G/HがGの積で群⇒Hは正規部分群

$G$を群, $H$をその部分群とする.
普通, $G$の$H$による剰余群$G/H$は$H$が正規部分群, つまり任意の$g\in G$に対して$gH=Hg$が成り立つときに定義される.
直感的には
$$(xH)(yH)=xHyH=xyHH=(xy)H$$
と計算するために要請される条件であるが, 商集合$G/H$に他の定義で演算を入れることはできないのだろうか.
つまり
$$(xH)(yH)=zH$$
となるような$z$の定め方は他に存在しないのかということである.

松坂和夫『代数系入門』の演習問題にその答えがある:

$H$を$G$の部分群とし, $H$を法とする任意の2つの左剰余類の積は$H$を法とする1つの左剰余類になるとする.
そのとき$H$は$G$の正規部分群であることを示せ. [1,p.65]

つまり, $G/H$が積により群となるための必要条件(従って必要十分条件)が, $H$が$G$の正規部分群であることだと主張している.