$H,K$をヒルベルト空間とする。$(L,\phi)$が$H$と$K$のテンソル積であるとは
(1) $L$はヒルベルト空間であって$\phi:H\times K\to L$が双線形である
(2) $\overline{\mathrm{span}\ \phi(H\times K)}=L$
(3) $\forall x,x'\in H\ \forall y,y'\in K\ <\phi(x,y),\phi(x',y')>=< x,x'>< y,y'>$を満たすことと定める。HとKのテンソル積$(L,\phi)$, 特に$L$を$H\otimes K$と記述する。
以下， まず$H\otimes K$が一意に存在することを示す。$B_a(K,H)$を$K$から$H$への反線形作用素全体とする。:
$$T\in B_a(K,H):\Leftrightarrow \forall y,y'\in K\ \lambda\in\mathbb{C}\ T(y+y')=T(y)+T(y'),T(\lambda y)=\overline{\lambda}T(y),\sup\{\|Ty\|\ |\ \|y\|\le 1\}<\infty$$
任意の$T\in B_a(K,H)$に対し一意に
$$T^\sharp\in B_a(H,K)\ s.t.\ \forall x\in H,\forall y\in K\ < Ty,x>=< T^\sharp x,y>$$が存在する。以下作用素ノルムを略記して単に区別なく$\|\|$とかく。
$x\in H$を任意にとる。$K$上の有界線形汎関数$f_x$を$f_x(y)=< x,Ty>$で定めると, $\|f_x\|\le \|x\|\|T\|$より$f_x$は有界である。よってリースの表現定理からある$y_x\in K$が存在し
$$\forall y\in K\ f_x(y)=< y,y_x>\land \|f_x\|=\|y_x\|$$である。$T^\sharp:H\to K$を$T^\sharp (x):=y_x$で定めれば$\|T^\sharp x\|=\|f_x\|\le\|x\|\|T\|$から$\|T^\sharp\|\le\|T\|$である。反線形性は内積の公理とリースの表現定理より簡単に
$$<\lambda x,Ty>=\lambda< x,Ty>=\lambda< y,T^\sharp x>=< y,\overline{\lambda}T^\sharp x>\ \forall y\in K\Rightarrow T^\sharp(\lambda x)=\overline{\lambda}T^\sharp (x)$$$$< x+x',Ty>=< x,Ty>+< x',Ty>=< y,T^\sharp x>+< y,T^\sharp x'>=< y,T^\sharp (x)+T^\sharp(x')>\Rightarrow T^\sharp (x+x')=T^\sharp(x)+T\sharp(x')>$$と分かる。
$I$を集合とし$f:I\to [0,\infty)$を非負関数とする。$\sum_{i\in I}f(i):=\sup_{有限部分集合I'\subset I}\sum_{i\in I'}f(i)$で定める。
$a:I\times J\to [0,\infty)$を関数とする。$a_{ij}:=a(i,j)$とかき$\sum_{j\in J}a_{ij}=:b_i,\sum_{i\in I}a_{ij}=:c_j$なら$\sum_{i\in I}b_i=\sum_{j\in J}c_j$である。すなわち
$$\sum_{i\in I}\sum_{j\in J}a_{ij}=\sum_{j\in J}\sum_{i\in I}a_{ij}$$
$J',I'$をそれぞれ$J$と$I$の任意の有限部分集合とすると
$$(*):\sum_{j\in J'}\sum_{i\in I'}a_{ij}=\sum_{i\in I'}\sum_{j\in J'}a_{ij}\le\sum_{i\in I'}b_i\le\sum_{i\in I}b_i$$である。次に
$$\sup_{I'\subset I}\sum_{j\in J'}\sum_{i\in I'}a_{ij}=\sum_{j\in J'}(\sup_{I'\subset I}\sum_{i\in I'}a_{ij})\equiv \sum_{j\in J'}c_j$$を示す。$J':=\{j_1,j_2,\dots j_m\}$を固定すると, 「$\sup (x_i+y_i)\le\sup x_i+\sup y_i$」と$\sum_{j\in J'}\sum_{i\in I'}a_{ij}=\sum_{i\in I'}a_{i,j_1}+\cdots+\sum_{i\in I'}a_{i,j_m}$であることから
$$\sup_{I'\subset I}\sum_{j\in J'}\sum_{i\in I'}a_{ij}\le c_{j_1}+\cdots+c_{j_m}$$が成り立つ。逆側の不等式を確かめる。
