本日の積分(2020年11月8日)解答

本日の積分11月8日分の解答です。

$z_1=e^{i{\theta }_1},z_2=e^{i{\theta }_2}$とするとき

${\displaystyle {\int }_0^{2\pi }{\int }_0^{2\pi }\frac{1}{z_1+z_2-1}d{\theta }_{1}d{\theta }_2}$

の値を求めよ.

(平成11年度東京大学大学院数理科学科研究科 専門科目A第7問改題)

【略解】まず$z_1$を固定して積分

${\displaystyle {\int }_0^{2\pi }\frac{1}{z_1+z_2-1}d{\theta }_2}$(＊)を考える。

${\displaystyle f(z_2):=\frac{1}{z_1+z_2-1}=\frac{1}{z_2-(1-z_1)}}$は$z_2$の有理型関数で$z_2=1-z_1$を$1$位の極にもつ。

$d{z}_2=i{e}^{i{\theta }_2}d{\theta }_2=i{z}_{2}d{\theta }_2$より(＊)は

${\displaystyle {\int }_{|z_2|=1}f(z_2)\frac{d{z}_2}{i{z}_2}}$(＊＊)と表せる。

$f(z_2)$の極$z_2=1-z_1$が$|z_2|=1$の内部にある場合と外部にある場合に分けて考える。

$|1-z_1{|}^2=2(1-\cos {\theta }_1)$だから

$|1-z_1|<1\iff \cos {\theta }_1>1/2\iff 0\leqq {\theta }_1<\pi /3,5\pi /3<{\theta }_1\leqq 2\pi$

$|1-z_1|>1\iff \cos {\theta }_1<1/2\iff \pi /3<{\theta }_1<5\pi /3$

なので(＊＊)は

$0\leqq {\theta }_1<\pi /3,5\pi /3<{\theta }_1\leqq 2\pi$のとき

${\displaystyle 2\pi i\{\mathrm{Res}(\frac{1}{i{z}_2\{z_2-(1-z_1)\}};z_2=0)+\mathrm{Res}(\frac{1}{i{z}_2\{z_2-(1-z_1)\}};z_2=1-z_1)\}}$

$={\displaystyle \frac{2\pi }{z_1-1}+\frac{2\pi }{1-z_1}=0}$

$\pi /3<{\theta }_1<5\pi /3$のとき

${\displaystyle 2\pi i\mathrm{Res}(\frac{1}{i{z}_2\{z_2-(1-z_1)\}};z_2=0)}$

$={\displaystyle \frac{2\pi }{z_1-1}}$である。

よって(＊)は

${\displaystyle {\int }_{\pi /3}^{5\pi /3}\frac{2\pi }{z_1-1}d{\theta }_1}$

$={\displaystyle 2\pi {\int }_{\pi /3}^{5\pi /3}\frac{(\cos {\theta }_1-1)-i\sin {\theta }_1}{(\cos {\theta }_1-1{)}^2+{\sin }^2{\theta }_1}d{\theta }_1}$

$={\displaystyle 2\pi {\int }_{\pi /3}^{5\pi /3}\{-\frac{1}{2}+i\frac{\sin {\theta }_1}{2(\cos {\theta }_1-1)}\}d{\theta }_1}$

$={\displaystyle 2\pi {[-\frac{1}{2}{\theta }_1-i\frac{1}{2}\log (1-\cos {\theta }_1)]}_{\pi /3}^{5\pi /3}}$

${\displaystyle =-\frac{4{\pi }^2}{3}}$

となる。