Skorohodの表現定理 (Skorohod representation theorem)

$\varepsilon>0$とし, $M=\textrm{supp}(\mu)$とおく. $x\in M$を任意に取る. このとき, 各$j=1,2,\dots$に対して$\mu(\partial B(x,r))\geq 1/j$を満たす$0< r<\varepsilon/2$は高々$j$個なので, $\mu(\partial B(x,r))>0$を満たす$0< r<\varepsilon/2$は高々可算個である. よって$\mu(\partial B(x,r))=0$を満たす$0< r<\varepsilon/2$は無数に存在する.
ここで, $M$が可分であることと上に示した事実により, $M$は$\mu(\partial B(x,r))=0$を満たす高々可算個の$(B(x,r))_{x\in M,\,0< r<\varepsilon/2}$で被覆される. その被覆を$A_1,A_2,\dots$とする. $\mu(\bigcup_{i\geq 1}A_i)\geq \mu(M)=1$と測度の連続性より, 十分大きな$k$に対して
\begin{align} \mu\left(\bigcup_{i=1}^k A_i\right)>1-\varepsilon \tag{2} \end{align}
とできる.
$B_0=S\setminus \bigcup_{i=1}^k A_i$とし,
\begin{align*} \begin{cases} B_1 = A_1, & \\[.5em] \displaystyle B_i = A_i \setminus \bigcup_{j=1}^{i-1}A_j, & i=2,3,\dots,k \end{cases} \end{align*}
とおく. $\mu(B_0)=1-\mu(\bigcup_{i=1}^k A_i)$と(2)より(i)が分かり, また各$i$に対し$B_i\subset A_i$より(iii)を得る. そして各$i$に対して$\partial B_i\subset \bigcup_{i=1}^{k}\partial A_i$と$\mu(\partial A_i)=0$より, (ii)が得られる.

$m=1,2,\dots$に対し$\varepsilon_m=1/2^m$とおく. 補題4より, 各$m$に対し, 非交差な$B^m_0,\dots,B^m_{k_m}\in\mathcal{B}(S)$, $S=\bigcup_{i=0}^{k_m}B_i^m$で,
(R1) $\mu(B^m_0)<\varepsilon_m$,
(R2) $\mu(\partial B^m_i)=0, \quad i=0,1,\dots,k_m$,
(R3) $\textrm{diam}\,B^m_i<\varepsilon_m, \quad i=1,2,\dots,k_m$

とする. ここで, もし$\mu(B^m_i)=0$であるような$B^m_i~(i\geq 1)$があれば, それらすべてと$B^m_0$との合併を新たに$B^m_0$をみなすことで(i)-(iii)が満たされ, また合併されたもの以外の$B^m_i$については$\mu(B^m_i)>0$である. したがって, 最初からすべての$B^m_i~(i\geq 1)$が$\mu(B^m_i)>0$を満たすと仮定してよい.

$\mu_n\Rightarrow\mu~(n\to\infty)$なので, 各$m$に対し(ii)と命題2より, 適当な$n_m$が存在して, $n\geq n_m$ならば
\begin{align*} \mu_n(B^m_i) \geq (1-\varepsilon_m)\mu(B^m_i), \quad i=0,1,\dots,k_m \end{align*}
である. ここで適当に番号を取り換えて, $1< n_1< n_2<\cdots$としておく.

$(\Omega^1,\mathcal{F}^1,P^1)=(S,\mathcal{B}(S),\mu)$, $(\Omega^2_n,\mathcal{F}^2_n,P^2_n)=(S,\mathcal{B}(S),\mu_n)~(n\geq 1)$とおく. また, $n\geq n_1$, $i\geq 1$と$A\in\mathcal{B}(S)$に対し,
\begin{align*} \begin{cases} \displaystyle \nu_{n,i}(A) = \mu_n(A \mid B^m_i)= \frac{\mu_n(A\cap B^m_i)}{\mu_n(B^m_i)}, \\[.5em] \displaystyle \nu_n(A) = \varepsilon_m^{-1} \sum_{i=0}^{k_m} \mu_n(A\mid B^m_i)\{\mu_n(B^m_i)-(1-\varepsilon_m)\mu(B^m_i)\}, \end{cases} \qquad ~\text{if $n_m\leq n < n_{m+1}$} \end{align*}
で定め, $(\Omega^3_{n,i},\mathcal{F}^3_{n,i},P^3_{n,i})=(S,\mathcal{B}(S),\nu_{n,i})~(n\geq n_1,\,i\geq 1)$, $(\Omega^4_n,\mathcal{F}^4_n,P^4_n)=(S,\mathcal{B}(S),\nu_{n})~(n\geq n_1)$とおく. また, $(\Omega^5,\mathcal{F}^5,P^5)=([0,1],\mathcal{B}([0,1]),\lambda)$とおく. ただし, $\lambda$は$\mathbb{R}$上のルベーグ測度である.

