非負の二重数列を元に作る無限級数$\sum^\infty_{m=0}(\sum^\infty_{n=0}a_{m,n})$と$\sum^\infty_{n=0}(\sum^\infty_{m=0}a_{m,n})$を考えるため, 便宜的に次の部分和を定義する。本稿は基本的な事実の復習といった側面が強いことをここで断る。無下限呪術の習得の一助となれば幸いである。
$$R_M:=\sum^M_{m=0}(\sum^\infty_{n=0}a_{m,n})=\sum^M_{n=0}r_m,\ ただし\ r_m:=\sum^\infty_{n=0}a_{m,n}$$を左部分和といい
$$C_N:=\sum^N_{n=0}(\sum^\infty_{m=0}a_{m,n})=\sum^N_{n=0}c_n,\ ただし\ c_n:=\sum^\infty_{m=0}a_{m,n}$$を右部分和という。
ここで次の問いを立てる。それは常に$\lim_{M\to\infty}R_M=\lim_{N\to\infty}C_N$が成り立つかということである。これは次の例により偽であると分かる。
二重数列$(a_{m,n})$を$a_{k,k}=1,\ a_{k,k+1}=-1\ (\forall k\in\mathbb{N}\cup\{0\}(=:\mathbb{N}_0),\ a_{m,n}=0\ (o.w.)$で定める。するとこの定義によって
$$\forall m\in\mathbb{N}r_m=0,\ c_0=1,\ \forall n\in\mathbb{N} c_n=0$$より
$$0=\sum^\infty_{m=0}r_m=\sum^\infty_{m=0}(\sum^\infty_{n=0}a_{m,n}),\ \sum^\infty_{n=0}(\sum^\infty_{m=0}a_{m,n})=\sum^\infty_{n=0}c_n=1$$である為である。
（二重数列版で）交換しても成り立つ必要条件を記述したというのが次の定理である。
$p_{m,n}\ge 0\forall (m,n)\in\mathbb{N}^2_0$なら, $\sum^\infty_{n=0}(\sum^\infty_{m=0}p_{m,n})=\sum^\infty_{m=0}(\sum^\infty_{n=0}p_{m,n})$が成り立つ。これは二重数列の級数が有限かそうでないかに関わらず成り立つことも注記しておく。
共に$+\infty $に発散するときは成り立つので, 定理の右左辺の級数の少なくとも一方は有限であると仮定する。今特に
$$\sum^\infty_{n=0}(\sum^\infty_{m=0}p_{m,n})<+\infty$$とする。今から
$$\sum^\infty_{m=0}(\sum^\infty_{n=0}p_{m,n})<+\infty$$も自動的に成り立つことを言う。$p_{M,n}\le\sum^\infty_{m=0}p_{m,n}=c_n\ (\forall M\in\mathbb{N}_0,\forall n\in\mathbb{N}_0)$が明らかに成り立つ。$M=m$とおき, 今$\sum^\infty_{n=0}c_n$が有限値に収束することから比較判定法より$r_m=\sum^\infty_{n=0}p_{m,n}<+\infty (\forall m\in\mathbb{N}_0)$で左部分和は有限である。次に, $\sum^\infty_{m=0}r_m<\infty $を示す。項$r_m$は非負なため, 其のためには部分和$R_M=\sum^M_{m=0}r_m$が上に有界であることを示せば良いが
$$C:=\sum^\infty_{n=0}c_n=\sum^\infty_{n=0}(\sum^\infty_{m=0}p_{m,n})<+\infty$$は仮定より成り立っている。
ここで示さなければいけないのは
$$\forall \epsilon>0\forall M\in\mathbb{N}_0\ R_M=\sum^M_{m=0}r_m< C+\epsilon$$である。何故ならこれが成り立つなら$\sum^\infty_{m=0}r_m\le C<+\infty$.$M$を任意の自然数とし, $\epsilon>0$を正数とする。$\forall m\in\mathbb{N}_0\ [r_m<+\infty]$よりある$N_m\in\mathbb{N}$が存在して
