余りの世界からみる, 多項式の面白い性質

異なる$\alpha,\beta,\gamma\:(0≦\alpha,\beta,\gamma≦p-1)$について$f(\alpha)≡f(\beta)≡f(\gamma)≡0$が成り立つとします。このとき,
$f(\alpha)-f(\beta)≡0$より,
$(\alpha-\beta)\{a(\alpha+\beta)+b\}≡0$
∴ $a(\alpha+\beta)+b≡0$.
また,$f(\beta)-f(\gamma)≡0$より
$(\beta-\gamma)\{a(\beta+\gamma)+b\}\equiv0$
∴ $a(\beta+\gamma)+b≡0$.
なお, ここで合同式における除法を用いました。
これらより, さらに辺々差をとって,
$a(\alpha-\gamma)≡0$
$a\not\equiv0$ゆえ,
$\alpha-\gamma≡0$
これは,$\alpha\not\equiv\gamma$に矛盾します。

よって性質1は示されました。

$b≡2ab’$を満たす$b’$,$c≡ac’$を満たす$c’$が存在するので, これらの記号を用いると
$f(x)≡0⇔ax^2+2ab’x+ac’≡0 ⇔x^2+2b’x+c’≡0⇔(x+b’)^2≡b’^2-c’\cdots(✴︎)’$です。
ここで, $b’^2-c’\not\equiv0$のとき, $\alpha$を任意として,
「$x+b’=\alpha$つまり$x=\alpha-b’$のとき(✴︎)$’$が満たされる」
$⇒$「$x+b’=-\alpha$つまり$x=-\alpha-b’$のとき(✴︎)$’$が満たされる」
が成り立ちます。(当然これは, そのような$\alpha$の存在を保証しているわけではないことに注意してください！)
上の2つの解$x$が$\mod p$による違いを除いても必ず異なる(∵$p$は奇数)ことに注意すると, (必ずペアができるので,) $N$は偶数となってしまうことがわかります。

一方, $b’^2-c’\equiv0$のとき,
(✴︎)$’⇔x≡-b’$ゆえ, (✴︎)$’$を満たす$x$は$\mod p$による違いを除いて唯$1$つ存在します。よって$N=1$です。

以上より$N=1⇔b’^2-c’\equiv0 ⇔4a^2b’^2-4a^2c’≡0　(∵a\not\equiv0) ⇔b^2-4ac≡0 $

かくして, 性質2は示されました。