さて, $(\Omega,\mathcal{F},P)$をこれらすべての直積確率空間, すなわち
\begin{align*} (\Omega,\mathcal{F},P)=(\Omega^1,\mathcal{F}^1,P^1)\times \prod_{n\geq 1} (\Omega^2_n,\mathcal{F}^2_n,P^2_n)\times\prod_{\substack{n\geq n_1\\i\geq 1}}(\Omega^3_{n,i},\mathcal{F}^3_{n,i},P^3_{n,i})\times \prod_{n\geq n_1}(\Omega^4_n,\mathcal{F}^4_n,P^4_n) \times (\Omega^5,\mathcal{F}^5,P^5) \end{align*}
とおく. そして$\omega=(\omega^1,\omega^2_1,\dots,\omega^2_n,\dots,\omega^3_{n,i},\dots,\omega^4_n,\dots,\omega^5)\in\Omega$と$n\geq 1$に対し,
\begin{align*} & X(\omega) = \omega^1, \\[.5em] & X_n(\omega) = \begin{cases} \omega^2_n, & n< n_1 \\[.5em] \displaystyle \sum_{i=0}^{k_m} \boldsymbol{1}_{\{\omega^5\leq 1-\varepsilon_m,~ \omega^1\in B^m_i\}}\,\omega^3_{n,i} + \boldsymbol{1}_{\{\omega^5>1-\varepsilon_m\}}\,\omega^4_n, & n_m \leq n < n_{m+1} \end{cases} \end{align*}
と定める. このとき$X$の分布は$\mu$である. また$n_m \leq n < n_{m+1}$と$A\in\mathcal{B}(S)$に対し,
\begin{align*} P(X_n\in A) &= \sum_{i=0}^{k_m}(1-\varepsilon_m)\mu(B^m_i)\nu_{n,i}(A) + \varepsilon_m \nu_n(A) \\ &= \mu_n(A) \end{align*}
であり, $n< n_1$のときは定め方から明らかに$P(X_n\in A)=\nu_n(A)$である. したがって, すべての$n\geq 1$について$X_n$の分布は$\mu_n$である.

$m\geq 1$に対し$E_m=\{\omega^1\notin B^m_0,~\omega^5\leq 1-\varepsilon_m\}$, $E=\lim\inf_{m\to\infty}E_m=\bigcup_{j\geq 1}\bigcap_{k\geq j}E_k$とする. $\omega\in E_m$, $n_m\leq n< n_{m+1}$とすると, ある$i$に対し$\omega^1\in B^m_i$であり, このとき定め方から$X_n(\omega)=\omega^3_{n,i}$である. $\omega^3_{n,i}\in B^m_i$ならば, (iii)より$d(X_n(\omega),X(\omega))<\varepsilon_m$である. すなわち
\begin{align} E_m \subset \bigcap_{n_m\leq n< n_{m+1}}\bigcup_{i=1}^{k_m} \left( \{d(X_n(\omega),X(\omega))<\varepsilon_m\} \cup \{\omega^1\in B^m_i,~\omega^3_{n,i}\notin B^m_i\} \right) \tag{3} \end{align}
である. また, $P(\omega^1\in B^m_i,~\omega^3_{n,i}\notin B^m_i)=\mu(B^m_i)\nu_{n,i}(S\setminus B^m_i)=0$である. したがって,
\begin{align} E \subset \left\{\lim_{n\to\infty}X_n(\omega)=X(\omega)\right\} \cup N \tag{4} \end{align}
を得る. ただし, $N\in\mathcal{F}$は(3)から得られる$P$-零集合である.

\begin{align*} \sum_{m=1}^\infty P(S\setminus E_m) &\leq \sum_{m=1}^\infty (\mu(B^m_0)+\varepsilon_m) \\[.5em] &\leq \sum_{m=1}^\infty \frac{1}{2^{m-1}} < \infty \end{align*}
なので, ボレル-カンテリの補題より$P(E)=1$である. (4)より, $\lim_{n\to\infty}X_n=X,\,\text{$P$-a.s.}$を得る.