ブラウワーの不動点定理とその応用例

レトラクト$r:\mathbb{D}^n\to\mathbb{S}^{n-1}$は$H_{n-1}(X)$を$X$の$(n-1)$-次元ホモロジー群として準同型$r_{*}:H_{n-1}(\mathbb{D}^n)\to H_{n-1}(\mathbb{S}^{n-1})$を誘導する。自然な全射$j:\mathbb{S}^{n-1}\to\mathbb{D}^n$も$j_*$を誘導し$r\circ j$は$\mathbb{S}^{n-1}$上の恒等写像なので$(r\circ j)_*=r_*j_*$は$H_{n-1}(\mathbb{S}^{n-1})$上の恒等写像となる。ここで$H_{n-1}(\mathbb{D}^n)=0$より$\ker j_*=0$である。すなわち$\ker(r\circ j)_*=0$であるが, 一方でホモロジー群を観察すると
$$H_{n-1}(\mathbb{S}^{n-1})=\mathbb{Z}\ (n\neq 1),\ H_0(\mathbb{S}^0)=\mathbb{Z}\oplus\mathbb{Z}\ (o.w.)$$なので矛盾する。

もし不動点をもたないなら$r(x)=t(x)f(x)+(1-t(x))x$, (ただし
$$t(x)=\frac{\|x\|^2-< x,f(x)>-\sqrt{(\|x\|^2-< x,f(x)>)^2+(1-\|x\|^2)\|x-f(x)\|^2}}{\|x-f(x)\|^2})$$で定まる$r:\mathbb{D}^n\to\mathbb{S}^{n-1}$はレトラクションであるがこれは前補題に矛盾する。

$K\subset\mathbb{D}^n$としても一般性を失わない。任意の$x\in\mathbb{D}^n$に対して$p(x)\in K$を$\|i-x\|=\mathrm{dist}(K,x)$を満たす$i$で定めると, 任意の$x\in K$に対し$p(x)=x$である。さらに$p$は$\mathbb{D}^n$上連続となる。なぜなら, $x\in\mathbb{D}^n$とそれに収束する$(x_n)\subset\mathbb{D}^n$について
$$\|x-p(x)\|\le\|x-p(x_n)\|\le\|x-x_n\|+\inf_{k\in K}\|x_n-k\|\to \|x-p(x)\|\ (n\to\infty)$$が成り立つので, $p(x_n)$は$p(x)$に収束する。次に$g:\mathbb{D}^n\to K$を$g(x):=f(p(x))$で定めると連続な全射である。よって$\overline{x}\in K$であって$g(\overline{x})=\overline{x}=f(\overline{x})$を満たすものがあることが前定理より推察される。

$A$は線形変換$f_A:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n$と思い，コンパクト凸集合$K=\{x\in\mathbb{R}^n\ |\ \sum^n_{j=1}x_j=1,x_j\ge 0\ (\forall j\in\{1,...,n\})\}$を定義する。
$$f:K\ni x\mapsto \frac{f_Ax}{\|f_Ax\|_1}$$
を定める。もし$x\in K$なら$x$の各成分は非負で少なくとも一つは正であるので, $f_Ax$の各成分は線形性より正である。よって$f$は$K$から$K$への連続写像である$\overline{x}\in K$であって$f_A\overline{x}=\|f_A\overline{x}\|_1\overline{x}$を満たすものが存在する。

$\mathbb{C}=\mathbb{R}^2$と思い, $a_n=1$として$p(z)$をモニック多項式としても良い。$r:=2+|a_0|+\cdots+|a_{n-1}|$とおき$g:\mathbb{C}\to\mathbb{C}$を$z=\rho e^{i\theta}\ (\theta\in [0,2\pi)$に対して
$$g(z)=\begin{cases} z-\frac{p(z)}{r}e^{i(1-n)\theta}&|z|\le 1\\ z-\frac{p(z)}{r}z^{(1-n)}&|z|>1\end{cases}$$で定めるとこれは連続関数である。コンパクト凸集合$C=\{z\ :\ |z|\le r\}$を定義し, ブラウワーの不動点定理を用いるため$g(C)\subset C$を示す。もし$|z|\le 1$なら
$$|g(z)|\le |z|+\frac{p(z)}{r}\le 1+\frac{|a_0|+\cdots+|a_{n-1}|+1}{r}\le 2\le r$$であり, もし$1<|z|\le r$なら
$$|g(z)|\le\left|z-\frac{p(z)}{rz^{n-1}}\right|=\left|z-\frac{z}{r}-\frac{a_0+a_1z+\cdots+a_{n-1}z^{n-1}}{rz^{n-1}}\right|\le r-1+\frac{|a_0|+\cdots+|a_{n-1}|}{r}\le r-1+\frac{r-2}{r}\le r$$より$g$は固定点$z_0\in C$をもち$p(z_0)=0$となる。