$$\forall m\in\{0,...,M\}\ r_m=\sum^\infty_{n=0}p_{m,n}<(\sum^{N_m}_{n=0}p_{m,n})+\frac{\epsilon}{M+1}$$が成立する($m$が限りなく大きいと$r_m<+\infty$からは逸脱するということ)。$N_\epsilon:=\max\{N_0,N_1,...,N_M\}$とおけば, $p_{m,n}$の非負性より
$$R_M=\sum^M_{m=0}r_m<\sum^M_{m=0}(\sum^{N_m}_{n=0}p_{m,n}+\frac{\epsilon}{M+1})=\sum^M_{m=0}\sum^{N_\epsilon}_{n=0}p_{m,n}+\epsilon=\sum^{N_\epsilon}_{n=0}\sum^M_{m=0}p_{m,n}+\epsilon\le\sum^{N_\epsilon}_{n=0}\sum^\infty_{m=0}p_{m,n}+\epsilon=C_{N_\epsilon}+\epsilon\le C+\epsilon$$よって$R:=\sum^\infty_{m=0}(\sum^\infty_{n=0}p_{m,n})=\lim_{M\to\infty}R_M\le C+\epsilon$であり, $R\le C$となる。$R<+\infty $が分かっていることより同様に$C\le R$も成り立ち定理を得る。
以下では, 非負の二重数列の級数の収束の言い換えを求め出すことを目的とする。$(a_n)_n\subset\mathbb{C}$を数列としたときに級数$\sum a_n$が収束するとは, $s_n:=\sum^n_{k=1}a_k$に対し$(s_n)_n$が収束することで定義された。この類似を次の通り二重数列においても実現したい。
$(a_{m,n})\subset\mathbb{R}$を二重数列とし
$$s_{m,n}:=\sum^m_{i=1}\sum^n_{j=1}a_{i,j}$$を$\sum a_{m,n}$のmn部分和という。二重級数$\sum a_{m,n}$が収束するとは$(s_{m,n})$が収束することで定義する。
ここで, 次の問いが自然に提起される。というのも$\sum a_{m,n}$が存在するなら
$$(\sum a_{m,n}=)\sum^\infty_{m=1}\sum^\infty_{n=1}a_{m,n}=\sum^\infty_{n=1}\sum^\infty_{m=1}a_{m,n}$$が常に成り立つだろうか。ただし$s_{m,n}$を用いて
$$\sum^\infty_{m=1}\sum^\infty_{n=1}a_{m,n}:=\lim_{m\to\infty}\lim_{n\to\infty}s_{m,n},\ \sum^\infty_{n=1}\sum^\infty_{m=1}a_{m,n}:=\lim_{n\to\infty}\lim_{m\to\infty}s_{m,n}$$と定めている。
上の問いという疑問は次で解消を終える。
$a_{m,n}\ge 0$とし, もし各$m,n\in\mathbb{N}$に対して$\sum_{m,n\in\mathbb{N}}a_{m,n}$が収束するならば
$$\sum a_{m,n}=\sum^\infty_{m=1}\sum^\infty_{n=1}a_{m,n}=\sum^\infty_{n=1}\sum^\infty_{m=1}a_{m,n}<+\infty$$である。さらに任意の正数$\epsilon $に対し
$$\exists N\in\mathbb{N}\ s.t.\ k>N\Rightarrow \sum^\infty_{i=1}\sum^\infty_{j=k}a_{i,j}<\epsilon\land\sum \sum^\infty_{i=k}\sum^\infty_{j=1}a_{i,j}<\epsilon$$
$s:=\sum a_{m,n}$は収束（定義は上述）するとし任意に$\epsilon>0$をとる。$s_{m,n}:=\sum^m_{i=1}\sum^n_{j=1}a_{i,j}$とおくとある$N\in\mathbb{N}$があって
$$m,n>N\Rightarrow |s-s_{m,n}|<\frac{\epsilon}{2}$$任意の$i\in\mathbb{N}$に対し$m(\ge i)\ s.t\ m>N$を選び$n>N$なる$n\in\mathbb{N}$を勝手にとると，$$\sum^n_{j=1}a_{i,j}\le\sum^m_{i=1}\sum^n_{j=1}a_{i,j}=s_{m,n}< s+\frac{\epsilon}{2}$$より$\sum^\infty_{j=1}a_{i,j}$は各$i\in\mathbb{N}$に対して存在する。従って特に
