調和総冪の極限は存在するか？

こんにちは～～

やあやあみなさん、こんにちは。$\mathbf{ぬ}\mathbf{る}\mathbf{の}\mathbf{ぬ}$です。
ぬるのぬと名乗る事にしました。
どうですか？この名前、とても言いにくいですよね。
でもメリットがあって、ほぼ口を開けずに言えるんですね！
こう、上下の唇を少し離して...$\mathcal{nurununu}$
ほらね...

なんて、そんなことは置いておいて、

今回は 前回の記事 の続きで、調和総冪の極限についての議論を進めていきます。
前回の記事を見ていないひとはそれをみてきてね！

では早速いきましょう…

と、その前に…感謝と今回の流れについて話しておきます。

情報提供ありがとうございます！

前回の記事についた SunPillarさん のコメントで$a_k=a$（定数関数）のときの無限冪乗、つまり
$$\underset{k=1}{\stackrel{\mathrm{\infty }}{H^3}}a=a^{a^{a^{{\cdot }^{{\cdot }^{\cdot }}}}}$$
のときの特殊なaの値の存在と無限冪乗のグラフの書き方、更に前回出てきた2つの定数がオンライン整数列大辞典に載っていることも教えて頂きました。

特に前者（無限冪乗）に関連するトピックには$\mathbf{僕}\mathbf{の}\mathbf{本}\mathbf{来}\mathbf{の}\mathbf{目}\mathbf{的}:\mathbf{総}\mathbf{冪}\mathbf{の}\mathbf{研}\mathbf{究}$に有益な情報がたくさんありそうだったので調べてきました。

すると、数列の総冪にも応用できそうな概念や手法がありかなり興味深かったので、
今回は既に明らかにされている $\mathbf{定}\mathbf{数}\mathbf{関}\mathbf{数}\mathbf{の}\mathbf{総}\mathbf{冪}\mathbf{の}\mathbf{極}\mathbf{限}\mathbf{=}\mathbf{無}\mathbf{限}\mathbf{冪}\mathbf{乗}$の性質や具体例から始め、本題である調和総冪の極限値を結論づけていきます。

無限冪乗

無限冪乗っていうのが何か、皆さんのような方々なら既に知っているひとも多いであろうあの等式を使ってかる〜く説明します。
それは…

$\uparrow$これです。

やや厳密性には欠けますが、直感的な説明をいきましょう。

っていうのがあります。

このように、$\mathbf{定}\mathbf{数}\mathbf{が}\mathbf{無}\mathbf{限}\mathbf{に}\mathbf{冪}\mathbf{ら}\mathbf{れ}\mathbf{ま}\mathbf{く}\mathbf{っ}\mathbf{て}\mathbf{い}\mathbf{る}$（存在しない日本語）ものを無限冪乗(むげんべきじょう)とよびます。

次にこの無限冪乗の収束条件にいきます。
非自明を受け止める準備はいいですか？

$1<x<e^{\frac{1}{e}}$の$\mathbf{定}\mathbf{ま}\mathbf{る}\mathbf{値}\mathbf{の}\mathbf{う}\mathbf{ち}\mathbf{1}\mathbf{つ}\mathbf{目}\mathbf{に}\mathbf{漸}\mathbf{近}$というのは、
例えば先ほどの$x=\sqrt{2}$の例だと
条件${\sqrt{2}}^I=I$を満たす実数は$I=2$だけでなく$I=4$もありますが、
実際に漸近していくのは１つ目の$I=2$だ、っていう感じです。

(ちなみに$e^{\frac{1}{e}}$に関してはみんな大好き アジマティクス でも解説があります。)

更に追い打ち:なんと、$\mathbf{無}\mathbf{限}\mathbf{冪}\mathbf{乗}\mathbf{が}\mathbf{収}\mathbf{束}\mathbf{す}\mathbf{る}\mathbf{場}\mathbf{合}\mathbf{の}\mathbf{収}\mathbf{束}\mathbf{値}$まで既に一般化されています。
しかも複素数範囲の$a\in \mathbb{C}$で！
それで、その公式がこれです。

