負の二項分布（パラメータがガンマ分布に従って変化するポアソン分布）

パラメータがガンマ分布に従って変化するようなポアソン分布は負の二項分布になることが知られています。

ポアソン分布のパラメータを $r\mu$ として、$\mu$ は固定で $r$ がガンマ分布に従って変化する場合、どのような分布になるかを考えます。

すなわち次のようなデータ生成過程を考えます。

$$\begin{array}{rl}y& \sim \mathrm{Poisson}(r\mu )\\ r& \sim \mathrm{Gamma}(\alpha ,\alpha )\end{array}$$

ガンマ分布の2つのパラメータをどちらも同じ $\alpha$ とする（平均を1に固定する）必要はないといえばないのですが、レート（スケール）パラメータを変化させることは $r$ を定数倍することと同じなので $\mu$ に吸収させます。

$r$ を積分消去します。

$$\begin{array}{r}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{(r\mu {)}^y}{y!}{e}^{-r\mu }\times \frac{{\alpha }^{\alpha }}{\mathrm{\Gamma }(\alpha )}{r}^{\alpha -1}{e}^{-\alpha r}dr\end{array}$$

$r$ に依存しない因子を積分記号の外に出して計算します。

$$\begin{array}{rl}p(y)& =\frac{{\mu }^y{\alpha }^{\alpha }}{y!\mathrm{\Gamma }(\alpha )}{\left(\frac{1}{\mu +\alpha }\right)}^{y+\alpha }{\int }_0^{\mathrm{\infty }}{r}^{y+\alpha }{e}^{-r}dr\\ & =\frac{\mathrm{\Gamma }(y+\alpha )}{y!\mathrm{\Gamma }(\alpha )}{\left(\frac{1}{\mu +\alpha }\right)}^{y+\alpha }{\mu }^y{\alpha }^{\alpha }\\ & =\frac{\mathrm{\Gamma }(y+\alpha )}{y!\mathrm{\Gamma }(\alpha )}{\left(\frac{\alpha }{\alpha +\mu }\right)}^{\alpha }{\left(\frac{\mu }{\alpha +\mu }\right)}^y\end{array}$$

これは負の二項分布です。

統計ソフト R の負の二項分布関連の関数（dnbinom、pnbinom、qnbinom、rnbinom) では $\alpha$ は size と呼ばれ、 $\mu$ は mu と呼ばれています。