$$\left(\lim_{n\to\infty}s_{m,n}=\lim_{n\to\infty}\sum^m_{i=1}\sum^n_{j=1}a_{i,j}\right)=\sum^m_{i=1}\sum^\infty_{j=1}a_{i,j}$$よって
$$\forall m\in\mathbb{N}\ [m>N\Rightarrow |s-\sum^m_{i=1}\sum^\infty_{j=1}a_{i,j}|\le\frac{\epsilon}{2}<\epsilon]$$これより, $\sum a_{m,n}=\sum^\infty_{i=1}\sum^\infty_{j=1}a_{i,j}=\sum^\infty_{j=1}\sum^\infty_{i=1}a_{i,j}$。次に任意の$k\in\mathbb{N}$に対し
$$s=\sum^\infty_{i=1}\sum^k_{j=1}a_{i,j}+\sum^\infty_{i=1}\sum^\infty_{j=k+1}a_{i,j}$$は当然であり
$$\sum^\infty_{i=1}\sum^\infty_{j=k+1}a_{i,j}=s-\sum^\infty_{i=1}\sum^k_{j=1}a_{i,j}=s-\lim_{m\to\infty}s_{m,k}$$となる。既に$s=\lim_{k\to\infty}\lim_{m\to\infty}s_{m,k}$を示しており, 上式で$k\to\infty$とすれば
$$\forall\epsilon>0\exists N_1\in\mathbb{N}\ s.t.\ k>N_1\Rightarrow \sum^\infty_{i=1}\sum^\infty_{j=k}a_{i,j}<\epsilon$$同様に
$$\forall\epsilon>0\exists N_2\in\mathbb{N}\ s.t.\ k>N_2\Rightarrow \sum^\infty_{i=k}\sum^\infty_{j=1}a_{i,j}<\epsilon$$が成り立ち$N:=\max\{N_1,N_2\}$とおけば良い。
$$S_k:=\{(m,n)\ |\ 1\le m\le k,1\le n\le k\}$$とおき, 二重数列$(a_{m,n})\subset\mathbb{R}$に対して$\sum a_{m,n}$を絶対収束する級数とする。次に述べることとは$\sum a_{m,n}=\lim_{k\to\infty}\sum_{(m,n)\in S_k}a_{m,n}\ (=\lim_{k\to\infty}\sum^k_{m=1}\sum^k_{n=1}a_{m,n})$が成り立つことの証明である。
絶対収束級数$\sum a_{m,n}$は収束する。さらに, $S_1\subseteq S_2\subseteq\cdots \subseteq\mathbb{N}\times\mathbb{N}$という有限集合が
$$(*):\forall m,n\in\mathbb{N}\ \exists k\in\mathbb{N}\ s.t.\ \{1,2,...,m\}\times\{1,2,...,n\}\subseteq S_k\subseteq S_{k+1}\subseteq\cdots$$という性質を満たすとする。このとき$s_k:=\sum_{(m,n)\in S_k}a_{m,n}$に対する数列$(s_k)$は収束し, さらに
$$\sum a_{m,n}=\lim_{k\to\infty}s_k$$が成り立つ。
$(s_k)$が収束することを, この数列がコーシー列であることを明示することで示す。任意に$\epsilon>0$をとる。$\sum |a_{m,n}|$は収束するので前定理より
$$1)\ \exists N\in\mathbb{N}\ s.t.\ \forall k\in\mathbb{N}\ [k>N\Rightarrow \sum^\infty_{i=1}\sum^\infty_{j=k}|a_{i,j}|<\epsilon\land \sum^\infty_{i=k}\sum^\infty_{j=1}|a_{i,j}|<\epsilon]$$である。(*)から
$$\exists N'\in\mathbb{N}\ s.t.\ \{1,2,...,N\}\times\{1,2,...,N\}\subseteq S_{N'}\subseteq S_{N'+1}\subseteq\cdots$$$k,\ell>N'$なる$k,\ell\in\mathbb{N}$を取れば$S_\ell\subseteq S_k$より
