Skorohodの表現定理 (Skorohod representation theorem)

$\epsilon >0$とし, $M=\text{supp}(\mu )$とおく. $x\in M$を任意に取る. このとき, 各$j=1,2,\dots$に対して$\mu (\partial B(x,r))\ge 1/j$を満たす$0<r<\epsilon /2$は高々$j$個なので, $\mu (\partial B(x,r))>0$を満たす$0<r<\epsilon /2$は高々可算個である. よって$\mu (\partial B(x,r))=0$を満たす$0<r<\epsilon /2$は無数に存在する.
ここで, $M$が可分であることと上に示した事実により, $M$は$\mu (\partial B(x,r))=0$を満たす高々可算個の$(B(x,r){)}_{x\in M,0<r<\epsilon /2}$で被覆される. その被覆を$A_1,A_2,\dots$とする. $\mu (\bigcup _{i\ge 1}{A}_i)\ge \mu (M)=1$と測度の連続性より, 十分大きな$k$に対して
$$\begin{array}{}\text{(2)}& \mu \left(\bigcup _{i=1}^k{A}_i\right)>1-\epsilon \end{array}$$
とできる.
$B_0=S\setminus \bigcup _{i=1}^k{A}_i$とし,
$$\begin{array}{r}\{\begin{array}{ll}{B}_1=A_1,& \\ {\displaystyle B_i=A_i\setminus \bigcup _{j=1}^{i-1}{A}_j,}& i=2,3,\dots ,k\end{array}\end{array}$$
とおく. $\mu (B_0)=1-\mu (\bigcup _{i=1}^k{A}_i)$と(2)より(i)が分かり, また各$i$に対し$B_i\subset A_i$より(iii)を得る. そして各$i$に対して$\partial B_i\subset \bigcup _{i=1}^k\partial A_i$と$\mu (\partial A_i)=0$より, (ii)が得られる.

$m=1,2,\dots$に対し${\epsilon }_m=1/2^m$とおく. 補題4より, 各$m$に対し, 非交差な$B_0^m,\dots ,B_{k_m}^m\in \mathcal{B}(S)$, $S=\bigcup _{i=0}^{k_m}{B}_i^m$で,
(R1) $\mu (B_0^m)<{\epsilon }_m$,
(R2) $\mu (\partial B_i^m)=0,i=0,1,\dots ,k_m$,
(R3) $\text{diam}{B}_i^m<{\epsilon }_m,i=1,2,\dots ,k_m$

とする. ここで, もし$\mu (B_i^m)=0$であるような$B_i^m(i\ge 1)$があれば, それらすべてと$B_0^m$との合併を新たに$B_0^m$をみなすことで(i)-(iii)が満たされ, また合併されたもの以外の$B_i^m$については$\mu (B_i^m)>0$である. したがって, 最初からすべての$B_i^m(i\ge 1)$が$\mu (B_i^m)>0$を満たすと仮定してよい.

${\mu }_n\Rightarrow \mu (n\to \mathrm{\infty })$なので, 各$m$に対し(ii)と命題2より, 適当な$n_m$が存在して, $n\ge n_m$ならば
$$\begin{array}{r}{\mu }_n(B_i^m)\ge (1-{\epsilon }_m)\mu (B_i^m),i=0,1,\dots ,k_m\end{array}$$
である. ここで適当に番号を取り換えて, $1<n_1<n_2<\cdots$としておく.

$({\mathrm{\Omega }}^1,{\mathcal{F}}^1,P^1)=(S,\mathcal{B}(S),\mu )$, $({\mathrm{\Omega }}_n^2,{\mathcal{F}}_n^2,P_n^2)=(S,\mathcal{B}(S),{\mu }_n)(n\ge 1)$とおく. また, $n\ge n_1$, $i\ge 1$と$A\in \mathcal{B}(S)$に対し,
$$\begin{array}{r}\{\begin{array}{l}{\displaystyle {\nu }_{n,i}(A)={\mu }_n(A\mid B_i^m)=\frac{{\mu }_n(A\cap B_i^m)}{{\mu }_n(B_i^m)},}\\ {\displaystyle {\nu }_n(A)={\epsilon }_m^{-1}\sum _{i=0}^{k_m}{\mu }_n(A\mid B_i^m)\{{\mu }_n(B_i^m)-(1-{\epsilon }_m)\mu (B_i^m)\},}\end{array}\text{if }{n}_m\le n<n_{m+1}\end{array}$$
で定め, $({\mathrm{\Omega }}_{n,i}^3,{\mathcal{F}}_{n,i}^3,P_{n,i}^3)=(S,\mathcal{B}(S),{\nu }_{n,i})(n\ge n_1,i\ge 1)$, $({\mathrm{\Omega }}_n^4,{\mathcal{F}}_n^4,P_n^4)=(S,\mathcal{B}(S),{\nu }_n)(n\ge n_1)$とおく. また, $({\mathrm{\Omega }}^5,{\mathcal{F}}^5,P^5)=([0,1],\mathcal{B}([0,1]),\lambda )$とおく. ただし, $\lambda$は$\mathbb{R}$上のルベーグ測度である.

