n,m}=\frac{1}{2}$であり, $n=2m$を満たす十分大きい$n,m\in\mathbb{N}$に対し$x_{n,m}=\frac{2}{3}$より$(x_{n,m})$は任意の$a\in\mathbb{R}$に収束しないためである。$x_{n,m}=1-n-mは-\infty$に真に発散する。なぜなら任意の$\beta\in\mathbb{R}$に対しある$K\in\mathbb{N}$があって$K>-\frac{\beta}{2}+\frac{1}{2}$を満たし, $\forall n,m\in\mathbb{N}\ [n,m\ge K\Rightarrow 1-n-m<\beta]$である。
二重数列$(x_{n,m})\subset\mathbb{C}$が極限をもつならば一意である。
$a,a'$がともに$(x_{n,m})$の極限とする。その定義より, 任意の$\epsilon>0$に対し$N_1,N_2\in\mathbb{N}$が存在し
$$n,m\ge N_1\Rightarrow |x_{n,m}-a|<\frac{\epsilon}{2}\wedge n,m\ge N_2\Rightarrow |x_{n,m}-a'|<\frac{\epsilon}{2}$$をみたす。$N:=\max\{N_1,N_2\}$とおくと任意の$n,m\ge N$に対して
$$0\le |a-a'|=|a-x_{n,m}+x_{n,m}-a'|\le |x_{n,m}-a|+|x_{n,m}-a'|<\epsilon$$より極限は存在するなら一意である。
収束する二重数列$(x_{n,m})\subset\mathbb{C}$は有界である。
ある$a\in\mathbb{R}$があって$x_{n,m}\to a,\epsilon=1$とおく。すると
$$\exists N\in\mathbb{N}\ s.t.\ n,m\ge N\Rightarrow |x_{n,m}-a|<1$$つまり$\forall n,m\in\mathbb{N}\ [n,m\ge N\Rightarrow |x_{n,m}|<1+|a|]$であり, $M:=\max\{|x_{1,1}|,|x_{1,2}|,|x_{2,1}|,...,|x_{N-1,N-1}|,|a|+1\}$と定めてれば$\forall n,m\in\mathbb{N}$に対し$|x_{n,m}|\le M$.
次の極限
$$\lim_{n\to\infty}(\lim_{m\to\infty}x_{n,m})と\lim_{m\to\infty}(\lim_{n\to\infty}x_{n,m})$$をiterated limitという。例えば$x_{n,m}=\frac{n}{n+m}$を挙げればこれらは等しい値をとるとは限らないことは明白である。では, 収束する二重数列は常にiterated limitが存在することは正しいのだろうか。次の通りこれも誤りである。
$x_{n,m}=(-1)^{n+m}(\frac{1}{n}+\frac{1}{m})$は0に収束する二重数列である。実際, 任意の$\epsilon>0に対し\frac{1}{N}<\frac{\epsilon}{2}$を満たすある$N\in\mathbb{N}$をとると, 任意の$n,m\in\mathbb{N}$に対し
$$n,m\ge N\Rightarrow |(-1)^{n+m}(\frac{1}{n}+\frac{1}{m})|\le\frac{1}{n}+\frac{1}{m}\le\frac{2}{N}<\epsilon$$より, 0に収束するがiterated limitsは存在しない。なぜなら$\lim_{m\to\infty}x_{n,m}$が存在しないため$\lim_{n\to\infty}\lim_{m\to\infty}x_{n,m}$も存在せず, もう一方のiterated limitもない。
$x_{n,m}=(-1)^m(\frac{1}{n}+\frac{1}{m})$という二重数列は収束値$0$をもつ。そしてiterated limitについては$\lim_{m\to\infty}(\lim_{n\to\infty}x_{n,m})=0$であるが, $\lim_{n\to\infty}(\lim_{m\to\infty}x_{n,m})$は存在しない。
これらの例から次の命題が成り立つことが予想されるが, 簡単に従う。
$\lim_{n,m\to\infty}x_{n,m}=a$とする。
$$\lim_{m\to\infty}(\lim_{n\to\infty}x_{n,m})=a\Leftrightarrow \forall m\in\mathbb{N}\ [\exists\lim_{n\to\infty}x_{n,m}]$$
