積分解説5

今回はこちらの積分botさんの積分を解説します。
https://twitter.com/integralsbot/status/1497892491940356097?s=21

$\displaystyle I(a,b):=\int_0^∞\log\left(1+\frac{a^2}{x^2}\right)\log\left(1+\frac{b^2}{x^2}\right)dx$
$\displaystyle\frac{\partial^2 I(a,b)}{\partial a \partial b}=\int_0^∞ \frac{2a}{x^2+a^2}\frac{2b}{x^2+b^2}dx$
$\displaystyle=2\pi i･2\Big(\lim_{z\to ai}\frac{a}{z^2+a^2}\frac{b}{z^2+b^2}(z-ai)+\lim_{z\to bi}\frac{a}{z^2+a^2}\frac{b}{z^2+b^2}(z-bi)\Big)$
$\displaystyle=\frac{2\pi}{a+b}$
$\displaystyle\frac{\partial I(a,b)}{\partial b}=2\pi\int\frac{1}{a+b}da=2\pi\big(\log(a+b)+C_a\big)$
$\displaystyle a=0$として、左辺の値は0になるため、
$\displaystyle 0=2\pi\big(\log b+C_a\big)\Leftrightarrow C_a=-\log b$
$\displaystyle I(a,b)=2\pi\int\big(\log(a+b)-\log b\big)db$
$\displaystyle=2\pi\big((a+b)\log(a+b)-b\log b+C\big)$
$a$と$b$で対称なのは明らか。よって、求める積分は、
$\displaystyle I(a,b)=2\pi\big((a+b)\log(a+b)-a\log a-b\log b\big)$
$\displaystyle=2\pi\log\frac{(a+b)^{a+b}}{a^ab^b}$