積分解説5

今回はこちらの積分botさんの積分を解説します。
https://twitter.com/integralsbot/status/1497892491940356097?s=21

${\displaystyle I(a,b):={\int }_0^{\infty }\log (1+\frac{a^2}{x^2})\log (1+\frac{b^2}{x^2})dx}$
${\displaystyle \frac{{\partial }^{2}I(a,b)}{\partial a\partial b}={\int }_0^{\infty }\frac{2a}{x^2+a^2}\frac{2b}{x^2+b^2}dx}$
${\displaystyle =2\pi i･2(\underset{z\to ai}{lim}\frac{a}{z^2+a^2}\frac{b}{z^2+b^2}(z-ai)+\underset{z\to bi}{lim}\frac{a}{z^2+a^2}\frac{b}{z^2+b^2}(z-bi))}$
${\displaystyle =\frac{2\pi }{a+b}}$
${\displaystyle \frac{\partial I(a,b)}{\partial b}=2\pi \int \frac{1}{a+b}da=2\pi (\log (a+b)+C_a)}$
${\displaystyle a=0}$として、左辺の値は0になるため、
${\displaystyle 0=2\pi (\log b+C_a)\iff C_a=-\log b}$
${\displaystyle I(a,b)=2\pi \int (\log (a+b)-\log b)db}$
${\displaystyle =2\pi ((a+b)\log (a+b)-b\log b+C)}$
$a$と$b$で対称なのは明らか。よって、求める積分は、
${\displaystyle I(a,b)=2\pi ((a+b)\log (a+b)-a\log a-b\log b)}$
${\displaystyle =2\pi \log \frac{(a+b{)}^{a+b}}{a^a{b}^b}}$