もしある$j_k\in J'$に対し$c_{j_k}=\infty $ならば, 明らかな不等式$\sum_{i\in I'}a_{ij_k}\le\sum_{j\in J'}\sum_{i\in I'}a_{ij}\forall I'\subset I$から
$$\infty=c_{j_k}=\sup_{I'\subset I}\sum_{i\in I'}a_{ij_k}\le\sup_{I'\subset I}\sum_{j\in J'}\sum_{i\in I'}a_{ij}$$ゆえに終える。もし$\forall j_k\in\mathbb{N} c_{j_k}<\infty $ならば, ある$I$の有限部分集合の族$I_1,...,I_m$が存在して
$$\forall \epsilon>0\ \forall k\in\{1,...,m\}\ \sum_{i\in I_k}a_{ij_k}>c_{j_k}-\frac{\epsilon}{m}$$となる。$\tilde{I}=\cup^m_{k=1}I_k$とおくとこれはまた$I$の有限部分集合なので
$$\sum^m_{k=1}c_{j_k}-\epsilon\le\sum^m_{k=1}\sum_{i\in I_k}a_{ij_k}\le\sum^m_{k=1}\sum_{i\in\tilde{I}}a_{ij_k}=\sum_{j\in J'}\sum_{i\in\tilde{I}}a_{ij}\le\sup_{I'\subset_{fin} I}\sum_{j\in J'}\sum_{i\in I'}a_{ij}$$よって$J$の任意の有限部分集合$J'$に対し，$\sup_{I'\subset I}\sum_{j\in J'}\sum_{i\in I'}a_{ij}=\sum_{j\in J'}c_j$で, $(*)$より
$$\sum_{j\in J'}c_j\le\sum_{i\in I}b_i\Rightarrow \sum_{j\in J}c_j\le\sum_{i\in I}b_i$$対称的な議論より$\sum_{j\in J}c_j=\sum_{i\in I}b_i$である。
$\{f_k\}_{k\in K},\{e_j\}_{j\in J}$を$K,H$の正規直交基底とする。$Tf_k=\sum_{j\in J}< Tf_k,e_j>e_j$より$\|Tf_k\|^2=\sum_{j\in J}|< Tf_k,e_j>|^2$で前命題と前々命題より
$$\sum_k\|Tf_k\|^2=\sum_k\sum_j|< Tf_k,e_j>|^2=\sum_j\sum_k|< T^\sharp e_j,f_k>|^2=\sum_j\|T^\sharp e_j\|^2$$のため, $\sum_{k\in K}\|Tf_k\|^2$は$K$の正規直交基底の取り方には依存せず定まる。
$\{f_k\}_{k\in K}$をヒルベルト空間$K$の正規直交基底とし,
$$B(K,H):=\{T\in B_a(K,H)\ |\ \sum_{k\in K}\|Tf_k\|^2<\infty\}$$とおくと, これは線形空間をなすことは明らか。次に$S,T\in B(K,H)$に対して$\sum_k< Sf_k,Tf_k>$は絶対収束し, $K$の正規直交基底の選び方に依存しないことを示す。まず極化等式を用いて（本稿は第一変数が線形, 第二変数が反線形の内積。絶対収束性も極化等式から自明）
$$\begin{eqnarray}
\sum_k< Sf_k,T_fk>&=&\frac{1}{4}(\sum_k\|S+Tf_k\|^2-\sum_k\|S-Tf_k\|^2+\sum_ki\|S+iTf_k\|^2-\sum_ki\|S-iTf_k\|^2)\\
&=&\frac{1}{4}(\sum_k\|(S+T)^\sharp e_j\|^2-\sum_k\|(S-T)^\sharp e_j\|^2+\sum_ki\|(S+iT)^\sharp e_j\|^2-\sum_ki\|(S-iT)^\sharp e_j\|^2)\\
&=&\frac{1}{4}(\sum_k\|S^\sharp+T^\sharp e_j\|^2-\sum_k\|S^\sharp-T^\sharp e_j\|^2+\sum_ki\|S^\sharp+iT^\sharp e_j\|^2-\sum_ki\|S^\sharp-iT^\sharp e_j\|^2)=\sum_j< S^\sharp e_j,T^\sharp e_j>\end{eqnarray}$$これより$B(K,H)$上に任意の$S,T\in B(K,H)$について次で
$$< S,T>:=\sum_k< Sf_k,Tf_k>$$という内積を定義することができる。なぜなら$< T,T>=0\Rightarrow \sum_k\|Tf_k\|^2=0\Rightarrow \forall f_k\ Tf_k=0\Leftrightarrow T=0$でその他も明らかである。
