アニメ版「僕のヒーローアカデミア」第80話の定積分

目的

アニメ版「僕のヒーローアカデミア」の第８０話の13:15頃において、エクトプラズム先生が出題した定積分を解く。なお、出題された問題の内容には誤りがあるため誤りを訂正した問題を解く。

出題された問題と解法（誤り訂正済み）

• 問題
  $$ I=\int_{0}^{log(1+\sqrt2)} (\cfrac{e^{x}-e^{-x}}{2})^{3} (\cfrac{e^{x}+e^{-x}}{2})^{11} dx $$

• 解法
  双曲線関数の定義から
  $$ sinh(x)=\cfrac{e^{x}-e^{-x}}{2} \;,\; cosh(x)=\cfrac{e^{x}+e^{-x}}{2} $$なので与式は、
  $$ I=\int_{0}^{log(1+\sqrt2)} sinh^{3}(x) cosh^{11}(x) dx $$と表せる。ここで$u=sinh^{2}(x)$と置換すると、
  $$ du=2 sinh(x)cosh(x)dx \\sinh^{2}(0)=(\cfrac{e^{0}-e^{0}}{2})^{2}=(\cfrac{0}{2})^{2}=0^{2}=0 \\sinh^{2}(log(1+\sqrt2))=(\cfrac{e^{log(1+\sqrt2)}-e^{-log(1+\sqrt2)}}{2})^{2}=(\cfrac{1+\sqrt2-\frac{1}{1+\sqrt2}}{2})^{2} \\=(\frac{(1+\sqrt2)^2-1}{2(1+\sqrt2)})^{2}=(\frac{3+2\sqrt2-1}{2(1+\sqrt2)})^{2}=(\frac{2(1+\sqrt2)}{2(1+\sqrt2)})^{2}=1 $$
  なので
  $$ I=\int_{0}^{1} u \frac{sinh(x) cosh^{11}(x)}{2 sinh(x)cosh(x)} du =\int_{0}^{1} u \frac{cosh^{10}(x)}{2} du =\int_{0}^{1} u \frac{(cosh^{2}(x))^{5}}{2} du $$ここで双曲線関数は$$ cosh^{2}(x)-sinh^{2}(x)=1 $$という性質があるので、これを適用して部分積分して

  $\displaystyle{ I=\int_{0}^{1} u \frac{(1+sinh^{2}(x))^{5}}{2} du =\frac{1}{2}\int_{0}^{1} u (1+u)^{5} du =\frac{1}{2} \{ [\frac{u(1+u)^{6}}{6}]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{(1+u)^{6}}{6} du \} \\=\frac{1}{2} \{ \frac{2^{6}}{6}-\frac{1}{6}[\frac{(1+u)^{7}}{7}]_{0}^{1} \} =\frac{1}{2*6} (2^{6}-\frac{2^{7}-1}{7}) =\frac{7*2^{6}-2^{7}+1}{2*6*7} =\frac{2^{6}(7-2)+1}{2*6*7} \\=\frac{5*2^{6}+1}{2*6*7} =\frac{321}{2*6*7}=\frac{107}{28} }$

  となり解が得られた。