$\Rightarrow$は明らか。実際, $\lim_{n\to\infty}x_{n,m}$が存在しないと仮定すれば直ちに矛盾する。次に, 各$m\in\mathbb{N}$に対して$\lim_{n\to\infty}x_{n,m}=c_m$とし記述を少し雑にかくとすれば$c_m\to a\ (m\to\infty)$を示す。条件より
$$\forall \epsilon>0 \exists N_1\in\mathbb{N}\ s.t.\ n,m\ge N_1\Rightarrow |x_{n,m}-a|<\frac{\epsilon}{2}$$また各$m\in\mathbb{N}$について$x_{n,m}\to c_m\ (n\to\infty)$より
$$n\ge N_2\Rightarrow |x_{n,m}-c_m|<\frac{\epsilon}{2}$$である。$n\ge\max\{N_1,N_2\}$を選べば
$$\forall m\in\mathbb{N}\ [m\ge n\Rightarrow |c_m-a|=|c_m-x_{n,m}+x_{n,m}-a|\le \frac{\epsilon}{2}+\frac{\epsilon}{2}=\epsilon]$$である。同様に$\lim_{n\to\infty}(\lim_{m\to\infty}x_{n,m})=a\Leftrightarrow \forall n\in\mathbb{N}\ \lim_{m\to\infty}x_{n,m}$が存在するが, 以下の例の通り命題の逆は成り立たない。
$x_{n,m}=\frac{nm}{n^2+m^2}$とおくと$\lim_{m\to\infty}(\lim_{n\to\infty}x_{n,m})=0$である。しかしながら$n=m$の時$x_{n,m}=\frac{1}{2}$で$n=2m$の時$x_{n,m}=\frac{2}{5}$より$\lim_{n,m\to\infty}x_{n,m}$が存在しない。
$S\subset\mathbb{R}^n$を部分集合とし, 各$n\in\mathbb{N}$に対し$f_n:S\to\mathbb{R}$を関数とする。$f_n$が一様に$S$上$f$に一様収束するとは, 任意の正数$\epsilon $に対し$N=N(\epsilon)$があって
$$n>N\Rightarrow \forall x\in S\ |f_n(x)-f(x)|<\epsilon$$が成り立つことである。$F_S:=\{f:S\to\mathbb{R}\ |\ fは有界関数\}$と定め$f,g\in F_S$に対し$\|・\|$を
$$\|f-g\|:=\sup_{x\in S}|f(x)-g(x)|$$で定義するとこれは距離となる。この概念を使って直ちに上記の一様収束の定義を書き換えることができる。
$(f_n)$が$S$上$f$に一様収束する$\Leftrightarrow \forall\epsilon>0\exists N\ s.t.\ n>N\Rightarrow \|f-g\|<\epsilon$
$(f_n)$が$f$に$S$上一様収束することは$\forall \epsilon>0$に対しある$N$が存在し$n>N$なる任意の$n\in\mathbb{N}$に対して$x\in S$ならば$|f_n(x)-f(x)|<\frac{\epsilon}{2}$であることと同値。これは
$$\forall \epsilon>0\exists N\ s.t.\ n>N\Rightarrow \sup{x\in S}|f_n(x)-f(x)|\le\frac{\epsilon}{2}<\epsilon$$と同値。
$(x_{n,m})$が二重数列で以下の二つの条件
(i) $\lim_{m\to\infty}(\lim_{n\to\infty}x_{n,m})=a$(ii) $\lim_{n\to\infty}f_n(m):=\lim_{n\to\infty}x_{n,m}$が各$m\in\mathbb{N}$に対し一様に定まる
を満たすなら, $\lim_{n,m\to\infty}x_{n,m}=a$が成り立つ（$x_{n,m}$のdouble limitは$a$である）。
各$n\in\mathbb{N}$に対し$f_n:\mathbb{N}\to\mathbb{R}$を$f_n(m):=x_{n,m}$で定める。すると(ii)より$f(m):=\lim_{n\to\infty}x_{n,m}$に対して$\mathbb{N}$上の一様収束$f_n\to f$が成立。従って
