本日の積分(2022年3月18日)解答編

次の問題の解答です.

次の積分の値を求めよ.

$\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}\left (\frac{\sin x}{x}\right)^3 dx $

(平成30年度 東京大学大学院数理科学研究科 専門科目A 第7問)

$\displaystyle \left(\frac{\sin x}{x}\right)^3 は偶関数だから　\int_{-\infty}^{\infty} \left(\frac{\sin x}{x}\right)^3 dx=2 \int_{0}^{\infty} \left(\frac{\sin x}{x}\right)^3 dx $ である.

ここで部分積分により

$\displaystyle \int_{0}^{\infty} \left(\frac{\sin x}{x}\right)^3 dx= \int_{0}^{\infty} \frac{3\sin x- \sin(3x) }{4x^3} dx$

$\displaystyle =\left[\frac{3\sin x- \sin(3x) }{8x^2}\right]_{0}^{\infty}-\frac{3}{8}\int_{0}^{\infty} \frac{\cos (3x)-\cos x}{x^2}dx $ であるが

$\displaystyle \left| \frac{3\sin x- \sin(3x) }{8x^2}\right| \leq \frac{1}{2x^2}$ より

$\displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{3\sin x- \sin(3x) }{8x^2}=0$

またロピタルの定理より

$\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{\sin (3x)- 3\sin x }{8x^2}= \lim_{x\to0}\frac{3\cos (3x)- 3\cos x }{16x}= \lim_{x\to0}\frac{3 \sin x-9\sin (3x)}{16}=0$ なので

$\displaystyle \int_{0}^{\infty} \left(\frac{\sin x}{x}\right)^3 dx= \frac{3}{8}\int_{0}^{\infty} \frac{\cos x- \cos(3x) }{x^2} dx$

$\displaystyle =\frac{3}{8}\left[\frac{\cos(3x)- \cos x }{x}\right]_{0}^{\infty}+\frac{3}{8}\int_{0}^{\infty} \frac{3\sin (3x)-\sin x}{x}dx$

$\displaystyle =\frac{9}{8}\int_{0}^{\infty}\frac{\sin(3x)}{x}dx-\frac{3}{8}\int_{0}^{\infty}\frac{\sin x}{x}dx $

ここで第1項目の積分において $u=3x$ と変数変換すると

$\displaystyle \int_{0}^{\infty}\frac{\sin(3x)}{x}dx= \int_{0}^{\infty}\frac{\sin u}{u}du=\frac{\pi}{2}$

となるので,求める積分の値は $\frac{3\pi}{4}$ である.