Dini微分についてわからない点があるので教示頂ければ幸いです。

Dini微分

式1がなぜ成り立つのかわからなかったので相談させて下さい。

どうやって式1を導出したのか教示頂ければ幸いです。

有限区間$[a,b]$で定義された実数値の連続関数$f(x)$が、$(a,b)$でいたるところ有限な微分係数$f^\prime(x)$を持つとする。$f^\prime(x)$が$L$可積分であるとする。

$g_n(x),G_n(x)$を下記のようにおく。

$$ g_n(x)=\max(f^\prime(x),-n) $$

$$ G_n(x)=\int_{a}^{x}g_n(t)dt $$

このとき、

$$ D^+\left(G_n(x)-f(x)\right)\geq D^+G_n(x)-D^+f(x) \tag{1} $$

が成り立つ。

ただし、$D^+$は導来数で定義されている。

$$ D^+f(a)=\varlimsup_{h\downarrow0}\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h} $$