軌道空間 C^n/S_n が C^n に同相であることの証明

well-definedness（値が代表元の取り方に依らないことと、$min,max$が存在すること）、正定値性、および対称性は明らか。あとは三角不等式の成立を示せばよい。$⟨x⟩,⟨y⟩,⟨z⟩\in {\mathbb{C}}^n/S_n(x=(x_1,\dots ,x_n),y=(y_1,\dots ,y_n),z=(z_1,\dots ,z_n))$とする。このとき、$\mathrm{dist}$の定義式の$min$を達成する permutation$q\in S_n$がとれて
$$\mathrm{dist}(⟨x⟩,⟨y⟩)=\underset{j}{max}|x_j-y_{q(j)}|$$
が成り立つ。よって
$$\begin{array}{rl}\mathrm{dist}(⟨x⟩,⟨z⟩)& =\underset{p}{min}\underset{j}{max}|x_j-x_{p(j)}|(\because \mathrm{dist}\text{ の定義})\\ & \le \underset{p}{min}\{\underset{j}{max}|x_j-y_{q(j)}|+\underset{j}{max}|y_{q(j)}-z_{p(j)}|\}(\because max\text{ の三角不等式})\\ & =\mathrm{dist}(⟨x⟩,⟨y⟩)+\underset{p}{min}\underset{j}{max}|y_{q(j)}-z_{p(j)}|(\because q\text{ の定め方})\\ & =\mathrm{dist}(⟨x⟩,⟨y⟩)+\mathrm{dist}(⟨y⟩,⟨z⟩)(\because \mathrm{dist}\text{ の定義})\end{array}$$
がいえた。

$\mathcal{O}\subset {\mathcal{O}}_d$であること：
$U\subset \mathcal{O},\xi \in U$とする。目的の包含を示すには、$\xi$を中心とする或る開球 w.r.t.$\mathrm{dist}$が$U$に包まれることを示せばよい。いま$\xi \in {\mathbb{C}}^n/S_n$だから$\xi =\pi (x)(\mathrm{\exists }x=(x_1,\dots ,x_n)\in {\mathbb{C}}^n)$である。ここで$x$は${\mathbb{C}}^n$の開集合${\pi }^{-1}(U)$の元だから、${\mathbb{C}}^n$の普通のノルムを$\parallel \cdot \parallel$と書くことにすれば
$$\mathrm{\exists }{\epsilon }^{\prime }>0[U_{{\epsilon }^{\prime }}^{\parallel \cdot \parallel }(x)\subset {\pi }^{-1}(U)]$$
である。そこで$\epsilon :=\frac{1}{\sqrt{n}}{\epsilon }^{\prime }$とおく。$\eta \in {\mathbb{C}}^n/S_n,\mathrm{dist}(\xi ,\eta )<\epsilon$とする。$\mathrm{dist}$の定義式の$min$を達成する permutation がとれることから
$$\mathrm{\exists }y=(y_1,\dots ,y_n)\in {\pi }^{-1}(\eta )[\mathrm{dist}(\xi ,\eta )=\underset{j}{max}|x_j-y_j|]$$
である。このとき
$$\begin{array}{rl}\parallel x-y\parallel & \le \sqrt{n}\underset{j}{max}|x_j-y_j|(\because \parallel \cdot \parallel \text{ の性質})\\ & =\sqrt{n}\mathrm{dist}(\xi ,\eta )(\because y\text{ のとり方})\\ & <\sqrt{n}\epsilon (\because \eta \text{ のとり方})\\ & ={\epsilon }^{\prime }(\because \epsilon \text{ の定義})\end{array}$$
である。よって$y\in U_{{\epsilon }^{\prime }}^{\parallel \cdot \parallel }(x)\subset {\pi }^{-1}(U)$、ゆえに$\eta =\pi (y)\in \pi ({\pi }^{-1}(U))\subset U$である。よって、$\xi$中心の開球$U_{\epsilon }^{\mathrm{dist}}(\xi )$が$U$に包まれることがいえた。

${\mathcal{O}}_d\subset \mathcal{O}$であること：
$\mathcal{O}$は$\pi$が連続となるような最も細かい位相だから、目的の包含を示すには$\pi$が${\mathcal{O}}_d$に関し連続であることを示せばよい。$x=(x_1,\dots ,x_n)\in {\mathbb{C}}^n,\epsilon >0$とする。$\pi$の点$x$での連続性をいうために、$\mathrm{\exists }\delta >0[\pi (U_{\delta }^{\parallel \cdot \parallel }(x))\subset U_{\epsilon }^{\mathrm{dist}}(\pi (x))]$を示す。そこで$\delta :=\epsilon$とおく。$x^{\prime }=(x_1^{\prime },\dots ,x_n^{\prime })\in U_{\delta }^{\parallel \cdot \parallel }(x)$とすると
$$\underset{j}{max}|x_j-x_j^{\prime }|\le \parallel x-x^{\prime }\parallel <\delta$$
だから
$$\mathrm{dist}(⟨x⟩,⟨x^{\prime }⟩)=\underset{p}{min}\underset{j}{max}|x_j-x_{p(j)}^{\prime }|<\delta =\epsilon$$
よって$\pi (x^{\prime })\in U_{\epsilon }^{\mathrm{dist}}(\pi (x))$である。したがって$\pi (U_{\delta }^{\parallel \cdot \parallel }(x))\subset U_{\epsilon }^{\mathrm{dist}}(\pi (x))$がいえた。

