Bernoulli数は、スイスの数学者Jacob Bernoulliと日本の和算家である関孝和によって、ほぼ同時期に、また独立に発見された。したがって、関Bernoulli数とも呼ばれる。関孝和の死後出版された括要算法(1712年)において、また、Bernoulliの死後出版されたArs Conjectandi(1713年)において、世に知られることとなった。
(1)
(2)
Faulhaberによって、少なくとも
(
これより、
これより、
(
これより、
ゆえに
これより、
ここからFaulhaberの公式を導くことが可能である。
Taylorの展開公式により、
ただしここで
を得るので、
次に、
となってFaulhaberの公式を得ることができる。
まず形式的に(2)から(1)を導くことが可能であることが観察できる。
(2)の両辺を
両辺に
となる。
次に(2)より
となるから、
両辺を
となるので、
を得る。
を得る。
ただしここで、
となるが、これが
である。