$\mathfrak{B}$を, $X$上のセミノルムの分離族$\mathcal{P}$により生成される$X$の位相の基本近傍系として記述する。与えられた$U\in\mathfrak{B}$に対して, $K_0$のコンパクト性からある自然数$n$があって
$$K_0\subset\cup^n_{j=1}(x_j+U)$$$\varphi_1,...,\varphi_n\in C(K_0)$を開被覆$\{x_j+U\}_j$の下での$K_0$上の1の分割として
$$f_U(x):=\sum^n_{j=1}\varphi_j(f(x))x_j\ (\forall x\in K)$$を定めると, $\mathrm{co}(\{\upsilon_1,...,\upsilon_n\})$で$\upsilon_1,...,\upsilon_n$の凸結合で表示されるベクトル全体を表すとし
$$f_U(K)\subset K_U:=\mathrm{co}(\{x_1,...,x_n\})\subset K$$であり, ブラウワーの不動点定理から$f_U(x_U)=x_U$を満たす$x_U\in K_U$が存在するので
$$-(x_U-f(x_U))=-(f_U(x_U)-f(x_U))=-\sum^n_{j=1}\varphi_j(f(x_U))(x_j-f(x_U))\in U\ :\ (i)$$(ただし$x_j-f(x_U)\notin U$ならば$\varphi_j(f(x_U))=0$)が成り立つ。$K_0$のコンパクト性から
$$\exists \overline{x}\in\cap_{W\in\mathfrak{B}}\overline{\{f(x_U)\ |\ U\in\mathfrak{B},U\subset W\}}\subset K_0\ :\ (ii)$$である。これにはコンパクトな空間$X$において「有限交叉性をもつ閉部分集合族の共通部分は空でない」という命題を用いてある。次に, 任意の$p\in\mathcal{P},\epsilon>0$に対して
$$V=\{x\in X\ |\ p(x)<\epsilon\}\in\mathfrak{B}$$とおけば$f$は$K$上連続なため$W\subset V$なる$W\in\mathfrak{B}\ s.t.\ x-\overline{x}\in 2W\ \land\ x\in K\Rightarrow f(x)-f(\overline{x})\in V$が存在する。
さらに, (ii)からこのWに対し
$$\exists U\in\mathfrak{B}\ U\subset W\ \land\ \overline{x}-f(x_U)\in W\subset V\ :\ (iii)$$を満たす。(i)と(iii)から
$$x_U-\overline{x}=x_U-f(x_U)+f(x_U)-\overline{x}\in U+W\subset W+W=2W$$であるため, $f(x_U)-f(\overline{x})\in V$が成り立つ。このこと及び(iii)から
$$p(\overline{x}-f(\overline{x}))\le p(\overline{x}-f(x_U))+p(f(x_U)-f(\overline{x}))<2\epsilon$$である。よって任意の$p\in\mathcal{P}$に対し$p(\overline{x}-f(\overline{x}))=0$から$f(\overline{x})=\overline{x}$である。

もしそうでないと仮定すれば$f:B_r\to B_r$を$f(x):=rg(x)/\|g(x)\|$で定めたものは連続写像で$f(B_r)$は相対コンパクトである。シャウダーの不動点定理より$f$はある$\overline{x}\in B_r$を不動点にもつ。
$$\|\overline{x}\|=r\Rightarrow g(\overline{x})=\|g(\overline{x})\|\overline{x}/r$$これは仮定に反する。