$$\forall \epsilon>0\ \exists N_1\in\mathbb{N}\ s.t.\ n\ge N_1\Rightarrow \forall m\in\mathbb{N}\ |x_{n,m}-f(m)|<\frac{\epsilon}{2}$$ここで(i)より, $\lim_{m\to\infty}f(m)=a$より上記の$\epsilon $を用いて
$$\exists N_2\in\mathbb{N}\ s.t.\ m\ge N_2\Rightarrow |f(m)-a|<\frac{\epsilon}{2}$$$N=\max\{N_1,N_2\}$とおくと任意の$n,m\ge N$に対し
$$|x_{n,m}-a|\le x_{n,m}-f(m)|+|f(m)-a|<\epsilon$$である。
上の(ii)が$\forall m\in\mathbb{N}$について$\lim_{n\to\infty}x_{n,m}$が単に存在すると仮定を弱めることはできない。これについては$x_{n,m}=\frac{nm}{n^2+m^2}$が良い例である。
まず$|x_{n,m}|\le 1\forall n,m\in\mathbb{N}$より$(x_{n,m})$は有界であり, 各$m\in\mathbb{N}$に対し$\lim_{n\to\infty}x_{n,m}=0$である。しかしこの0への$n\to\infty$での極限操作は一様ではないことを示そう。$f_n:\mathbb{N}\to\mathbb{R}$を
$$f_n(m):=x_{n,m}$$で定めると，$$\|f_n-0\|:=\sup_m\{|f_n(m)-0|\ |\ m\in\mathbb{N}\}=\sup_m\{\frac{nm}{n^2+m^2}\ |\ m\in\mathbb{N}\}=\frac{1}{2} (\forall n\in\mathbb{N})$$より確かに一様ではない。さらに, 前述の例から$\lim_{n,m\to\infty}x_{n,m}$が存在せず定理が不成立。
$\mathbb{N}\times\mathbb{N}$上に次のように辞書式順序となるような関係$\le $を定める。
$$(a,b)\le (c,d):\Leftrightarrow a< c \lor (a=c\land b\le d)$$
$(x_{n,m})\subset\mathbb{R}$を二重数列とする。
(1) $\forall (n,m)\le(j,k)\in\mathbb{N}\times\mathbb{N} x_{n,m}\le x_{j,k}$のとき増加列
(2) $\forall (n,m)\le(j,k)\in\mathbb{N}\times\mathbb{N} x_{n,m}\ge x_{j,k}$のとき減少列
(3) $(x_{n,m})$が増加列または減少列のとき単調列であると言う。
単調列$(x_{n,m})\subset\mathbb{R}$をとる。この時$(x_{n,m})$が収束する$\Leftrightarrow x_{n,m}$は有界列:
(a) $(x_{n,m})$が増加列かつ上に有界ならば，$$\lim_{m\to\infty}(\lim_{n\to\infty}x_{n,m})=\lim_{n\to\infty}(\lim_{m\to\infty}x_{n,m})=\lim_{n,m\to\infty}x_{n,m}=\sup\{x_{n,m}\ |\ n,m\in\mathbb{N}\}$$(b) $(x_{n,m})$が減少列かつ下に有界ならば，$$\lim_{m\to\infty}(\lim_{n\to\infty}x_{n,m})=\lim_{n\to\infty}(\lim_{m\to\infty}x_{n,m})=\lim_{n,m\to\infty}x_{n,m}=\inf\{x_{n,m}\ |\ n,m\in\mathbb{N}\}$$
収束するならば有界であることは以前示してある。逆に有界な単調数列は収束することは微積分学の基礎をなし実数の公理(e.g.上に有界な実数体の部分集合が一意な上限をもつ)より成り立つのである。
(a) $a^*:=\sup\{x_{n,m}\ |\ n,m\in\mathbb{N}\}$が存在する。$(x_{n,m})$のdouble limitとitearted limitが存在して$a^*$と等しいことを示す。任意の正数$\epsilon$に対し$a^*-\epsilon< x_{K,J}$となる$K(\epsilon),J(\epsilon)\in\mathbb{N}$が存在する。すると, $(x_{n,m})$は増加列より