$$|s_k-s_\ell|=|\sum_{(i,j)\in S_k}a_{i,j}-\sum_{(i,j)\in S_\ell}a_{i,j}|=|\sum_{(i,j)\in S_k\backslash S_\ell}a_{i,j}\le\sum_{(i,j)\in S_k\backslash S_\ell}|a_{i,j}|$$$\{1,2,...,N\}^2\subseteq S_\ell$より
$$S_k\backslash S_\ell\subseteq \mathbb{N}\times\{N+1,...\}\lor S_k\backslash S_\ell\subseteq \{N+1,...\}\times\mathbb{N}$$が成り立つ。このことの証明については, 背理法からもしある$(a,b)\in S_k\backslash S_\ell\ s.t.\ (a,b)\notin \mathbb{N}\times\{N+1,...\}\land (a,b)\notin\{N+1,...\}\times\mathbb{N}$. つまり$a,b\in\{1,2,...,N\}\Rightarrow (a,b)\in S_\ell $で矛盾。
1)において$\sum^\infty_{i=1}\sum^\infty_{j=k}|a_{i,j}|<\epsilon $が成り立つことに注目する。上式より
$$|s_k-s_\ell|\le \sum_{(i,j)\in S_k\backslash S_\ell}|a_{i,j}|\le\sum^\infty_{i=1}\sum^\infty_{j=N+1}|a_{i,j}|<\epsilon$$であり, $(s_k)$はコーシー列である。
以下, $\sum a_{m,n}$の収束先は$\exists\lim_{k\to\infty}s_k=:s$と一致することを言う。
任意の正数$\epsilon$と$N\in\mathbb{N}$を1)における$N$として取る。すなわち
$$\exists N\in\mathbb{N}\ s.t.\ \forall k\in\mathbb{N}\ [k>N\Rightarrow \sum^\infty_{i=1}\sum^\infty_{j=k}|a_{i,j}|<\epsilon/2\land \sum^\infty_{i=k}\sum^\infty_{j=1}|a_{i,j}|<\epsilon/2$$自然数$m,n>N$を固定する。(*)より
$$\exists k>N\ s.t.\ \{1,2,...,m\}\times\{1,2,...,n\}\subseteq S_k,\ |s_k-s|<\frac{\epsilon}{2}$$であるため1)を用いて
$$\forall \epsilon>0\ |s_k-s_{m,n}|\le \sum_{(i,j)\in S_k\backslash (\{1,...,m\}\times\{1,...,n\})}<\sum^\infty_{i=1}\sum^\infty_{j=n+1}|a_{i,j}|<\frac{\epsilon}{2}$$よって$|s_{m,n}-s|\le |s_{m,n}-s_k|+|s_k-s|<\epsilon$である。定義を振り返れば$\sum a_{m,n}=s$となる。
このように総和公式を得たが, より普遍的であって有用な総和公式となりうるものが次である。これも単一の数列をもとに作られる級数に対して成り立つ命題の類似といえる。
$$\sum a_{m,n}は絶対収束する\Leftrightarrow \sum^\infty_{m=1}\sum^\infty_{n=1}|a_{m,n}|<\infty \lor\sum^\infty_{n=1}\sum^\infty_{m=1}|a_{m,n}|<\infty$$このとき$\sum a_{m,n}=\sum^\infty_{m=1}\sum^\infty_{n=1}a_{m,n}=\sum^\infty_{n=1}\sum^\infty_{m=1}a_{m,n}$である。
$\Rightarrow$ を示す。定理2より