以上で$\mathcal{O}={\mathcal{O}}_d$が示せた。

$\alpha =({\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_n)\in {\mathbb{C}}^n$とする。代数学の基本定理より、多項式
$$z^n+\sum _{j=1}^n(-1{)}^j{\alpha }_j{z}^{n-j}$$
は$\mathbb{C}$上に重複度を込めてちょうど$n$個の根$(x_1,\dots ,x_n)$を持つ。このとき、根と係数の関係より$\sigma (x_1,\dots ,x_n)=({\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_n)$である。したがって$\sigma$の全射性がいえた。

$\alpha =({\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_n)\in {\mathbb{C}}^n$とする。$\epsilon >0$とする。$\tau$の点$\alpha$での連続性をいうために、
$$\mathrm{\exists }\delta >0\mathrm{\forall }{\alpha }^{\prime }\in {\mathbb{C}}^n[\parallel \alpha -{\alpha }^{\prime }\parallel <\delta \Rightarrow \mathrm{dist}(\tau (\alpha ),\tau ({\alpha }^{\prime }))<\epsilon ]$$
を示す。ここで、$P_{\alpha }(z)$は$\alpha$を係数とするモニック多項式、すなわち
$$P_{\alpha }(z):=z^n+\sum _{j=1}^n(-1{)}^j{\alpha }_j{z}^{n-j}$$
と定める。因数分解は
$$(z-{\zeta }_1{)}^{{\mu }_1}\dots (z-{\zeta }_k{)}^{{\mu }_k}({\zeta }_i\ne {\zeta }_j\text{ if }i\ne j)$$
と表せる。ここで、或る$0<\rho <\epsilon$がとれて、中心${\zeta }_i$半径$\rho$の円周$C_i\subset \mathbb{C}(i\in \{1,\dots ,k\})$らが pairwise disjoint であるようにできる。$Q:=\bigcup _{i=1}^k{C}_i$とおく。$C_i$らの定め方から
$$\mathrm{\exists }m>0\mathrm{\forall }z\in Q[|P_{\alpha }(z)|>m]$$
である。ここで$R:=max\{1,\underset{z\in Q}{max}|z|\},\delta :=\frac{m}{n{R}^{n-1}}(>0)$とおくと、各${\alpha }^{\prime }\in {\mathbb{C}}^n$with$\parallel \alpha -{\alpha }^{\prime }\parallel <\delta$と$z\in Q$に対し
$$\begin{array}{rl}|P_{\alpha }(z)-P_{{\alpha }^{\prime }}(z)|& =|\sum _{j=1}^n(-1{)}^j({\alpha }_j-{\alpha }_j^{\prime })z^{n-j}|(\text{ただし }{P}_{{\alpha }^{\prime }}\text{ は }{\alpha }^{\prime }\text{ を係数とするモニック多項式})\\ & \le \sum _{j=1}^n|{\alpha }_j-{\alpha }_j^{\prime }||z{|}^{n-j}(\because \text{三角不等式})\\ & \le \parallel \alpha -{\alpha }^{\prime }\parallel n{R}^{n-1}(\because \parallel \cdot \parallel \text{の性質、}z\text{ のとり方})\\ & <\delta n{R}^{n-1}(\because {\alpha }^{\prime }\text{のとり方})\\ & =m(\because \delta \text{ の定義})\end{array}$$
が成り立つ。このような各${\alpha }^{\prime }$に対し、Rouché の定理より、各円周$C_i(i\in \{1,\dots ,k\})$に囲まれた領域上で多項式$P_{\alpha },P_{{\alpha }^{\prime }}$は重複度を込めて同じ個数の零点を持つ。また、$\mathrm{deg}{P}_{{\alpha }^{\prime }}=n=\mathrm{deg}{P}_{\alpha }$より、$P_{{\alpha }^{\prime }}$はこれら以外の零点を持たない。したがって$\mathrm{dist}(\tau (\alpha ),\tau ({\alpha }^{\prime }))<\epsilon$である。よって$\tau$の連続性がいえた。