余りの世界からみる, 多項式の面白い性質

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こんにちは！飛鳥です。かねてよりMathlogに寄稿することにずっと憧れていたこともあり, 大学受験が終わって一段落したので頑張って書いてみます。慣れない部分が多いですが, 最後までお付き合いくだされば嬉しいです。今回の内容は, タイトルにもある通り, 多項式と余りの関係についてです。高校数学の範囲内で, また議論を追いやすくなるよう, できるだけ簡潔にまとめて書きましたので, 是非ご一読ください！

この記事には, 等式の代わりに合同式が度々登場しますが, その法は全て$p$（$p$は$3$以上の素数）とします。また, 登場する文字は(通常は実数を表すことが多い$x$も含めて)基本的に整数とします。

　それでは, 早速本題に入ります。

　去年の秋頃に下の(✴︎)の方程式やそれを$n$次に拡げたものをいじっていたら, いくつかの面白い性質があることがわかったので, 今回はそのうちの (✴︎)において通常の$2$次方程式と酷似している$2$つの性質を紹介します。当然(?)証明も添えますが, 良かったら性質だけでも見ていってください〜😊

$$ ax^2+bx+c≡0\cdots(✴︎)\quad(a\not\equiv 0)$$

ただし，左辺を$f(x)$と置くことにします。
まず, $f(x)$は多項式なので, $a≡b⇒f(a)≡f(b)$が成り立つことに注意してください。よって, $f(x)$を$p$で割った余りは, $x$を$p$で割った余りのみに依存することになります(これが性質1において$x$の範囲を制限している由縁であり, ある意味で本質かもしれません)。
${}$

性質1

$0≦x≦p-1$であって(✴︎)を満たす整数$x$の個数を$N$とすると$N$は$0,1,2$のいずれかである。

性質2

$N=1$となる条件は,$b^2-4ac\equiv 0$である。

　これから僕の考えた証明を書きますが, 時間のある方は是非一度ご自分で考えてみてください😆
${}$

性質1の証明:

異なる$\alpha,\beta,\gamma\:(0≦\alpha,\beta,\gamma≦p-1)$について$f(\alpha)≡f(\beta)≡f(\gamma)≡0$が成り立つとします。このとき,
$f(\alpha)-f(\beta)≡0$より,
$(\alpha-\beta)\{a(\alpha+\beta)+b\}≡0$
∴ $a(\alpha+\beta)+b≡0$.
また,$f(\beta)-f(\gamma)≡0$より
$(\beta-\gamma)\{a(\beta+\gamma)+b\}\equiv0$
∴ $a(\beta+\gamma)+b≡0$.
なお, ここで合同式における除法を用いました。
これらより, さらに辺々差をとって,
$a(\alpha-\gamma)≡0$
$a\not\equiv0$ゆえ,
$\alpha-\gamma≡0$
これは,$\alpha\not\equiv\gamma$に矛盾します。

よって性質1は示されました。

性質2の証明:

$b≡2ab’$を満たす$b’$,$c≡ac’$を満たす$c’$が存在するので, これらの記号を用いると
$f(x)≡0⇔ax^2+2ab’x+ac’≡0 ⇔x^2+2b’x+c’≡0⇔(x+b’)^2≡b’^2-c’\cdots(✴︎)’$です。
ここで, $b’^2-c’\not\equiv0$のとき, $\alpha$を任意として,
「$x+b’=\alpha$つまり$x=\alpha-b’$のとき(✴︎)$’$が満たされる」
$⇒$「$x+b’=-\alpha$つまり$x=-\alpha-b’$のとき(✴︎)$’$が満たされる」
が成り立ちます。(当然これは, そのような$\alpha$の存在を保証しているわけではないことに注意してください！)
上の2つの解$x$が$\mod p$による違いを除いても必ず異なる(∵$p$は奇数)ことに注意すると, (必ずペアができるので,) $N$は偶数となってしまうことがわかります。