本日の積分(2022年3月18日)解答編

次の問題の解答です.

次の積分の値を求めよ.

${\displaystyle {\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{\left(\frac{\sin x}{x}\right)}^{3}dx}$

(平成30年度 東京大学大学院数理科学研究科 専門科目A 第7問)

${\displaystyle {\left(\frac{\sin x}{x}\right)}^3は偶関数だから {\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{\left(\frac{\sin x}{x}\right)}^{3}dx=2{\int }_0^{\mathrm{\infty }}{\left(\frac{\sin x}{x}\right)}^{3}dx}$ である.

ここで部分積分により

${\displaystyle {\int }_0^{\mathrm{\infty }}{\left(\frac{\sin x}{x}\right)}^{3}dx={\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{3\sin x-\sin \left(3x\right)}{4x^3}dx}$

${\displaystyle ={\left[\frac{3\sin x-\sin \left(3x\right)}{8x^2}\right]}_0^{\mathrm{\infty }}-\frac{3}{8}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{\cos \left(3x\right)-\cos x}{x^2}dx}$ であるが

${\displaystyle \left|\frac{3\sin x-\sin \left(3x\right)}{8x^2}\right|\le \frac{1}{2x^2}}$ より

${\displaystyle \underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{3\sin x-\sin \left(3x\right)}{8x^2}=0}$

またロピタルの定理より

${\displaystyle \underset{x\to 0}{lim}\frac{\sin \left(3x\right)-3\sin x}{8x^2}=\underset{x\to 0}{lim}\frac{3\cos \left(3x\right)-3\cos x}{16x}=\underset{x\to 0}{lim}\frac{3\sin x-9\sin \left(3x\right)}{16}=0}$ なので

${\displaystyle {\int }_0^{\mathrm{\infty }}{\left(\frac{\sin x}{x}\right)}^{3}dx=\frac{3}{8}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{\cos x-\cos \left(3x\right)}{x^2}dx}$

${\displaystyle =\frac{3}{8}{\left[\frac{\cos \left(3x\right)-\cos x}{x}\right]}_0^{\mathrm{\infty }}+\frac{3}{8}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{3\sin \left(3x\right)-\sin x}{x}dx}$

${\displaystyle =\frac{9}{8}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{\sin \left(3x\right)}{x}dx-\frac{3}{8}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{\sin x}{x}dx}$

ここで第1項目の積分において $u=3x$ と変数変換すると

${\displaystyle {\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{\sin \left(3x\right)}{x}dx={\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{\sin u}{u}du=\frac{\pi }{2}}$

となるので,求める積分の値は $\frac{3\pi }{4}$ である.