とある3F2超幾何級数の積分表示の証明

ここでは, 僕が前に見つけた${}_3{F}_2$の積分表示,
$$\begin{array}{r}{}_3{F}_2[\begin{array}{c}a,b,\frac{c}{2}\\ \frac{a+b}{2},\frac{1+a+b}{2}\end{array};1]=\frac{\mathrm{\Gamma }(a+b)}{\mathrm{\Gamma }(a)\mathrm{\Gamma }(b)}{\int }_0^1{x}^{a-1}(1-x{)}^{b-1}|1-2x{|}^{-c}dx\end{array}$$を証明したいと思います. なんでこの形かというと, まあ見た目が美しいと思ったからです. 一般の${}_3{F}_2$超幾何級数は積分表示が重積分になったりするんですが, まあ早速証明していきます. まずは, Pochhammer記号をガンマ関数で表してみます.
$$\begin{array}{rcl}{}_3{F}_2[\begin{array}{c}a,b,\frac{c}{2}\\ \frac{a+b}{2},\frac{1+a+b}{2}\end{array};1]& =& \sum _{0\le n}\frac{{(a,b,\frac{c}{2})}_n}{{(\frac{a+b}{2},\frac{1+a+b}{2})}_{n}n!}\\ & =& \sum _{0\le n}\frac{2^{2n}{(a,b,\frac{c}{2})}_n}{(a+b{)}_{2n}n!}\\ & =& \frac{\mathrm{\Gamma }(a+b)}{\mathrm{\Gamma }(a)\mathrm{\Gamma }(b)}\sum _{0\le n}\frac{2^{2n}{\left(\frac{c}{2}\right)}_n}{n!}\frac{\mathrm{\Gamma }(a+n)\mathrm{\Gamma }(b+n)}{\mathrm{\Gamma }(a+b+2n)}\end{array}$$さて, ここで, 右辺の級数の中身が
$$\begin{array}{r}\frac{\mathrm{\Gamma }(a+n)\mathrm{\Gamma }(b+n)}{\mathrm{\Gamma }(a+b+2n)}={\int }_0^1{x}^{a+n-1}(1-x{)}^{b+n-1}dx\end{array}$$とベータ関数になっているので,
$$\begin{array}{rcl}& & \frac{\mathrm{\Gamma }(a+b)}{\mathrm{\Gamma }(a)\mathrm{\Gamma }(b)}\sum _{0\le n}\frac{2^{2n}{\left(\frac{c}{2}\right)}_n}{n!}\frac{\mathrm{\Gamma }(a+n)\mathrm{\Gamma }(b+n)}{\mathrm{\Gamma }(a+b+2n)}\\ & =& \frac{\mathrm{\Gamma }(a+b)}{\mathrm{\Gamma }(a)\mathrm{\Gamma }(b)}\sum _{0\le n}\frac{2^{2n}{\left(\frac{c}{2}\right)}_n}{n!}{\int }_0^1{x}^{a+n-1}(1-x{)}^{b+n-1}dx\end{array}$$ $|x(1-x)|<\frac{1}{4}$であることを考慮して, 積分と級数の順序を入れ替えることにより,
$$\begin{array}{rcl}& & \frac{\mathrm{\Gamma }(a+b)}{\mathrm{\Gamma }(a)\mathrm{\Gamma }(b)}\sum _{0\le n}\frac{2^{2n}{\left(\frac{c}{2}\right)}_n}{n!}{\int }_0^1{x}^{a+n-1}(1-x{)}^{b+n-1}dx\\ & =& \frac{\mathrm{\Gamma }(a+b)}{\mathrm{\Gamma }(a)\mathrm{\Gamma }(b)}{\int }_0^1\sum _{0\le n}\frac{2^{2n}{\left(\frac{c}{2}\right)}_n}{n!}{x}^{a+n-1}(1-x{)}^{b+n-1}dx\\ & =& \frac{\mathrm{\Gamma }(a+b)}{\mathrm{\Gamma }(a)\mathrm{\Gamma }(b)}{\int }_0^1{x}^{a-1}(1-x{)}^{b-1}(1-4x(1-x){)}^{-c/2}dx\\ & =& \frac{\mathrm{\Gamma }(a+b)}{\mathrm{\Gamma }(a)\mathrm{\Gamma }(b)}{\int }_0^1{x}^{a-1}(1-x{)}^{b-1}((1-2x{)}^2{)}^{-c/2}dx\\ & =& \frac{\mathrm{\Gamma }(a+b)}{\mathrm{\Gamma }(a)\mathrm{\Gamma }(b)}{\int }_0^1{x}^{a-1}(1-x{)}^{b-1}|1-2x{|}^{-c}dx\end{array}$$となって証明が完了しました. 証明過程から, 一般に
$$\begin{array}{r}{}_3{F}_2[\begin{array}{c}a,b,c\\ \frac{a+b}{2},\frac{1+a+b}{2}\end{array};\frac{z}{4}]=\frac{\mathrm{\Gamma }(a+b)}{\mathrm{\Gamma }(a)\mathrm{\Gamma }(b)}{\int }_0^1{x}^{a-1}(1-x{)}^{b-1}(1-zx(1-x){)}^{-c}dx\end{array}$$
が成り立つことも分かりますね. 実はこの積分表示はAppellの超幾何級数をもちいて表すことができます.