以下の証明の大まかな方針は、参考文献[1]で紹介されていた参考文献[2]での議論に沿ったものです。
$\mathbb{C}^n$の各元$x$に対し、成分入れ替えによって$n$次対称群$S_n$を作用させることを考える。軌道空間$\mathbb{C}^n/S_n$が$\mathbb{C}^n$に同相であることを示せ。
題意の作用のもとでの$x = (x_1, \dots, x_n) \in \mathbb{C}^n$の軌道を$\langle x \rangle = \langle x_1, \dots, x_n \rangle$と書くことにし、写像$x \mapsto \langle x \rangle$を$\pi$とおく。$\mathbb{C}^n/S_n$は$\pi$を等化写像とする商空間である。ここで、
$\mathbb{C}^n/S_n$上の距離$\mathrm{dist}$を次のように定めることができる：
$$
\mathrm{dist}(\langle x_1, \dots, x_n \rangle, \langle y_1, \dots, y_n \rangle)
:= \min_{p \in S_n} \max_{j} |x_j - y_{p(j)}|
$$
well-definedness（値が代表元の取り方に依らないことと、$\min, \max$が存在すること）、正定値性、および対称性は明らか。あとは三角不等式の成立を示せばよい。$\langle x \rangle, \langle y \rangle, \langle z \rangle \in \mathbb{C}^n/S_n\, \left(x = (x_1, \dots, x_n),\, y = (y_1, \dots, y_n),\, z = (z_1, \dots, z_n)\right)$とする。このとき、$\mathrm{dist}$の定義式の$\min$を達成する permutation$q \in S_n$がとれて
$$
\mathrm{dist}(\langle x \rangle, \langle y \rangle) = \max_j |x_j - y_{q(j)}|
$$
が成り立つ。よって
\begin{alignat}{1}
\mathrm{dist}(\langle x \rangle, \langle z \rangle)
&= \min_p \max_j |x_j - x_{p(j)}| \quad (\because \text{$\mathrm{dist}$ の定義}) \\
&\le \min_p \{ \max_j |x_j - y_{q(j)}| + \max_j |y_{q(j)} - z_{p(j)}| \} \quad (\because \text{$\max$ の三角不等式}) \\
&= \mathrm{dist}(\langle x \rangle, \langle y \rangle)
+ \min_p \max_j |y_{q(j)} - z_{p(j)}| \quad (\because \text{$q$ の定め方}) \\
&= \mathrm{dist}(\langle x \rangle, \langle y \rangle)
+ \mathrm{dist}(\langle y \rangle, \langle z \rangle) \quad (\because \text{$\mathrm{dist}$ の定義})
\end{alignat}
がいえた。
$\mathbb{C}^n/S_n$の位相を$\mathscr{O}$とおき、距離$\mathrm{dist}$により$\mathbb{C}^n/S_n$に定まる位相を$\mathscr{O}_d$とおくと、
$\mathscr{O} = \mathscr{O}_d$である。
$\mathscr{O} \subset \mathscr{O}_d$であること：
$U \subset \mathscr{O}, \xi \in U$とする。目的の包含を示すには、$\xi$を中心とする或る開球 w.r.t.$\mathrm{dist}$が$U$に包まれることを示せばよい。いま$\xi \in \mathbb{C}^n/S_n$だから$\xi = \pi(x)\, (\exists x = (x_1, \dots, x_n) \in \mathbb{C}^n)$である。ここで$x$は$\mathbb{C}^n$の開集合$\pi^{-1}(U)$の元だから、$\mathbb{C}^n$の普通のノルムを$\|\cdot\|$と書くことにすれば
$$
\exists \varepsilon'>0 \left[ U_{\varepsilon'}^{\|\cdot\|}(x) \subset \pi^{-1}(U) \right]
$$
である。そこで$\varepsilon := \frac{1}{\sqrt{n}} \varepsilon'$とおく。$\eta \in \mathbb{C}^n/S_n,\, \mathrm{dist}(\xi, \eta) < \varepsilon$とする。$\mathrm{dist}$の定義式の$\min$を達成する permutation がとれることから