$$\forall (n,m)\ge (K,J)\ a^*-\epsilon< x_{K,J}\le x_{n,m}\le a^*< a^*+\epsilon$$より$|x_{n,m}-a^*|<\epsilon$である。$\epsilon $の任意性より$(x_{n,m})$は$a^*$に収束する。
次に$\lim_{m\to\infty}(\lim_{n\to\infty}x_{n,m})=(\lim_{n,m\to\infty}x_{n,m}=a^*)$を示す。各$m\in\mathbb{N}$を固定したときに$(x_{n,m})$は上に有界な単調列なので, 実数の性質によって
$$\ell_m:=\sup_{n\in\mathbb{N}}\{x_{n,m}\}=\lim_{n\to\infty}x_{n,m}\ \forall m\in\mathbb{N}$$であるため, 命題３から
$$\lim_{m\to\infty}(\lim_{n\to\infty}x_{n,m})=\lim_{n,m\to\infty}x_{n,m}=a^*$$(b) もし$(x_{n,m})$が下に有界な減少列なら$(-x_{n,m})$は上に有界な増加列である。これと(a)より
$$\lim_{m\to\infty}(\lim_{n\to\infty}-x_{n,m})=\lim_{n\to\infty}(\lim_{m\to\infty}-x_{n,m})=\lim_{n,m\to\infty}-x_{n,m}=\sup\{-x_{n,m}\ |\ n,m\in\mathbb{N}\}=-\inf\{x_{n,m}\ |\ n,m\in\mathbb{N}\}$$これより(b)も得る。
ひとまずは本稿の目標である二重数列のiteral limitがいつ互いに等しくなるのかについての疑問の解消を終えられた。
二重数列$(x_{n,m})\subset\mathbb{C}$がコーシー列であるとは, 任意の$\epsilon>0$に対しある$N\in\mathbb{N}$が存在し
$$\forall p,q,n,m\in\mathbb{N}\ [p\ge n\ge N\land q\ge m\ge N\Rightarrow |x_{p,q}-a_{n,m}|<\epsilon]$$
二重数列$(x_{n,m})\subset\mathbb{C}$が収束する$\Leftrightarrow (x_{n,m})$はコーシー列である
$\Rightarrow$を示すため, ある$a\in\mathbb{C}$があって$x_{n,m}\to a\ (n,m\to\infty)$とする。任意の正数$\epsilon$について$N\in\mathbb{N}$が存在し$\forall n,m\ge N$に対し$|x_{n,m}-a|<\frac{\epsilon}{2}$を満たす。よって
$$\forall p\ge n\ge N,\forall q\ge m\ge N\ |x_{p,q}-x_{n,m}|=|x_{p,q}-a+a-x_{n,m}|\le |x_{p,q}-a|+|x_{n,m}-a|<\epsilon$$より示せた。逆に$\Leftarrow $を示すため$(x_{n,m})$をコーシー列とし任意に$\epsilon>0$をとる。$m=n$なる$m,n\in\mathbb{N}$を考え$x_{n,n}=:b_n$と書くと，$$\exists K\in\mathbb{N}\ s.t.\ \forall p\ge n\ge K\ |b_p-b_n|<\epsilon$$ゆえに, 「完備距離空間においてコーシー列ならばそれは収束する」ので$(b_n)_n\subset\mathbb{C}$はある$a\in\mathbb{C}$に収束する。よって
$$\exists N_1\in\mathbb{N}\ s.t.\ \forall n\in\mathbb{N}\ [n\ge N_1\Rightarrow |b_n-a|<\frac{\epsilon}{2}$$である。また, 再び$(x_{n,m})$がコーシー列である仮定を用い
$$\exists N_2\in\mathbb{N}\ s.t.\ \forall p,q\ge n\ge N_2\ |x_{p,q}-b_n|<\frac{\epsilon}{2}$$である。$N=\max\{N_1,N_2\}$とおき$n\ge N$なる任意の$n\in\mathbb{N}$に対して
$$\forall p,q\ge N\ |x_{p,q}-a|\le |x_{p,q}-b_n|+|b_n-a|<\epsilon$$
より良い。