調和総冪の極限は存在するか？

こんにちは～～

やあやあみなさん、マジでこんにちは。僕（睡眠が得意だが最近あまり睡眠に精を出せていない）です。

$ \downarrow $ 【図１】僕

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nullのぬ

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今回は 数字で遊んでいたら自我を失いそうになってしまったので、数強の皆さんに助けていただきたいな などと思いここにやってきました。

では本題へ行きましょう。

$$ \\ \textcolor{lightgray}{*虚無のスペース*} $$

総冪 is 何？

タイトルにもある総冪（そうべき）というのは僕が今名付けたのでもしかしたら知らない方も地球上に2人か2人半くらいいるかもしれません。

既に大体予想はついていると思いますがそれです。あなたが今思い浮かべているそれのことです。
総和、総乗の次のやつです。

「$\Sigma$、$\Pi$ときて次はどうするんだ？」と思いましたね？

そんなもの（記号）は 前々回の記事「ハイパー演算を拡張したい。」 を読めばよいのです。
読めばよいのですが、別に読まなくても分かるようになっているのでそのままお進みください。

さて、ご覧ください、これが総冪です。

今回の記事ではこの$a_k$を$\frac{1}{k}$に固定して遊びます。

調和総冪

$$ \textcolor{gray}{タイトル回収です。アツ～～～～～～～～} $$
取り敢えず予想を立てたいので計算してみましょう。収束（または発散）が遅そうなので
Wolfram Alphaやdesmosではなく、プログラムを組みます。
$$\frac{1}{2}^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{\frac{1}{2}} $$なのでforでpowを循環させて冪根をとりまくればいいですね。

灰コーダーの実力、思い知れ！

お計算

うんうん、ちゃんと一定値に収束しそうですね～
0.67あたりですかね？

うん...?

一つの値に収束しない...？
$\textcolor{gray}{（n=100000で有効桁数を55桁まで増やしても完全一致でした）}$

なるほど、1未満の数に冪根を取ると大きくなるから、
　　冪部分（1未満）が冪根を取られて大きくなる$\rightarrow$
　　冪部分が大きくなって底の部分が小さくなる$\rightarrow$
　　底（1未満）が冪根を取られて大きくなる$\rightarrow$...
っていうのが無限に連鎖している感じですね。

これは...$\mathbf{振動！？}$
まさか発散する...いや、非常にゆっくりだけど差が狭まっていくのは間違いないしやっぱり収束だろ...

ならどんな値に収束するんだ？
冪部分の減少と冪根を取ったときの増加が釣り合う点？
それはどのくらいの数？
0.67より大きい？
それは超越数？
いやでも冪根の無限の組み合わせで表現できるんだから代数的数か？
でも代数方程式に無限って流石にナシか？
もしかすると一般項を三角関数で表せたりするのか？
このまま二つの値に収束するのか？
なら上下から抑えられるのか？

よくわからない...
でもとりあえず、今のところの予想を置いておきます。

だいぶ弱いかつ信憑性の低い予想ですが...まだ予想を強くできるような武器を持ち合わせていません。
$\mathbf{この続きができました！！！！！}$

おわり

おわりです、これから"総冪"はどうなっていくのでしょうか...
全然情報が見つからない故、暗中模索ではありますが、面白い題材でもあると思います。
調和総冪の情報も求めますが、まだまだ深掘れます。どんどん掘っていきましょう。

記事のレイアウトは勝手ながら みゆさん の記事を参考にさせていただきました。

$$ \textcolor{lightgray}{総冪とは？のところや予想のところも色を変えたかったのですが＃11508eがどこにあるのか分からず断念しました...} $$

$\mathbf{この続きができました！！！！！！！！！}$