ヒルベルト空間のテンソル積の存在について

$x\in H$を任意にとる。$K$上の有界線形汎関数$f_x$を$f_x(y)=<x,Ty>$で定めると, $\parallel f_x\parallel \le \parallel x\parallel \parallel T\parallel$より$f_x$は有界である。よってリースの表現定理からある$y_x\in K$が存在し
$$\mathrm{\forall }y\in K{f}_x(y)=<y,y_x>\wedge \parallel f_x\parallel =\parallel y_x\parallel$$である。$T^{\mathrm{♯}}:H\to K$を$T^{\mathrm{♯}}(x):=y_x$で定めれば$\parallel T^{\mathrm{♯}}x\parallel =\parallel f_x\parallel \le \parallel x\parallel \parallel T\parallel$から$\parallel T^{\mathrm{♯}}\parallel \le \parallel T\parallel$である。反線形性は内積の公理とリースの表現定理より簡単に
$$<\lambda x,Ty>=\lambda <x,Ty>=\lambda <y,T^{\mathrm{♯}}x>=<y,\bar{\lambda }{T}^{\mathrm{♯}}x>\mathrm{\forall }y\in K\Rightarrow T^{\mathrm{♯}}(\lambda x)=\bar{\lambda }{T}^{\mathrm{♯}}(x)$$$$<x+x^{\prime },Ty>=<x,Ty>+<x^{\prime },Ty>=<y,T^{\mathrm{♯}}x>+<y,T^{\mathrm{♯}}{x}^{\prime }>=<y,T^{\mathrm{♯}}(x)+T^{\mathrm{♯}}(x^{\prime })>\Rightarrow T^{\mathrm{♯}}(x+x^{\prime })=T^{\mathrm{♯}}(x)+T\mathrm{♯}(x^{\prime })>$$と分かる。

$J^{\prime },I^{\prime }$をそれぞれ$J$と$I$の任意の有限部分集合とすると
$$(\ast ):\sum _{j\in J^{\prime }}\sum _{i\in I^{\prime }}{a}_{ij}=\sum _{i\in I^{\prime }}\sum _{j\in J^{\prime }}{a}_{ij}\le \sum _{i\in I^{\prime }}{b}_i\le \sum _{i\in I}{b}_i$$である。次に
$$\underset{I^{\prime }\subset I}{sup}\sum _{j\in J^{\prime }}\sum _{i\in I^{\prime }}{a}_{ij}=\sum _{j\in J^{\prime }}(\underset{I^{\prime }\subset I}{sup}\sum _{i\in I^{\prime }}{a}_{ij})\equiv \sum _{j\in J^{\prime }}{c}_j$$を示す。$J^{\prime }:=\{j_1,j_2,\dots j_m\}$を固定すると, 「$sup(x_i+y_i)\le sup{x}_i+sup{y}_i$」と$\sum _{j\in J^{\prime }}\sum _{i\in I^{\prime }}{a}_{ij}=\sum _{i\in I^{\prime }}{a}_{i,j_1}+\cdots +\sum _{i\in I^{\prime }}{a}_{i,j_m}$であることから
$$\underset{I^{\prime }\subset I}{sup}\sum _{j\in J^{\prime }}\sum _{i\in I^{\prime }}{a}_{ij}\le c_{j_1}+\cdots +c_{j_m}$$が成り立つ。逆側の不等式を確かめる。

もしある$j_k\in J^{\prime }$に対し$c_{j_k}=\mathrm{\infty }$ならば, 明らかな不等式$\sum _{i\in I^{\prime }}{a}_{i{j}_k}\le \sum _{j\in J^{\prime }}\sum _{i\in I^{\prime }}{a}_{ij}\mathrm{\forall }{I}^{\prime }\subset I$から
$$\mathrm{\infty }=c_{j_k}=\underset{I^{\prime }\subset I}{sup}\sum _{i\in I^{\prime }}{a}_{i{j}_k}\le \underset{I^{\prime }\subset I}{sup}\sum _{j\in J^{\prime }}\sum _{i\in I^{\prime }}{a}_{ij}$$ゆえに終える。もし$\mathrm{\forall }{j}_k\in \mathbb{N}{c}_{j_k}<\mathrm{\infty }$ならば, ある$I$の有限部分集合の族$I_1,...,I_m$が存在して
$$\mathrm{\forall }ϵ>0\mathrm{\forall }k\in \{1,...,m\}\sum _{i\in I_k}{a}_{i{j}_k}>c_{j_k}-\frac{ϵ}{m}$$となる。$\tilde{I}={\cup }_{k=1}^m{I}_k$とおくとこれはまた$I$の有限部分集合なので
$$\sum _{k=1}^m{c}_{j_k}-ϵ\le \sum _{k=1}^m\sum _{i\in I_k}{a}_{i{j}_k}\le \sum _{k=1}^m\sum _{i\in \tilde{I}}{a}_{i{j}_k}=\sum _{j\in J^{\prime }}\sum _{i\in \tilde{I}}{a}_{ij}\le \underset{I^{\prime }{\subset }_{fin}I}{sup}\sum _{j\in J^{\prime }}\sum _{i\in I^{\prime }}{a}_{ij}$$よって$J$の任意の有限部分集合$J^{\prime }$に対し，$\underset{I^{\prime }\subset I}{sup}\sum _{j\in J^{\prime }}\sum _{i\in I^{\prime }}{a}_{ij}=\sum _{j\in J^{\prime }}{c}_j$で, $(\ast )$より
$$\sum _{j\in J^{\prime }}{c}_j\le \sum _{i\in I}{b}_i\Rightarrow \sum _{j\in J}{c}_j\le \sum _{i\in I}{b}_i$$対称的な議論より$\sum _{j\in J}{c}_j=\sum _{i\in I}{b}_i$である。

