余りの世界からみる, 多項式の面白い性質
こんにちは！飛鳥です。かねてよりMathlogに寄稿することにずっと憧れていたこともあり, 大学受験が終わって一段落したので頑張って書いてみます。慣れない部分が多いですが, 最後までお付き合いくだされば嬉しいです。今回の内容は, タイトルにもある通り, 多項式と余りの関係についてです。高校数学の範囲内で, また議論を追いやすくなるよう, できるだけ簡潔にまとめて書きましたので, 是非ご一読ください！
この記事には, 等式の代わりに合同式が度々登場しますが, その法は全て$p$（$p$は$3$以上の素数）とします。また, 登場する文字は(通常は実数を表すことが多い$x$も含めて)基本的に整数とします。
それでは, 早速本題に入ります。
去年の秋頃に下の(✴︎)の方程式やそれを$n$次に拡げたものをいじっていたら, いくつかの面白い性質があることがわかったので, 今回はそのうちの (✴︎)において通常の$2$次方程式と酷似している$2$つの性質を紹介します。当然(?)証明も添えますが, 良かったら性質だけでも見ていってください〜😊
$$ ax^2+bx+c≡0\cdots(✴︎)\quad(a\not\equiv 0)$$
ただし，左辺を$f(x)$と置くことにします。
まず, $f(x)$は多項式なので, $a≡b⇒f(a)≡f(b)$が成り立つことに注意してください。よって, $f(x)$を$p$で割った余りは, $x$を$p$で割った余りのみに依存することになります(これが性質1において$x$の範囲を制限している由縁であり, ある意味で本質かもしれません)。
${}$
$0≦x≦p-1$であって(✴︎)を満たす整数$x$の個数を$N$とすると$N$は$0,1,2$のいずれかである。
$N=1$となる条件は,$b^2-4ac\equiv 0$である。
これから僕の考えた証明を書きますが, 時間のある方は是非一度ご自分で考えてみてください😆
${}$
異なる$\alpha,\beta,\gamma\:(0≦\alpha,\beta,\gamma≦p-1)$について$f(\alpha)≡f(\beta)≡f(\gamma)≡0$が成り立つとします。このとき,
$f(\alpha)-f(\beta)≡0$より,
$(\alpha-\beta)\{a(\alpha+\beta)+b\}≡0$
∴ $a(\alpha+\beta)+b≡0$.
また,$f(\beta)-f(\gamma)≡0$より
$(\beta-\gamma)\{a(\beta+\gamma)+b\}\equiv0$
∴ $a(\beta+\gamma)+b≡0$.
なお, ここで合同式における除法を用いました。
これらより, さらに辺々差をとって,
$a(\alpha-\gamma)≡0$
$a\not\equiv0$ゆえ,
$\alpha-\gamma≡0$
これは,$\alpha\not\equiv\gamma$に矛盾します。
よって性質1は示されました。
$b≡2ab’$を満たす$b’$,$c≡ac’$を満たす$c’$が存在するので, これらの記号を用いると
$f(x)≡0⇔ax^2+2ab’x+ac’≡0
⇔x^2+2b’x+c’≡0⇔(x+b’)^2≡b’^2-c’\cdots(✴︎)’$です。
ここで, $b’^2-c’\not\equiv0$のとき, $\alpha$を任意として,
「$x+b’=\alpha$つまり$x=\alpha-b’$のとき(✴︎)$’$が満たされる」
$⇒$「$x+b’=-\alpha$つまり$x=-\alpha-b’$のとき(✴︎)$’$が満たされる」
が成り立ちます。(当然これは, そのような$\alpha$の存在を保証しているわけではないことに注意してください！)
上の2つの解$x$が$\mod p$による違いを除いても必ず異なる(∵$p$は奇数)ことに注意すると, (必ずペアができるので,) $N$は偶数となってしまうことがわかります。
一方, $b’^2-c’\equiv0$のとき,
(✴︎)$’⇔x≡-b’$ゆえ, (✴︎)$’$を満たす$x$は$\mod p$による違いを除いて唯$1$つ存在します。よって$N=1$です。
以上より$N=1⇔b’^2-c’\equiv0 ⇔4a^2b’^2-4a^2c’≡0 (∵a\not\equiv0) ⇔b^2-4ac≡0 $
かくして, 性質2は示されました。
いかがでしたでしょうか？ちなみに, 勘のいい読者は気づいたでしょうが(←), 性質1は容易に次のように一般化されます。
$p$を任意の素数とする。
$$\displaystyle\sum_{k=0}^na_kx^k≡0\quad(a_k\not\equiv0)\pmod p$$
を満たす整数$x$を$p$で割った余りは, 高々$n$種類しか存在し得ない。
証明は性質1と同様のことを繰り返すだけですね。
また, 性質2はそれ自体がすごく綺麗なので, 個人的にとても気に入っています。
次回は, メネラウスの定理の空間への拡張の良い証明を思いついたので, それを紹介しようかなと思っています。ここまで読んでくださり, ありがとうございました！