パッブス・ギュルダンの定理をご存知でしょうか?
パップス・ギュルダンの定理
平面図形と直線があり,をの周りに回転させてできる図形をとする.
の体積を,の面積を,の重心の移動距離をとすると,
が成立する.ただしを回転させる過程でのそれまでの軌跡と重ならないようにする.これについて私が疑問に思ったのは,という等式は,回転体でなくても,図形がどんな軌跡を描いたとしても成立するのではないか?ということです.
もちろんの動き方がある程度滑らかで,常にはの進行方向と垂直であり,動く過程で同じ部分を通らないという制約はあります.
まず,具体的な曲線に対して成立しているか軽く検討してみます.の重心が描いた曲線を仮にとします.
柱体に対してが成り立つので,が線分であればは成立します.(実際は図形の回転を気にする必要がありますが).さらにパップス・ギュルダンの定理から,が円弧と線分を連結した曲線であっても成立しそうです.サイクロイドなどの曲線に対しても頑張って計算してみると成り立っていることが確認できます.
では常には成立するのでしょうか?これは私が小学生の頃から持っていた疑問だったのですが,最近学校の先生やその同期の方などにご協力いただき,遂に証明が完成したのでここに記そうと思います.
パップス・ギュルダンの定理の拡張
を有界閉区間とし,曲線が級であるとする.また,任意のに対し,であるとする.
2つの級写像が,任意のに対し,次を満たすとする.
このは,上のベクトルが時刻においてどこに移るかを意味する.
はの空でなく連結な閉部分集合であり,その重心はであるとする.また,で定まる写像に対し,定義域をに絞って得られる写像が単射であるとする.ただしはの内部を,は開区間を指す.
この写像は平面上の点が時刻においてどこに移るかを意味する.
このときの体積を,の面積を,の長さをとすれば,
が成立する.証明
重積分の置換積分を使って証明する.計算上の仮定としてヤコビアンの符号が変化しないことを示す必要があるが,とりあえずこれを認めればが成立することを示す.
前半
となる.ここで,常にまたはが成り立つならば,
と変形することができる.ひとまずこれを認めて計算を進めるとする.
簡単のため,とする.
よって,
となる.
第2項については,
であり,
であるから0となる.第3項についても同様.よって,
となる.ここでは互いに垂直な長さ1のベクトルで,と垂直なので,
はに平行な長さ1のベクトルである.よって,はかのいずれかである.
ここで,常にまたはであったことから,を固定すると,は常に0以上または0以下である.よって,の値もつねに0以上または0以下となるので,
が成立する.
次に,最初に保留した,ヤコビアンが符号変化しないことを証明する.方針としては,上のある点が時刻でヤコビアンがになると仮定し,重心とその点を結ぶ直線の像はから少しずれた時刻でも時刻でのの像と共有点をもつことを示す.
後半
あるおよびに対して,と仮定し,の単射性から矛盾を導く.
を実数とするとき,はとを結ぶ直線上の点を与える.これに対し,
であり,とすれば,
ここでを固定して,のとき,を満たすを考える.
このをとする.は連続なので,も定義域全体で連続である.一方,
なので,が成立する.また,よりである.さらにであるから,
を含む適当な区間をとれば,においてとなる.よっては上で連続に定義でき,
となることから,とすれば,は上に連続に定義できる.
したがって,により連続写像を得る.
は開集合であることと,が連続でありであることから,正数をうまくとることで,を満たす任意のに対しとすることができる.特にそのような条件を満たすを取れば,の単射性に矛盾する事がわかる.
このことから,は上ではでない.は連結でありは連続なので,常にかのどちらか一方が成り立つ.
もっと条件は緩められる?
定理2では,が級であるという条件を設けていますが,これは重積分の計算を行うために仮定したものであって,実際この条件抜きで成立するのかはよくわかりません.あくまで私の直感ですが
- が級であることは,の単射性から導けそう
- は級でなくても,連続であれば成立しそう
という感じがします.もし証明できそうな方がいたらコメントしていただければ嬉しいです.