余りの世界からみる, 多項式の面白い性質

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こんにちは！飛鳥です。かねてよりMathlogに寄稿することにずっと憧れていたこともあり, 大学受験が終わって一段落したので頑張って書いてみます。慣れない部分が多いですが, 最後までお付き合いくだされば嬉しいです。今回の内容は, タイトルにもある通り, 多項式と余りの関係についてです。高校数学の範囲内で, また議論を追いやすくなるよう, できるだけ簡潔にまとめて書きましたので, 是非ご一読ください！

この記事には, 等式の代わりに合同式が度々登場しますが, その法は全て $p$ （ $p$ は $3$ 以上の素数）とします。また, 登場する文字は(通常は実数を表すことが多い $x$ も含めて)基本的に整数とします。

　それでは, 早速本題に入ります。

　去年の秋頃に下の(✴︎)の方程式やそれを $n$ 次に拡げたものをいじっていたら, いくつかの面白い性質があることがわかったので, 今回はそのうちの (✴︎)において通常の $2$ 次方程式と酷似している $2$ つの性質を紹介します。当然(?)証明も添えますが, 良かったら性質だけでも見ていってください〜😊

$a x^{2} + b x + c \equiv 0 \dots (✴ ︎) (a ≢ 0)$

ただし，左辺を $f (x)$ と置くことにします。
まず, $f (x)$ は多項式なので, $a \equiv b \Rightarrow f (a) \equiv f (b)$ が成り立つことに注意してください。よって, $f (x)$ を $p$ で割った余りは, $x$ を $p$ で割った余りのみに依存することになります(これが性質1において $x$ の範囲を制限している由縁であり, ある意味で本質かもしれません)。

性質1

$0 ≦ x ≦ p - 1$ であって(✴︎)を満たす整数 $x$ の個数を $N$ とすると $N$ は $0, 1, 2$ のいずれかである。

性質2

$N = 1$ となる条件は, $b^{2} - 4 a c \equiv 0$ である。

　これから僕の考えた証明を書きますが, 時間のある方は是非一度ご自分で考えてみてください😆

性質1の証明:

異なる $α, β, γ (0 ≦ α, β, γ ≦ p - 1)$ について $f (α) \equiv f (β) \equiv f (γ) \equiv 0$ が成り立つとします。このとき,
$f (α) - f (β) \equiv 0$ より,
$(α - β) {a (α + β) + b} \equiv 0$
∴ $a (α + β) + b \equiv 0$ .
また, $f (β) - f (γ) \equiv 0$ より
$(β - γ) {a (β + γ) + b} \equiv 0$
∴ $a (β + γ) + b \equiv 0$ .
なお, ここで合同式における除法を用いました。
これらより, さらに辺々差をとって,
$a (α - γ) \equiv 0$
$a ≢ 0$ ゆえ,
$α - γ \equiv 0$
これは, $α ≢ γ$ に矛盾します。

よって性質1は示されました。

性質2の証明:

$b \equiv 2 a b^{'}$ を満たす $b^{'}$ , $c \equiv a c^{'}$ を満たす $c^{'}$ が存在するので, これらの記号を用いると
$f (x) \equiv 0 \Leftrightarrow a x^{2} + 2 a b^{'} x + a c^{'} \equiv 0 \Leftrightarrow x^{2} + 2 b^{'} x + c^{'} \equiv 0 \Leftrightarrow (x + b^{'})^{2} \equiv b^{' 2} - c^{'} \dots (✴ ︎)^{'}$ です。
ここで, $b^{' 2} - c^{'} ≢ 0$ のとき, $α$ を任意として,
「 $x + b^{'} = α$ つまり $x = α - b^{'}$ のとき(✴︎) $^{'}$ が満たされる」
$\Rightarrow$ 「 $x + b^{'} = - α$ つまり $x = - α - b^{'}$ のとき(✴︎) $^{'}$ が満たされる」
が成り立ちます。(当然これは, そのような $α$ の存在を保証しているわけではないことに注意してください！)
上の2つの解 $x$ が $\mod p$ による違いを除いても必ず異なる(∵ $p$ は奇数)ことに注意すると, (必ずペアができるので,) $N$ は偶数となってしまうことがわかります。

一方, $b^{' 2} - c^{'} \equiv 0$ のとき,
(✴︎) $^{'} \Leftrightarrow x \equiv - b^{'}$ ゆえ, (✴︎) $^{'}$ を満たす $x$ は $\mod p$ による違いを除いて唯 $1$ つ存在します。よって $N = 1$ です。

以上より $N = 1 \Leftrightarrow b^{' 2} - c^{'} \equiv 0 \Leftrightarrow 4 a^{2} b^{' 2} - 4 a^{2} c^{'} \equiv 0 (∵ a ≢ 0) \Leftrightarrow b^{2} - 4 a c \equiv 0$