$$
\exists y = (y_1, \dots, y_n) \in \pi^{-1}(\eta) \left[ \mathrm{dist}(\xi, \eta) = \max_j |x_j - y_j| \right]
$$
である。このとき
\begin{alignat}{1}
\|x - y\| &\le \sqrt{n} \max_j |x_j - y_j| \quad (\because \text{$\|\cdot\|$ の性質}) \\
&= \sqrt{n}\, \mathrm{dist}(\xi, \eta) \quad (\because \text{$y$ のとり方}) \\
&< \sqrt{n}\, \varepsilon \quad (\because \text{$\eta$ のとり方}) \\
&= \varepsilon' \quad (\because \text{$\varepsilon$ の定義})
\end{alignat}
である。よって$y \in U_{\varepsilon'}^{\|\cdot\|}(x) \subset \pi^{-1}(U)$、ゆえに$\eta = \pi(y) \in \pi(\pi^{-1}(U)) \subset U$である。よって、$\xi$中心の開球$U_\varepsilon^{\mathrm{dist}}(\xi)$が$U$に包まれることがいえた。
$\mathscr{O}_d \subset \mathscr{O}$であること：
$\mathscr{O}$は$\pi$が連続となるような最も細かい位相だから、目的の包含を示すには$\pi$が$\mathscr{O}_d$に関し連続であることを示せばよい。$x = (x_1, \dots, x_n) \in \mathbb{C}^n,\, \varepsilon > 0$とする。$\pi$の点$x$での連続性をいうために、$\exists \delta > 0 \left[ \pi(U_\delta^{\|\cdot\|}(x)) \subset U_\varepsilon^{\mathrm{dist}}(\pi(x)) \right]$を示す。そこで$\delta := \varepsilon$とおく。$x' = (x'_1, \dots, x'_n) \in U_\delta^{\|\cdot\|}(x)$とすると
$$
\max_j |x_j - x'_j| \le \|x - x'\| < \delta
$$
だから
$$
\mathrm{dist}(\langle x \rangle, \langle x' \rangle) = \min_p \max_j |x_j - x'_{p(j)}| < \delta = \varepsilon
$$
よって$\pi(x') \in U_\varepsilon^{\mathrm{dist}}(\pi(x))$である。したがって$\pi(U_\delta^{\|\cdot\|}(x)) \subset U_\varepsilon^{\mathrm{dist}}(\pi(x))$がいえた。
以上で$\mathscr{O} = \mathscr{O}_d$が示せた。
$\mathbb{C}^n/S_n$から$\mathbb{C}^n$への同相写像を構成する。そのために、まず写像$\sigma: \mathbb{C}^n \to \mathbb{C}^n$を次のように定める：
$$
x = (x_1, \dots, x_n) \mapsto (\sigma_1(x), \dots, \sigma_n(x))
$$
ただし$\sigma_j\, (j \in \{1,\dots,n\})$は次数$j$の基本対称式である (e.g. $\sigma_2(a, b, c) = ab + bc + ca$)。$\sigma$は明らかに連続である。また、
$\sigma$は全射である。
$\alpha = (\alpha_1, \dots, \alpha_n) \in \mathbb{C}^n$とする。代数学の基本定理より、多項式
$$
z^n + \sum_{j=1}^n (-1)^j \alpha_j z^{n-j}
$$
は$\mathbb{C}$上に重複度を込めてちょうど$n$個の根$(x_1, \dots, x_n)$を持つ。このとき、根と係数の関係より$\sigma(x_1, \dots, x_n) = (\alpha_1, \dots, \alpha_n)$である。したがって$\sigma$の全射性がいえた。
$\sigma: \mathbb{C}^n \to \mathbb{C}^n$が連続全射であることがいえたから、商空間の普遍性より、$\sigma = \tilde{\sigma} \circ \pi$をみたす連続全単射$\tilde{\sigma}: \mathbb{C}^n/S_n \to \mathbb{C}^n$が存在する。逆写像を$\tau := \tilde{\sigma}^{-1}$とおく。ここで、各$\alpha = (\alpha_1, \dots, \alpha_n) \in \mathbb{C}^n$に対し、多項式
$$
