文献あり

整関数が多項式となることの正規族による条件付けの証明

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Ahlfors[1]の演習問題（p.246）の改題です。証明はAhlfors[1]の略解と参考文献[3]の議論をベースにしています。なお問題の主張の逆も成り立ちますが、ここでは省略します。

領域 $D \subset C$ 上の関数族 $F$ が古典的な正規族であるとは、 $F$ の任意の列が $D$ 上広義一様に収束する部分列を持つか、または $D$ 上広義一様に $\infty$ に発散する部分列を持つときをいう。

$f$ を整関数とし、 $D := {z : r < | z | < R} (0 \leq r < R < \infty)$ とおく。 $f_{k} (z) := f (k z) (k \in R, z \in D)$ と定義する。 $D$ 上の関数の族 ${f_{k}}_{k \in R}$ が古典的な正規族ならば、 $f$ は多項式となることを示せ。

${f_{k}}_{k \in R}$ は古典的な正規族であるとする。 $ρ := (r + R) / 2 (> 0)$ とおく。さらに $K := {z : | z | = ρ}$ とおく。ここで、

$f$ が多項式であることをいうには、 $\infty$ が $f$ の真性特異点でないことをいえばよい。

$f$ は整関数だから、 $\infty$ は $f$ の孤立特異点である。よって、 $\infty$ が真性特異点でないとすれば、 $\infty$ は極または除去可能特異点であり、いずれの場合も $\infty$ における $f$ の主要部 $P$ は多項式となる。 $f - P$ は $\hat{C}$ 上正則だから、Liouville の定理により $f - P$ は定数である。したがって $f$ は多項式である。

$f$ が定数ならば明らかに $\infty$ は真性特異点でないから、 $f$ が定数でない場合を考えればよい。背理法のために $\infty$ が $f$ の真性特異点であると仮定する。すると Casorati-Wierstrass の定理より
$\begin{array}{r} \exists {z_{n}}_{n} : a sequence in C [f (z_{n}) \to 0, z_{n} \to \infty] \end{array}$
が成り立つ。ここで実数列 ${a_{n}}_{n}$ を $a_{n} := \frac{| z_{n} |}{ρ}$ で定める。すると点列 $y_{n} := \frac{z_{n}}{a_{n}}$ は $K$ の点列となる。また、 ${f_{a_{n}}}_{n}$ は古典的な正規族 ${f_{k}}_{k \in R}$ の列であって、かつ $D$ 上の解析関数の列であるから、或る部分列 ${f_{a_{n_{l}}}}_{l}$ がとれて、この部分列は或る解析関数 $g : D \to C$ に $D$ 上広義一様収束するか、または $D$ 上広義一様に $\infty$ に発散する。後者が成り立つことを示すために、前者、すなわち部分列 ${f_{a_{n_{l}}}}_{l}$ が $g$ に $D$ 上広義一様に収束すると仮定して矛盾をいう。仮定より、

${f_{a_{n_{l}}}}_{l}$ は $K$ 上一様有界、すなわち
$\exists M > 0 \forall l \in N \forall z \in K [| f_{a_{n_{l}}} (z) | < M]$
である。

関数列 ${f_{a_{n_{l}}}}_{l}$ は $g$ に $K$ 上一様収束するから、
$\exists l_{0} \in N \forall l \geq l_{0} [sup_{z \in K} | f_{a_{n_{l}}} (z) - g (z) | < 1]$
である。そこで
$μ := max_{l \leq l_{0}} max_{z \in K} | f_{a_{n_{l}}} (z) | \in R$
とおく。また、 $g : D \to C$ はコンパクト集合 $K$ 上連続だから
$M^{'} := max_{z \in K} | g (z) | \in R$
が存在する。すると、各 $l > l_{0}$ に対しては
$\begin{array}{r} | f_{a_{n_{l}}} (z) | \leq | f_{a_{n_{l}}} (z) - g (z) | + | g (z) | < 1 + M^{'} (\forall z \in K) \end{array}$
であり、各 $l \leq l_{0}$ に対しては
$\begin{array}{r} | f_{a_{n_{l}}} (z) | < μ (\forall z \in K) \end{array}$
である。したがって $M := max {1 + M^{'}, μ}$ が求める $M$ の条件をみたす。

さらに、

各 $z \in C$ に対し $| f (z) | \leq M$ である。

$z_{n_{l}} \to \infty$ より
$\exists l_{0} \in N \forall l \geq l_{0} [| z_{n_{l}} | > | z |]$
である。各 $l \geq l_{0}$ に対し、
$\begin{aligned} f (z) & = \frac{1}{2 π i} \int_{C (0; | z_{n_{l}} |)} \frac{f (ζ)}{ζ - z} d ζ ∵ Cauchy の積分公式 \\ = \frac{1}{2 π} \int_{0}^{2 π} \frac{f (| z_{n_{l}} | e^{i θ})}{| z_{n_{l}} | e^{i θ} - z} | z_{n_{l}} | e^{i θ} d θ ∵ 変数変換 \\ = \frac{1}{2 π} \int_{0}^{2 π} \frac{f (| z_{n_{l}} | e^{i θ})}{1 - z / | z_{n_{l}} | e^{i θ}} d θ \end{aligned}$
である。したがって
$\begin{aligned} | f (z) | & \leq \frac{1}{2 π} \int_{0}^{2 π} \frac{| f (| z_{n_{l}} | e^{i θ}) |}{| 1 - z / | z_{n_{l}} | e^{i θ} |} d θ ∵ 定積分の三角不等式 \\ \leq \frac{1}{2 π} \frac{1}{1 - z / | z_{n_{l}} |} \int_{0}^{2 π} | f (| z_{n_{l}} | e^{i θ}) | d θ ∵ 三角不等式 \\ \leq \frac{1}{2 π} \frac{M}{1 - z / | z_{n_{l}} |} \int_{0}^{2 π} d θ ∵ 前の命題 \\ = \frac{M}{1 - z / | z_{n_{l}} |} \\ \to M as l \to \infty \end{aligned}$
より命題の主張が従う。

したがって、Liouville の定理より $f$ は $C$ 上定数であるが、いま $f$ は定数でないとしていたからこれは矛盾。よって列 ${f_{a_{n_{l}}}}_{l}$ は $D$ 上広義一様に $\infty$ に発散する。したがってとくに $l \to \infty$ で $f_{a_{n_{l}}} (y_{n_{l}}) = f (a_{n_{l}} y_{n_{l}}) = f (z_{n_{l}}) \to \infty$ であるが、これは $f (z_{n}) \to 0$ に矛盾。背理法により、 $\infty$ が $f$ の真性特異点であるとした仮定は偽である。よって $f$ は多項式であることがいえた。