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Seki-Bernoulli数とFaulhaberの公式

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Bernoulli数は、スイスの数学者Jacob Bernoulliと日本の和算家である関孝和によって、ほぼ同時期に、また独立に発見された。したがって、関Bernoulli数とも呼ばれる。関孝和の死後出版された括要算法(1712年)において、また、Bernoulliの死後出版されたArs Conjectandi(1713年)において、世に知られることとなった。

Faulhaber's formula

(1)
k=1nkp=1p+1j=0p(1)j(p+1j)Bjnp+1j
Bjは第1種関Bernoulli数
(2)
k=1nkp=1p+1j=0p(p+1j)Bjnp+1j
Bjは第2種関Bernoulli数

Faulhaberによって、少なくともp=17の場合まで、k=1nkpの公式が計算されたが、係数Bjについての言及がなかったので、この公式の正式な発見者は、Jacob Bernoulliと関孝和ということになる。

(p=0)
k=1nk0=11j=00(1)j(1j)Bjn1j
これより、n=B0n ゆえに B0=1 である。
k=1nk0=11j=00(1j)Bjn1j
これより、n=B0n ゆえに B0=1 である。

(p=1)
k=1nk=12j=01(1)j(2j)Bjn2j
これより、
n(n+1)2=12B0n2122B1n
ゆえに B1=12
k=1nk=12j=01(2j)Bjn2j
これより、B1=12

微分・差分

xについての関数f(x)について
Dxf(x):=dfdx(x)
Δxf(x):=f(x+1)f(x)

関Bernoulli 多項式
  1. DxBn(x)=nBn1(x)
  2. ΔxBn(x)=Dxxn=nxn1
    Bn(0)=BnまたBn(1)=Bnとおく。

ここからFaulhaberの公式を導くことが可能である。

Taylorの展開公式により、
f(x)=n=0(xa)nn!Dxnf(a)
ただしここでxは、aを中心とするfの収束半径内にあるものとする。また、Dxnf(x):=dnfdxn(x)とする。Dxnf(a)Dxnf(x)x=aを代入した値のことである。
f(x)=Bm(x)とすると、多項式なので0を中心に収束半径でTaylor展開が可能である。
DxnBm(x)は(1)をくり返し用いることにより、m(m1)(mn+1)Bmn(x)となる。Taylorの展開公式を適用すると、
Bm(x)=n=0m(mn)(xa)nBmn(a)
を得るので、a=0とすると、関Bernoulli 多項式の別の定義式ができる。
次に、k=1nkp=x=1nDxxp+1p+1=x=1nΔxBp+1(x)p+1=Bp+1(n+1)Bp+1(1)p+1である。ここで、Bp+1(n+1)=j=0p+1(p+1j)njBp+1j(1)を用いると、
k=1nkp=1p+1j=1p+1(p+1j)njBp+1j(1)=1p+1l=0p(p+1l)Blnp+1l
となってFaulhaberの公式を得ることができる。

Bn(x)の指数型母関数

F(z;x)=n=0Bn(x)znn!=zexzez1

まず形式的に(2)から(1)を導くことが可能であることが観察できる。
(2)の両辺をΔxでわると
Bn(x)=DxΔxxn
両辺にDxを乗じると
DxBn(x)=DxΔxDxxn=DxΔxnxn1=nBn1(x)
となる。
次に(2)より
ΔxF=n=0ΔxBn(x)znn!=n=0Dxxnznn!=Dxn=0(xz)nn!=Dxexz
となるから、F(z;x+1)F(z;x)=zexzについて、
両辺をx=0からx=t1まで和をとると、
F(z;t)F(z;0)=zx=0t1exz=zetz1ez1
となるので、txで置き換えると、
F(z;x)F(z;0)=zexz1ez1(a)
を得る。
FDxを作用させると、
DxF=n=0DxBn(x)znn!=n=1nBn1(x)znn!=zn=0Bn(x)znn!=zF(z;x)(b)
を得る。
ただしここで、Bn(x)=k=0n(nk)xkBnkよりB0(x)=B0=1を利用している。
(a)の両辺にDxを作用させると
DxF=z2exzez1
となるが、これが(b)に一致するので、
F(z;x)=zexzez1
である。

Bn=(1)nBn
B2m+1=0  (m1)

F(z;0)=zez1=zezez1=F(z;1)であるので、係数を比較してBn(1)=(1)nBn(0)である。
F(z;0)=zez1について、B0=1,B1=12だからn=2Bnznn!=zez11+12zであるが、zez1+12zは偶関数なので、n3以上の奇数であれば、Bn=0となる。

投稿日:2022322
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