$$H\otimes K:=B(K,H),\varphi (x,y)(・):=<y,・>x(\mathrm{\forall }x\in H,y\in K)$$と定義する。以後$\varphi (x,y)$を$x\otimes y$と記述されたい。$\sum _k\parallel \varphi (x,y)(f_k){\parallel }^2=\sum _k\parallel <y,f_k>x{\parallel }^2=\parallel x{\parallel }^2\sum _k|<y,f_k>{|}^2=\parallel x{\parallel }^2\parallel y{\parallel }^2<\mathrm{\infty }$より, $\varphi (x,y)\in H\otimes K$である。
$$\mathrm{\forall }{x}^{\prime }\in H\mathrm{\forall }{y}^{\prime }\in K<x\otimes y(y^{\prime }),x^{\prime }>=<<y,y^{\prime }>x,x^{\prime }>=<y,y^{\prime }><x,x^{\prime }>=<<x,x^{\prime }>y,y^{\prime }>$$なので
$$(\mathrm{\forall }{x}^{\prime }\in H(x\otimes y{)}^{\mathrm{♯}}(x^{\prime })=<x,x^{\prime }>y\iff )(x\otimes y{)}^{\mathrm{♯}}=<x,・>y:(\mathrm{i})$$が成り立つ。また任意の$T\in H\times K$に対し，$$<x\otimes y,T{>}_{B(K,H)}=\sum _k<x\otimes y(f_k),T{f}_k>=\sum _k<<y,f_k>x,T{f}_k>=\sum _k<y,f_k><x,T{f}_k>=\sum _k<y,f_k><f_k,T^{\mathrm{♯}}x>=<y,T^{\mathrm{♯}}x{>}_K:(\mathrm{ii})$$なので
$$<x\otimes y,x^{\prime }\otimes y^{\prime }>\underset{(ii)}{=}<y,(x^{\prime }\otimes y^{\prime }{)}^{\mathrm{♯}}(x)>\underset{(i)}{=}<y,<x^{\prime },x>y^{\prime }>\underset{内積の反線形性}{=}<x,x^{\prime }><y,y^{\prime }>$$である。これで冒頭の定義の$(3)$を示せた。最後に(2), すなわち$\{f_k\otimes e_j\}$が$H\otimes K$の正規直交基底であることを示す。まず
$$<f_k\otimes e_j,f_k^{\prime }\otimes e_j^{\prime }>=<f_k,f_k^{\prime }><e_j,e_j^{\prime }>={\delta }_{k{k}^{\prime }}{\delta }_{j{j}^{\prime }}$$より正規直交系であることは良い。下の命題を適用すればよく, もし$\mathrm{\forall }k,j\in \mathbb{N}<f_k\otimes e_j,T>=0$とすると
$$\mathrm{\forall }k,j\in \mathbb{N}<e_j,T{f}_k{>}_H=0\Rightarrow T{f}_k=0,T=0$$より$\varphi (H\times K)$は$H\otimes K$において稠密である。

$\{z_1,...,z_m\}$を$\{x_1,...,x_n\}$で張られる空間の正規直交基底とし, $k\in \{1,2,...,n\}$に対しある${\lambda }_r^k\in \mathbb{C}$を用いて$x_k=\sum _{r=1}^m{\lambda }_r^k{z}_r$とかくと$(1)$の双線形性から
$$\sum _k\sum _r{\lambda }_r^k{z}_r)\otimes y_k=\sum _k\sum _r({\lambda }_r^k{z}_r\otimes y_k)=\sum _r\sum _k(z_r\otimes ({\lambda }_r^k{y}_k))=\sum _r{z}_r\otimes (\sum _k{\lambda }_r^k{y}_k)=0$$ここで, $y_r^{\prime }:=\sum _k{\lambda }_r^k{y}_k$とおけば$\sum _r{z}_r\otimes y_r^{\prime }=0$である。$\parallel \sum _r\parallel z_r\times y_r^{\prime }{\parallel }^2=\sum _r\parallel y_r^{\prime }{\parallel }^2=0$で$\mathrm{\forall }r\in \{1,...,m\}{y}_r^{\prime }=0$と$\{y_k\}$が線形独立なベクトルだったので${\lambda }_r^k=0$となる。

$\{y_1,...,y_n\}$で張られる空間において独立なベクトルを$\{y_1^{\prime },...,y_m^{\prime }\}$として勝手にとる(正規である必要はない)。ある${\lambda }_r^k\in \mathbb{C}$で$y_k=\sum _{r=1}^m{\lambda }_r^k{y}_r^{\prime }$とかけるので
$$\sum _r((\sum _k{\lambda }_r^k{x}_k)\otimes y_r^{\prime })=\sum _{k=1}^n{x}_k\otimes y_k=0$$であり前補題から$\sum _k{\lambda }_r^k{x}_k=0(\mathrm{\forall }r)$である。$\psi$は双線形であることより
$$0=\sum _r\psi (0,y_r^{\prime })=\sum _r\psi (\sum _k{\lambda }_r^k{x}_k,y_r^{\prime })=\sum _r\sum _k\psi (x_k,{\lambda }_r^k{y}_r^{\prime })=\sum _k\psi (x_k,\sum _r{\lambda }_r^k{y}_r^{\prime })=\sum _k\psi (x_k,y_k)$$