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とある3F2超幾何級数の積分表示の証明

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$$\newcommand{F}[5]{{}_{#1}F_{#2}\left[\begin{matrix}#3\\#4\end{matrix};#5\right]} \newcommand{kak}[1]{\left(#1\right)} $$

ここでは, 僕が前に見つけた${}_3F_2$の積分表示,
$$\begin{eqnarray} \F32{a,b,\frac c2}{\frac{a+b}2,\frac{1+a+b}2}1=\frac{\Gamma(a+b)}{\Gamma(a)\Gamma(b)}\int_0^1x^{a-1}(1-x)^{b-1}|1-2x|^{-c}~dx \end{eqnarray}$$を証明したいと思います. なんでこの形かというと, まあ見た目が美しいと思ったからです. 一般の${}_3F_2$超幾何級数は積分表示が重積分になったりするんですが, まあ早速証明していきます. まずは, Pochhammer記号をガンマ関数で表してみます.
$$\begin{eqnarray} \F32{a,b,\frac c2}{\frac{a+b}2,\frac{1+a+b}2}1&=&\sum_{0\leq n}\frac{\kak{a,b,\frac c2}_n}{\kak{\frac{a+b}2,\frac{1+a+b}2}_nn!}\\ &=&\sum_{0\leq n}\frac{2^{2n}\kak{a,b,\frac c2}_n}{(a+b)_{2n}n!}\\ &=&\frac{\Gamma(a+b)}{\Gamma(a)\Gamma(b)}\sum_{0\leq n}\frac{2^{2n}\kak{\frac c2}_n}{n!}\frac{\Gamma(a+n)\Gamma(b+n)}{\Gamma(a+b+2n)} \end{eqnarray}$$さて, ここで, 右辺の級数の中身が
$$\begin{eqnarray} \frac{\Gamma(a+n)\Gamma(b+n)}{\Gamma(a+b+2n)}=\int_0^1x^{a+n-1}(1-x)^{b+n-1}~dx \end{eqnarray}$$とベータ関数になっているので,
$$\begin{eqnarray} &&\frac{\Gamma(a+b)}{\Gamma(a)\Gamma(b)}\sum_{0\leq n}\frac{2^{2n}\kak{\frac c2}_n}{n!}\frac{\Gamma(a+n)\Gamma(b+n)}{\Gamma(a+b+2n)}\\ &=&\frac{\Gamma(a+b)}{\Gamma(a)\Gamma(b)}\sum_{0\leq n}\frac{2^{2n}\kak{\frac c2}_n}{n!}\int_0^1x^{a+n-1}(1-x)^{b+n-1}~dx \end{eqnarray}$$ $|x(1-x)| < \frac 14$であることを考慮して, 積分と級数の順序を入れ替えることにより,
$$\begin{eqnarray} &&\frac{\Gamma(a+b)}{\Gamma(a)\Gamma(b)}\sum_{0\leq n}\frac{2^{2n}\kak{\frac c2}_n}{n!}\int_0^1x^{a+n-1}(1-x)^{b+n-1}~dx\\ &=&\frac{\Gamma(a+b)}{\Gamma(a)\Gamma(b)}\int_0^1\sum_{0\leq n}\frac{2^{2n}\kak{\frac c2}_n}{n!}x^{a+n-1}(1-x)^{b+n-1}~dx\\ &=&\frac{\Gamma(a+b)}{\Gamma(a)\Gamma(b)}\int_0^1x^{a-1}(1-x)^{b-1}(1-4x(1-x))^{-c/2}~dx\\ &=&\frac{\Gamma(a+b)}{\Gamma(a)\Gamma(b)}\int_0^1x^{a-1}(1-x)^{b-1}((1-2x)^2)^{-c/2}~dx\\ &=&\frac{\Gamma(a+b)}{\Gamma(a)\Gamma(b)}\int_0^1x^{a-1}(1-x)^{b-1}|1-2x|^{-c}~dx\\ \end{eqnarray}$$となって証明が完了しました. 証明過程から, 一般に
$$\begin{eqnarray} \F32{a,b,c}{\frac{a+b}2,\frac{1+a+b}2}{\frac z4}=\frac{\Gamma(a+b)}{\Gamma(a)\Gamma(b)}\int_0^1x^{a-1}(1-x)^{b-1}(1-zx(1-x))^{-c}~dx \end{eqnarray}$$
が成り立つことも分かりますね. 実はこの積分表示はAppellの超幾何級数をもちいて表すことができます.

投稿日:2020118

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Wataru
Wataru
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超幾何関数, 直交関数, 多重ゼータ値などに興味があります

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