さて, $(\mathrm{\Omega },\mathcal{F},P)$をこれらすべての直積確率空間, すなわち
$$\begin{array}{r}(\mathrm{\Omega },\mathcal{F},P)=({\mathrm{\Omega }}^1,{\mathcal{F}}^1,P^1)\times \prod _{n\ge 1}({\mathrm{\Omega }}_n^2,{\mathcal{F}}_n^2,P_n^2)\times \prod _{\begin{array}{c}n\ge n_1\\ i\ge 1\end{array}}({\mathrm{\Omega }}_{n,i}^3,{\mathcal{F}}_{n,i}^3,P_{n,i}^3)\times \prod _{n\ge n_1}({\mathrm{\Omega }}_n^4,{\mathcal{F}}_n^4,P_n^4)\times ({\mathrm{\Omega }}^5,{\mathcal{F}}^5,P^5)\end{array}$$
とおく. そして$\omega =({\omega }^1,{\omega }_1^2,\dots ,{\omega }_n^2,\dots ,{\omega }_{n,i}^3,\dots ,{\omega }_n^4,\dots ,{\omega }^5)\in \mathrm{\Omega }$と$n\ge 1$に対し,
$$\begin{array}{rl}& X(\omega )={\omega }^1,\\ & X_n(\omega )=\{\begin{array}{ll}{\omega }_n^2,& n<n_1\\ {\displaystyle \sum _{i=0}^{k_m}{\mathbf{1}}_{\{{\omega }^5\le 1-{\epsilon }_m,{\omega }^1\in B_i^m\}}{\omega }_{n,i}^3+{\mathbf{1}}_{\{{\omega }^5>1-{\epsilon }_m\}}{\omega }_n^4,}& n_m\le n<n_{m+1}\end{array}\end{array}$$
と定める. このとき$X$の分布は$\mu$である. また$n_m\le n<n_{m+1}$と$A\in \mathcal{B}(S)$に対し,
$$\begin{array}{rl}P(X_n\in A)& =\sum _{i=0}^{k_m}(1-{\epsilon }_m)\mu (B_i^m){\nu }_{n,i}(A)+{\epsilon }_m{\nu }_n(A)\\ & ={\mu }_n(A)\end{array}$$
であり, $n<n_1$のときは定め方から明らかに$P(X_n\in A)={\nu }_n(A)$である. したがって, すべての$n\ge 1$について$X_n$の分布は${\mu }_n$である.

$m\ge 1$に対し$E_m=\{{\omega }^1\notin B_0^m,{\omega }^5\le 1-{\epsilon }_m\}$, $E=lim\underset{m\to \mathrm{\infty }}{inf}{E}_m=\bigcup _{j\ge 1}\bigcap _{k\ge j}{E}_k$とする. $\omega \in E_m$, $n_m\le n<n_{m+1}$とすると, ある$i$に対し${\omega }^1\in B_i^m$であり, このとき定め方から$X_n(\omega )={\omega }_{n,i}^3$である. ${\omega }_{n,i}^3\in B_i^m$ならば, (iii)より$d(X_n(\omega ),X(\omega ))<{\epsilon }_m$である. すなわち
$$\begin{array}{}\text{(3)}& E_m\subset \bigcap _{n_m\le n<n_{m+1}}\bigcup _{i=1}^{k_m}(\{d(X_n(\omega ),X(\omega ))<{\epsilon }_m\}\cup \{{\omega }^1\in B_i^m,{\omega }_{n,i}^3\notin B_i^m\})\end{array}$$
である. また, $P({\omega }^1\in B_i^m,{\omega }_{n,i}^3\notin B_i^m)=\mu (B_i^m){\nu }_{n,i}(S\setminus B_i^m)=0$である. したがって,
$$\begin{array}{}\text{(4)}& E\subset \{\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{X}_n(\omega )=X(\omega )\}\cup N\end{array}$$
を得る. ただし, $N\in \mathcal{F}$は(3)から得られる$P$-零集合である.

$$\begin{array}{rl}\sum _{m=1}^{\mathrm{\infty }}P(S\setminus E_m)& \le \sum _{m=1}^{\mathrm{\infty }}(\mu (B_0^m)+{\epsilon }_m)\\ & \le \sum _{m=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{2^{m-1}}<\mathrm{\infty }\end{array}$$
なので, ボレル-カンテリの補題より$P(E)=1$である. (4)より, $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{X}_n=X,P\text{-a.s.}$を得る.