z^n + \sum_{j=1}^n (-1)^j \alpha_j z^{n-j}
$$
の因数分解は
$$
(z - \zeta_1)^{\mu_1} \dots (z - \zeta_k)^{\mu_k} \quad (\zeta_i \neq \zeta_j \text{ if } i \neq j)
$$
と表せるが、$\tau = \tilde{\sigma}^{-1}$は明らかに$\alpha$を軌道$\langle \underbrace{\zeta_1, \dots, \zeta_1}_{\mu_1 \text{times}}, \dots, \underbrace{\zeta_k, \dots, \zeta_k}_{\mu_k \text{times}}\rangle $に対応付ける写像である。さて、$\tilde{\sigma}$が$\mathbb{C}^n/S_n$と$\mathbb{C}^n$の間の同相写像であることを示すには次をいえばよい。すなわち、
$\tau$は連続である。
$\tau$の連続性をいうには、多項式の零点が係数に対して連続的に変化するという事実を用いる。その証明には Rouché の定理を用いる。正確には以下の通りである。
$\alpha = (\alpha_1, \dots, \alpha_n) \in \mathbb{C}^n$とする。$\varepsilon > 0$とする。$\tau$の点$\alpha$での連続性をいうために、
$$
\exists \delta > 0 \forall \alpha' \in \mathbb{C}^n \left[ \| \alpha - \alpha' \| < \delta \Rightarrow \mathrm{dist}(\tau(\alpha), \tau(\alpha')) < \varepsilon \right]
$$
を示す。ここで、$P_\alpha(z)$は$\alpha$を係数とするモニック多項式、すなわち
$$
P_\alpha(z) := z^n + \sum_{j=1}^n (-1)^j \alpha_j z^{n-j}
$$
と定める。因数分解は
$$
(z - \zeta_1)^{\mu_1} \dots (z - \zeta_k)^{\mu_k} \quad (\zeta_i \neq \zeta_j \text{ if } i \neq j)
$$
と表せる。ここで、或る$0 < \rho < \varepsilon$がとれて、中心$\zeta_i$半径$\rho$の円周$C_i \subset \mathbb{C}\, (i \in \{1, \dots, k\})$らが pairwise disjoint であるようにできる。$Q := \bigcup_{i=1}^k C_i$とおく。$C_i$らの定め方から
$$
\exists m > 0 \forall z \in Q \left[ |P_\alpha(z)| > m \right]
$$
である。ここで$R := \max\{1, \max_{z \in Q} |z|\},\, \delta := \frac{m}{nR^{n-1}} (>0)$とおくと、各$\alpha' \in \mathbb{C}^n$with$\|\alpha - \alpha'\| < \delta$と$z \in Q$に対し
\begin{alignat}{1}
|P_\alpha(z) - P_{\alpha'}(z)| &= \left| \sum_{j=1}^n (-1)^j (\alpha_j - \alpha'_j) z^{n-j} \right| \quad (\text{ただし $P_{\alpha'}$ は $\alpha'$ を係数とするモニック多項式}) \\
&\le \sum_{j=1}^n |\alpha_j - \alpha'_j| |z|^{n-j} \quad (\because \text{三角不等式}) \\
&\le \|\alpha - \alpha'\| nR^{n-1} \quad (\because \text{$\|\cdot\|$の性質、$z$ のとり方}) \\
&< \delta nR^{n-1} \quad (\because \text{$\alpha'$のとり方}) \\
&= m \quad (\because \text{$\delta$ の定義})
\end{alignat}
が成り立つ。このような各$\alpha'$に対し、Rouché の定理より、各円周$C_i\, (i\in\{1,\dots,k\})$に囲まれた領域上で多項式$P_\alpha,\, P_{\alpha'}$は重複度を込めて同じ個数の零点を持つ。また、$\deg P_{\alpha'} = n = \deg P_\alpha$より、$P_{\alpha'}$はこれら以外の零点を持たない。したがって$\mathrm{dist}(\tau(\alpha), \tau(\alpha')) < \varepsilon$である。よって$\tau$の連続性がいえた。
したがって$\tilde{\sigma}$が$\mathbb{C}^n/S_n$と$\mathbb{C}^n$の間の同相写像であることが示せた。