$B(K,H)$はこの内積によってヒルベルト空間をなすことを示す。全ての（可分）ヒルベルト空間は$\ell^2$と同型であったことを思い出す。$T\in B(K,H)$に対し, $g:B(K,H)\to\ell^2(K\times J)$を
$$g(T)(k,j):=< Tf_k,e_j>$$で定める。$\sum_{j,k}|g(T)(k,j)|^2=\sum_k\|Tf_k\|^2<\infty$より上の写像は各定義域の元に対し終域の元へと対応させていると言う意味で良定義である。$g$は線形同型であることも線形性は$\forall T_1,T_2\in B(K,H)\ g(T_1+T_2)(k,j)=g(T_1)(k,j)+g(T_2)(k,j)$より成り立ち同型性も逆写像を
$$\forall \mu=(\mu_{kj})\in\ell^2(K\times J)\ \forall y\in K\ ;\ g^{-1}(\mu)(y)=\sum_j(\sum_k\overline{< y,f_k>}\mu_{kj})e_j$$として自明である。よって$B(K,H)$はヒルベルト空間をなす。
$H$と$K$の今の流儀におけるテンソル積の存在について示せ。
$$H\otimes K:=B(K,H),\ \phi(x,y)(・):=< y,・>x\ (\forall x\in H,y\in K)$$と定義する。以後$\phi(x,y)$を$x\otimes y$と記述されたい。$\sum_k\|\phi(x,y)(f_k)\|^2=\sum_k\|< y,f_k>x\|^2=\|x\|^2\sum_k|< y,f_k>|^2=\|x\|^2\|y\|^2<\infty $より, $\phi(x,y)\in H\otimes K$である。
$$\forall x'\in H\forall y'\in K\ < x\otimes y(y'),x'>=<< y,y'>x,x'>=< y,y'>< x,x'>=<< x,x'>y,y'>$$なので
$$\left(\forall x'\in H\ (x\otimes y)^\sharp (x')=< x,x'>y\Leftrightarrow\right)(x\otimes y)^\sharp=< x,・>y\ :\ (\mathrm{i})$$が成り立つ。また任意の$T\in H\times K$に対し，$$< x\otimes y,T>_{B(K,H)}=\sum_k< x\otimes y(f_k),Tf_k>=\sum_k<< y,f_k>x,Tf_k>=\sum_k< y,f_k>< x,Tf_k>=\sum_k< y,f_k>< f_k,T^\sharp x>=< y,T^\sharp x>_{K}\ :(\mathrm{ii})$$なので
$$< x\otimes y,x'\otimes y'>\underset{(ii)}{=}< y,(x'\otimes y')^\sharp(x)>\underset{(i)}{=}< y,< x',x>y'>\underset{内積の反線形性}{=}< x,x'>< y,y'>$$である。これで冒頭の定義の$(3)$を示せた。最後に(2), すなわち$\{f_k\otimes e_j\}$が$H\otimes K$の正規直交基底であることを示す。まず
$$< f_k\otimes e_j,f'_k\otimes e'_j>=< f_k,f'_k>< e_j,e'_j>=\delta_{kk'}\delta_{jj'}$$より正規直交系であることは良い。下の命題を適用すればよく, もし$\forall k,j\in\mathbb{N}\ < f_k\otimes e_j,T>=0$とすると
$$\forall k,j\in\mathbb{N}\ < e_j,Tf_k>_H=0\Rightarrow Tf_k=0,\ T=0$$より$\phi(H\times K)$は$H\otimes K$において稠密である。
$(x_n)$がヒルベルト空間$H$の正規直交系であるとは，$$< x_n,x_m>=\begin{cases}
1&(n=m)\\
0&(n\neq m)\end{cases}$$を満たすことを言う。$H$の正規直交系$(x_n)$に対して$\{\sum^n_{i=1}c_ix_i\ |\ n\in\mathbb{N},c_i\in\mathbb{C}\}$の閉包 (i.e. $(x_n)$の線形結合の閉包)が$H$に等しいことと次は同値である。
・$\forall x\in H\ x=\sum^\infty_{i=1}< x,x_i>x_i$
・ $\forall x,y\in H\ < x,y>=\sum^\infty_{i=1}< x,x_i>\overline{< y,x_i>}$
・ $\forall x\in H\ \|x\|^2=\sum^\infty_{i=1}|< x,x_i>|^2$
・ $\forall x\in H\ [\forall i\in\mathbb{N}\ < x_i,x>=0\Rightarrow x=0]$これらの条件のうちのどれかを満たす$(x_n)$を$H$の正規直交基底と呼んだ。