$f(x)=-rg(x)/\|g(x)\|$を定める。もし$g$が非零なら上と同様に$f$は不動点$\overline{x}\in B_r$をもち, $\|\overline{x}\|=r$なる$\overline{x}$に対し$-g(\overline{x})=\|g(\overline{x})\|\overline{x}/r$が成り立つ。$\Gamma\overline{x}=1$を満たす$\Gamma\in X^*$をとれば
$$\Gamma g(\overline{x})=-\|g(\overline{x})\|/r<0$$であるが背理法のもとで矛盾する。後半の主張は前系と$\Gamma_x$の線形性から前系の仮定を$g$は満たすため成り立つ。

$r>\sup_{x\in F}\|x\|$をおき写像$g:\overline{B}_X(0,2r)\to\overline{B}_X(0,2r)$を
$$g(x):=\begin{cases} f(x)&\|f(x)\|\le 2r\\ \frac{2rf(x)}{\|f(x)\|}&\|f(x)\|>2r\end{cases}$$で定めると, これは連続なコンパクト作用素である。するとシャウダーの不動点定理からある$x_0\in\overline{B}_X(0,2r)$で$g(x_0)=x_0$なるものが存在する。$\|f(x_0)\|\le 2r$ならば$f(x_0)=x_0$で題意は示される。また
$$\|f(x_0)\|>2r\Rightarrow x_0=\lambda_0f(x_0),\ \lambda_0:=\frac{2r}{\|f(x_0)\|}<1$$より$\|x_0\|=2r$が成立し, これは$x_0$が$F$に属することから最初の仮定に反する。よって$\|f(x_0)\|>2r$となる場合は有り得ることはない。

バナッハの不動点定理より$Y\ni y\mapsto \varphi(y)\in X$の連続性を示すだけで事足りる。任意の$y,y_0\in Y$に対して
$$\begin{eqnarray} d(\varphi(y),\varphi(y_0))&=&d(f(\varphi(y),y),f(\varphi(y_0),y_0))\\ &\le&d(f(\varphi(y),y),f(\varphi(y_0),y))+d(f(\varphi(y_0),y),f(\varphi(y_0),y_0))\\ &\le&\lambda d(\varphi(y),\varphi(y_0))+d(f(\varphi(y_0),y),f(\varphi(y_0),y_0))\end{eqnarray}$$より
$$d(\varphi(y),\varphi(y_0))\le\frac{1}{1-\lambda}d(f(\varphi(y_0),y),f(\varphi(y_0),y_0))$$である。$y\to y_0$とすることで$\varphi $の連続性が従う。

$\mathbb{I}-g$は連続写像で三角不等式から縮小写像$g$のリプシッツ定数$\lambda<1$に対して
$$\|(\mathbb{I}-g)(x_1)-(\mathbb{I}-g)(x_2)\|\ge\|x_1-x_2\|-\|g(x_1)-g(x_2)\|\ge (1-\lambda)\|x_1-x_2\|$$が成り立つ。これは$(\mathbb{I}-g)^{-1}$は連続写像であることを意味する。任意の$y\in C$に対して
$$C\ni x\mapsto f(y)+g(x)$$は$C$上の縮小写像である。バナッハの不動点定理より$z\in C$であって$z=f(y)+g(z)$となるものが存在して$z=(\mathbb{I}-g)^{-1}(f(y))\in C$である。連続写像およびコンパクト作用素の合成はまたそうであるから$(\mathbb{I}-g)^{-1}\circ f:C\to C$は連続なコンパクト作用素である（コンパクト作用素全体$K(X)$が$B(X)$の作用素イデアルをなすことも認めた）。$C$は閉集合という仮定とコンパクト作用素の定義からブラウワーの不動点定理で
$$\exists\overline{x}\in C\ s.t.\ (\mathbb{I}-g)^{-1}(f(\overline{x}))=\overline{x}$$すなわち$f(\overline{x})+g(\overline{x})=\overline{x}$である。

