Dini微分についてわからない点があるので教示頂ければ幸いです。

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Dini微分

式1がなぜ成り立つのかわからなかったので相談させて下さい。

どうやって式1を導出したのか教示頂ければ幸いです。

有限区間 $[a, b]$ で定義された実数値の連続関数 $f (x)$ が、 $(a, b)$ でいたるところ有限な微分係数 $f^{'} (x)$ を持つとする。 $f^{'} (x)$ が $L$ 可積分であるとする。

$g_{n} (x), G_{n} (x)$ を下記のようにおく。

$g_{n} (x) = max (f^{'} (x), - n)$

$G_{n} (x) = \int_{a}^{x} g_{n} (t) d t$

このとき、

$\begin{matrix} (1) & D^{+} (G_{n} (x) - f (x)) \geq D^{+} G_{n} (x) - D^{+} f (x) \end{matrix}$

が成り立つ。

ただし、 $D^{+}$ は導来数で定義されている。

$D^{+} f (a) = \underset{h ↓ 0}{\lim^{―}} \frac{f (a + h) - f (a)}{h}$

[1]

吉田耕作, 測度と積分, 岩波講座　基礎数学, 岩波書店, 1976, p109

投稿日：2022年3月9日

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