の面白い解法を見つけたので紹介しようと思います.
ISL というのは IMO shortlist problems の略で,その年の IMO の問題の候補が集められており,この中から IMO の問題や代表選考合宿の問題が選ばれます.
ISL は分野ごとで難易度の昇順に並んでおり,A5 はIMO2番級程度なので普通はこんなに簡単に解けるはずはないのですがたまたま簡単な解法を見つけたので紹介します.
であることを証明せよ.
明らかに留数定理の香りがします.留数定理が使えるように適当な関数を構成します.
以下,
仮定より,
ある正の定数
積分路は反時計回りで考える.
十分大きい
一方で,
より
これより,補題を使うと
となり,証明が完了しました.
感想
留数定理って偉大ですね.