まず, $X$は$C$の条件から無限次元バナッハ空間であることは必須である。まず$\epsilon>0$であって任意の有界集合$F\subset X$に対し
$$C\backslash [\mathrm{span}(F)+B_X(0,\epsilon)]\neq\varnothing$$を満たすものが存在する事を背理法で示す。任意の$\epsilon>0$に対しある有界集合$F\subset X$で$C\subset\mathrm{span}(F)+B_X(0,\epsilon)$を満たすとする。$C$は有界なのである$r>0$に対して$C\subset B_X(0,r)$を満たすため，$$C\subset [\mathrm{span}(F)+B_X(0,\epsilon)]\cap B_X(0,r)\subset [\mathrm{span}(F)\cap B_X(0,r+\epsilon)]+B_X(0,\epsilon)$$が成り立つ。ここで$\mathrm{span}(F)\cap B_X(0,r+\epsilon)$は全有界なので, 有限個の半径$\epsilon $の開球による被覆が存在し, $C$は半径$2\epsilon$の開球による有限被覆を持つ。すなわち$C$は全有界ゆえコンパクト (というのもMathpedia様の「全有界性と完備化がコンパクトなことは同値」と「完備距離空間の閉部分集合は完備」)となるが, これは仮定に反する。

次に, 求める点列$(x_n)$を帰納的に構成する。まず任意に$x_0\in C$を選び, もし(1)を満たす$x_0,...,x_{n+1}\in C$が与えられたなら
$$x_{n+2}\in C\backslash[\mathrm{span}\{x_0,...,x_{n+1}\}+B_X(0,\epsilon)]$$を非空なので選択すれば良い。

$(x_n)\subset C$を(1)を満たす点列とし, $0\in C$かつ$\|x\|\ge\epsilon $としても一般性を失わない。区分線形曲線$\gamma:[0,\infty)\to\Gamma(\subset C)$を
$$\Gamma=\cup^\infty_{n=0}[x_n,x_{n+1}]\ :\mathrm{closed},\ [x_n,x_{n+1}]:=\mathrm{co}\{x_n,x_{n+1}\},\ \gamma(t):=(1-s)x_n+sx_{n+1}$$で定める。ただし, $n=[t],\ s:=t-n$ ($[]$はガウス記号)である。(1)により$\gamma$は全単射である。よって開写像原理の応用である有界逆写像定理から$\gamma^{-1}:\Gamma\to[0,\infty)$は連続となり, ティーチェの拡張補題をやや修正したものを用いて$\gamma^{-1}$は連続関数$g:C\to [0,,\infty)\ s.t.\ g|_\Gamma=\gamma^{-1}$へと拡張される。従って$f:C\to C$を
$$f(x):=\gamma(g(x)+1)$$で定めると$f$は不動点を持たない。実際もしある$\overline{x}\in C$で$f(\overline{x})=\overline{x}$なるものが存在したなら, $\overline{x}\in\Gamma $ゆえ$\gamma(\gamma^{-1}(\overline{x}+1)=\gamma(\gamma^{-1}(\overline{x}))$であるが$\gamma $の単射性より矛盾する。

$f:\overline{B}_X(0,1)\to\overline{B}_X(0,1)$を連続写像とする。$f$は不動点を持たないことがKleeの定理とノルム位相に関してノルム空間の閉単位球のコンパクト性の特徴付けより分かる（弱*位相ではコンパクトであることを主張したのがBanach-Alaoglu）。この$f$を拡張した$f_1:\overline{B}_X(0,2)\to\overline{B}_X(0,1)$を
$$f_1(x):=\begin{cases} f(x)&\|x\|\le 1\\ (2-\|x\|)f(\frac{x}{\|x\|})&1<\|x\|\le 2\end{cases}$$を定める。次に$f_2:\overline{B}_X(0,1)\to\overline{B}_X(0,1)$を
$$f_2(x):=\frac{1}{2}f_1(2x)$$で定めると, $f_2$は不動点を持たない。任意の$x\in\partial\overline{B}_X(0,1)$に対し$f_2(x)=0$が成り立つ。よって連続写像$r:\overline{B}_X(0,1)\to\partial\overline{B}_X(0,1)$を
$$r(x):=\frac{x-f_2(x)}{\|x-f_2(x)\|}$$で定めるとこれはレトラクションである。