一意的であることを次から示すが線形空間の一般論的なことから始める。
$\sum^n_{k=1}x_k\otimes y_k=0,\ \{y_k\}^n_{k=1}$が線形独立なベクトルの集合とするとき, $\forall k\in\{1,2,...,n\}\ x_k=0$である。
$\{z_1,...,z_m\}$を$\{x_1,...,x_n\}$で張られる空間の正規直交基底とし, $k\in\{1,2,...,n\}$に対しある$\lambda^k_r\in\mathbb{C}$を用いて$x_k=\sum^m_{r=1}\lambda^k_rz_r$とかくと$(1)$の双線形性から
$$\sum_k\sum_r\lambda^k_rz_r)\otimes y_k=\sum_k\sum_r(\lambda^k_rz_r\otimes y_k)=\sum_r\sum_k(z_r\otimes(\lambda^k_ry_k))=\sum_rz_r\otimes(\sum_k\lambda^k_ry_k)=0$$ここで, $y'_r:=\sum_k\lambda^k_ry_k$とおけば$\sum_rz_r\otimes y'_r=0$である。$\|\sum_r\|z_r\times y'_r\|^2=\sum_r\|y'_r\|^2=0$で$\forall r\in\{1,...,m\}\ y'_r=0$と$\{y_k\}$が線形独立なベクトルだったので$\lambda^k_r=0$となる。
$\psi:H\times K\to E$を双線形写像とする。
$$\sum^n_{k=1}x_k\otimes y_k=0\Rightarrow \sum^n_{k=1}\psi(x_k,y_k)=0$$
$\{y_1,...,y_n\}$で張られる空間において独立なベクトルを$\{y'_1,...,y'_m\}$として勝手にとる(正規である必要はない)。ある$\lambda^k_r\in\mathbb{C}$で$y_k=\sum^m_{r=1}\lambda^k_ry'_r$とかけるので
$$\sum_r\left( (\sum_k\lambda^k_rx_k)\otimes y'_r\right)=\sum^n_{k=1}x_k\otimes y_k=0$$であり前補題から$\sum_k\lambda^k_rx_k=0\ (\forall r)$である。$\psi $は双線形であることより
$$0=\sum_r\psi(0,y'_r)=\sum_r\psi(\sum_k\lambda^k_rx_k,y'_r)=\sum_r\sum_k\psi(x_k,\lambda^k_ry'_r)=\sum_k\psi(x_k,\sum_r\lambda^k_ry'_r)=\sum_k\psi(x_k,y_k)$$
$H\odot K=\mathrm{span}\{x\otimes y\ |\ x\in H,y\in K\}$と定義するとこれは$H\otimes K$の稠密部分空間である。$(E,\psi)$を$H$と$K$のテンソル積とする。$U:H\odot K\to E$を線形性を持ち重要な対応は指定すると$U(\sum^n_{k=1}x_k\otimes y_k)=\sum^n_{k=1}\psi(x_k,y_k)$となるよう定める。すると補題５より$U$は無限次元もありうるヒルベルト空間への写像として良定義である。
$$< U(\sum^n_{k=1}x_k\otimes y_k),U(\sum^n_{k=1}x_k\otimes y_k)>=<\sum^n_{k=1}\psi(x_k,y_k),\sum^n_{k=1}\psi(x_k,y_k)>=\sum^n_{i=1}\sum^n_{j=1}<\psi(x_i,y_i),\psi(x_j,y_j)>=\sum^n_{i=1}\sum^n_{j=1}< x_i,x_j>< y_i,y_j>=\sum^n_{i=1}\sum^n_{j=1}< x_i\otimes y_i,x_j\otimes y_j>=\|\sum_ix_i\otimes y_i\|^2$$より$U$は$H\odot K$上の等距離同型作用素で, $\mathrm{ran}(U)=\mathrm{span}\{\psi(x,y)\ |\ x\in H,y\in K\}$である。位相線型空間の一般論の話で$U$は一意に$V:H\otimes K\to E$に拡張でき, $\mathrm{ran}(V)$は$E$で閉となる。$S:=\mathrm{span}\{\psi(x,y)\ |\ x\in H,y\in K\}\subset \mathrm{ran}(V)$, ただし冒頭の定義(2)より$\overline{S}=E$。よって$\mathrm{ran}(V)=E$が成り立つ。$U$の等距離性から$\psi=V\circ\psi$であり, この意味でテンソル積の存在は一意である。