$$\sum_{m,n}|a_{m,n}|=\sum^\infty_{m=1}\sum^\infty_{n=1}|a_{m,n}|=\sum^\infty_{n=1}\sum^\infty_{m=1}|a_{m,n}|$$である。前半は仮定より成り立つので$\sum^\infty_{m=1}\sum^\infty_{n=1}a_{m,n}$と$\sum^\infty_{n=1}\sum^\infty_{m=1}a_{m,n}$が収束し, かつ共に$s:=\sum a_{m,n}$と等しいことを示す。$s$の存在性は命題1より保証できる。任意の正数$\epsilon$に対し$N\in\mathbb{N}$が存在して
$$2)\ m,n>N\Rightarrow |s-s_{m,n}|<\frac{\epsilon}{2}$$とできる。$\sum^\infty_{m=1}\sum^\infty_{n=1}|a_{m,n}|<\infty $より任意の$m\in\mathbb{N}$に対し$\sum^\infty_{n=1}|a_{m,n}|$は収束する。「二重数列ではない数列の微積分学」から, 各$m\in\mathbb{N}$に対し$\sum^\infty_{n=1}a_{m,n}=\lim_{n\to\infty}s_{m,n}$は収束先をもつ。よって2)で$n\to\infty $として
$$m\in\mathbb{N}\ [m>N\Rightarrow |s-\lim_{n\to\infty}s_{m,n}|\le\frac{\epsilon}{2}<\epsilon$$これは$s=\lim_{m\to\infty}\lim_{n\to\infty}s_{m,n}$, つまり$s=\sum^\infty_{m=1}\sum^\infty_{n=1}a_{m,n}$を意味し片方も同様である。
逆を示すためある$t\in\mathbb{R}$があって
$$\sum^\infty_{m=1}\sum^\infty_{n=1}|a_{m,n}|=t<\infty$$とする。$\sum a_{m,n}$が絶対収束することを示すため, 任意の正数$\epsilon$をとる。 「二重数列ではない数列の微積分学」から
$$\exists N\in\mathbb{N}\ s.t.\ \forall m\in\mathbb{N}\ [m,n>N\Rightarrow \sum^\infty_{i=m+1}(\sum^n_{j=1}|a_{i,j}|)<\frac{\epsilon}{2}$$である。任意の$k>m(>N)$に対して
$$\left|\sum^k_{i=1}\sum^n_{j=1}|a_{i,j}|-\sum^m_{i=1}\sum^n_{j=1}|a_{i,j}|\right|\le \sum^k_{i=m+1}\sum^n_{j=1}|a_{i,j}|<\frac{\epsilon}{2}$$$k\to\infty $とすることで
$$\left|t-\sum^m_{i=1}\sum^n_{j=1}|a_{i,j}|\right|\le\frac{\epsilon}{2}<\epsilon$$よって$\sum |a_{m,n}|$は定義通りに言えば, $t$に収束する。すなわち$\Leftarrow$を示せた。
$|z|<1$上で$\sum_{m,n}z^{m+n}$という二重級数をとりあげる。これは
$$\sum^\infty_{m=0}\sum^\infty_{n=0}|z|^{m+n}=\sum^\infty_{m=0}|z|^m\frac{1}{1-|z|}=\frac{1}{(1-|z|)^2}<+\infty$$なので命題2より絶対収束することが分かる。
次のように考えれば命題1を用いた応用が効くことを述べる。
$$S_k=T_0\cup T_1\cup\cdots\cup T_k\ T_\ell:=\{(m,n)\ |\ m+n=\ell,m,n\ge 0\}$$とおく。命題1より
$$\sum _{m,n}z^{m+n}=\lim_{k\to\infty}\sum_{(m,n)\in S_k}z^{m+n}=\lim_{k\to\infty}\sum^k_{\ell=0}\sum_{(m,n)\in T_\ell}z^{m+n}$$である。$T_\ell=\{(0,\ell),(1,\ell-1),...,(\ell,0)\}$より
$$\sum_{(m,n)\in T_\ell}z^{m+n}=z^{0+\ell}+\cdots z^{\ell+0}=(\ell+1)z^\ell$$したがって$\sum z^{m+n}=\sum^\infty_{\ell=0}(\ell+1)z^\ell $となるが，$$\frac{1}{(1-z)^2}=\sum^\infty_{n=1}nz^{n-1}$$を得る。