本日の積分(2020年11月8日)解答

本日の積分11月8日分の解答です。

$z_1={e^{i\theta_1}}, z_2={e^{i\theta_2}}$とするとき

$\displaystyle\int_0^{2\pi}\int_0^{2\pi}\frac{1}{z_1+z_2-1}d\theta_1 d\theta_2$

の値を求めよ.

(平成11年度東京大学大学院数理科学科研究科 専門科目A第7問改題)

【略解】まず$z_1$を固定して積分

$\displaystyle\int_{0}^{2\pi}\frac{1}{z_1+z_2-1}d\theta_2 $(＊)を考える。

$\displaystyle f(z_2):=\frac{1}{z_1+z_2-1}=\frac{1}{z_2-(1-z_1)} $は$z_2 $の有理型関数で$z_2=1-z_1 $を$1 $位の極にもつ。

$dz_2=i{e^{i\theta_2}}d\theta_2=iz_2d\theta_2$より(＊)は

$\displaystyle\int_{|z_2|=1}f(z_2)\frac{dz_2}{iz_2} $(＊＊)と表せる。

$f(z_2) $の極$z_2=1-z_1 $が$|z_2|=1 $の内部にある場合と外部にある場合に分けて考える。

${|1-z_1|^2}=2(1-\cos\theta_1) $だから

$|1-z_1|<1⇔\cos\theta_1>1/2⇔0≦\theta_1<\pi/3,5\pi/3<\theta_1≦2\pi $

$|1-z_1|>1⇔\cos\theta_1<1/2⇔\pi/3<\theta_1<5\pi /3$

なので(＊＊)は

$0≦\theta_1<\pi/3,5\pi/3<\theta_1≦2\pi $のとき

$\displaystyle 2\pi i\left\{\mathrm{Res}\left(\frac{1}{iz_2\{z_2-(1-z_1)\}};z_2=0\right)+\mathrm{Res}\left(\frac{1}{iz_2\{z_2-(1-z_1)\}};z_2=1-z_1\right)\right\}$

$= \displaystyle \frac{2\pi}{z_1-1}+\frac{2\pi}{1-z_1}=0$

$\pi/3<\theta_1<5\pi /3$のとき

$\displaystyle 2\pi i\mathrm{Res}\left(\frac{1}{iz_2\{z_2-(1-z_1)\}};z_2=0\right)$

$= \displaystyle\frac{2\pi}{z_1-1}$である。

よって(＊)は

$\displaystyle\int_{\pi/3}^{5\pi/3}\frac{2\pi}{z_1-1}d\theta_1$

$=\displaystyle 2\pi\int_{\pi/3}^{5\pi/3}\frac{(\cos\theta_1-1)-i\sin\theta_1}{{(\cos\theta_1-1)^2}+\sin^2\theta_1}d\theta_1$

$=\displaystyle 2\pi\int_{\pi/3}^{5\pi/3}\left\{-\frac{1}{2}+i\frac{\sin\theta_1}{2(\cos\theta_1-1)}\right\}d\theta_1$

$=\displaystyle 2\pi\left[-\frac{1}{2}\theta_1-i\frac{1}{2}\log(1-\cos\theta_1)\right]_{\pi/3}^{5\pi/3} $

$\displaystyle=-\frac{4{\pi^2}}{3}$

となる。