（LambertのW関数というのは、わかりやすく言うと$y=z{e}^z$の逆関数です。
つまり$W(z{e}^z)=z$です。）

この公式を利用すれば、$i^{i^{i^{{\cdot }^{{\cdot }^{\cdot }}}}}$だって計算できます！（大体 $0.438283+0.3605924i$くらいの値になります）

Wolfram Alphaくんによる$i$の無限冪乗

調和総冪極限

さて、$a_k$が定数のときに利用できる武器を一通り観てきたところで本題である調和総冪極限について考えましょう。

$a_k$が定数のときの無限冪乗の結果の表をみた後に調和総冪極限を見てみると、大体予想が付きますかね？

結論からいうと、僕が前回調和総冪極限の定数と呼んだ
$$\underset{k=2}{\stackrel{\mathrm{\infty }}{H^3}}\frac{1}{k}={\frac{1}{2}}^{{\frac{1}{3}}^{{\frac{1}{4}}^{{\cdot }^{{\cdot }^{\cdot }}}}}={\mathcal{H}}_{e\mathrm{\infty }}$$
は、１つの値に収束しません。

偶数項、奇数項でそれぞれ別の値に収束します。

そしてその値は前回の記事で計算した通り、
偶数項:$0.6583655992663311881846549513080943690418...$ $OEIS$
奇数項:$0.6903471261149643194673284384641894244398...$ $OEIS$

になります。

これを説明していきましょう。

というわけです。

というわけで、前回の疑問のうち最も重要なものであった収束先とその値について、大体解明しました。

この場合だと項数が偶数のとき最後尾が$\frac{1}{奇数}$になってややこしいですね...
いい日本語が思いつきませんでした。

思索

$ある晴れの篠突く昼下がり、\mathbf{ぬ}\mathbf{る}\mathbf{の}\mathbf{ぬ}はこんなことに思索を巡らせていた。$

$「折角{\mathcal{H}}_{e\mathrm{\infty }-even}と{\mathcal{H}}_{e\mathrm{\infty }-odd}を定義したんだし、どうせなら使ってあげたいよな...」$

$そこで\mathbf{ぬ}\mathbf{る}\mathbf{の}\mathbf{ぬ}は1つ、ある思い付きをしたのだ。$

$「総和の\alpha 倍は結果を\alpha 倍、総乗の\alpha 倍は結果を{\alpha }^n倍する...」$

$「では総冪の\alpha 倍は結果{を}^n\alpha =\underset{\text{高さ}n}{\underbrace{a^{a^{{\cdot }^{{\cdot }^{{\cdot }^a}}}}}}倍するのでは...?」$

$「調和総冪極限の記事だし、調和総冪極限に絡めてみようか。」$

$この\mathbf{ぬ}\mathbf{る}\mathbf{の}\mathbf{ぬ}の種、つまりはこういうことになります。$

では実験へいきましょう。

お実験

$\alpha =\sqrt{2}$は条件を満たしますね。
ということは${\sqrt{2}}^{{\sqrt{2}}^{{\sqrt{2}}^{{\cdot }^{{\cdot }^{\cdot }}}}}=2$より
$$\underset{k=2}{\stackrel{\mathrm{\infty }}{H^3}}\frac{\sqrt{2}}{k}={\frac{\sqrt{2}}{2}}^{{\frac{\sqrt{2}}{3}}^{{\frac{\sqrt{2}}{4}}^{{\cdot }^{{\cdot }^{\cdot }}}}}$$
は$2{\mathcal{H}}_{e\mathrm{\infty }-even}\approx 1.316731198$と
$2{\mathcal{H}}_{e\mathrm{\infty }-odd}\approx 1.380694252$あたりに収束してほしいですね。

$\mathbf{い}\mathbf{や}\mathbf{な}\mathbf{ら}\mathbf{ん}\mathbf{の}\mathbf{か}\mathbf{～}\mathbf{～}\mathbf{～}\mathbf{～}\mathbf{～}\mathbf{～}\mathbf{～}\mathbf{～}\mathbf{～}\mathbf{～}\mathbf{～}\mathbf{い}$

おわり

というわけで、またいつか。