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大学数学基礎解説
文献あり

位数が2の体上の10次以下の既約多項式一覧

多項式,代数学,有限体
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$$$$

どうもこんにちは　ごててんです
Pythonで$\mathbb{F}_2$上の既約多項式で13次以下のものをすべて計算したので, 10次以下までのものをすべて載せます. $\mathbb{F}_{1024}$の手計算などにお役立てください.

それぞれ個数は

1次：2
2次：1
3次：2
4次：3
5次：6
6次：9
7次：18
8次：30
9次：56
10次：99

となっており, たしかに以下の式の総数は226個です
( 2 + 1 + 2 + 3 + 6 + 9 + 18 + 30 + 56 + 99 = 226 )

既約多項式を載せるだけでは流石にアレなので, 既約多項式の個数を導出する式を述べておきます.（証明略）

$\mathbb{F}_q[X]$$ (q=p^m , m \geq 1) $の最高次の係数が1で既約な$n$次多項式の総数は次で与えられる.

$$ \displaystyle \frac{1}{n} \sum_{d|n} \mu \left( \frac{n}{d} \right) q^d .$$

では、既約多項式をお楽しみください......

$ X \\$
$ X + 1 \\$
$ X^2 + X + 1 \\$
$ X^3 + X + 1 \\$
$ X^3 + X^2 + 1 \\$
$ X^4 + X + 1 \\$
$ X^4 + X^3 + 1 \\$
$ X^4 + X^3 + X^2 + X + 1 \\$
$ X^5 + X^2 + 1 \\$
$ X^5 + X^3 + 1 \\$
$ X^5 + X^3 + X^2 + X + 1 \\$
$ X^5 + X^4 + X^2 + X + 1 \\$
$ X^5 + X^4 + X^3 + X + 1 \\$
$ X^5 + X^4 + X^3 + X^2 + 1 \\$
$ X^6 + X + 1 \\$
$ X^6 + X^3 + 1 \\$
$ X^6 + X^4 + X^2 + X + 1 \\$
$ X^6 + X^4 + X^3 + X + 1 \\$
$ X^6 + X^5 + 1 \\$
$ X^6 + X^5 + X^2 + X + 1 \\$
$ X^6 + X^5 + X^3 + X^2 + 1 \\$
$ X^6 + X^5 + X^4 + X + 1 \\$
$ X^6 + X^5 + X^4 + X^2 + 1 \\$
$ X^7 + X + 1 \\$
$ X^7 + X^3 + 1 \\$
$ X^7 + X^3 + X^2 + X + 1 \\$
$ X^7 + X^4 + 1 \\$
$ X^7 + X^4 + X^3 + X^2 + 1 \\$
$ X^7 + X^5 + X^2 + X + 1 \\$
$ X^7 + X^5 + X^3 + X + 1 \\$
$ X^7 + X^5 + X^4 + X^3 + 1 \\$
$ X^7 + X^5 + X^4 + X^3 + X^2 + X + 1 \\$
$ X^7 + X^6 + 1 \\$
$ X^7 + X^6 + X^3 + X + 1 \\$
$ X^7 + X^6 + X^4 + X + 1 \\$
$ X^7 + X^6 + X^4 + X^2 + 1 \\$
$ X^7 + X^6 + X^5 + X^2 + 1 \\$
$ X^7 + X^6 + X^5 + X^3 + X^2 + X + 1 \\$
$ X^7 + X^6 + X^5 + X^4 + 1 \\$
$ X^7 + X^6 + X^5 + X^4 + X^2 + X + 1 \\$
$ X^7 + X^6 + X^5 + X^4 + X^3 + X^2 + 1 \\$
$ X^8 + X^4 + X^3 + X + 1 \\$
$ X^8 + X^4 + X^3 + X^2 + 1 \\$
$ X^8 + X^5 + X^3 + X + 1 \\$
$ X^8 + X^5 + X^3 + X^2 + 1 \\$
$ X^8 + X^5 + X^4 + X^3 + 1 \\$
$ X^8 + X^5 + X^4 + X^3 + X^2 + X + 1 \\$
$ X^8 + X^6 + X^3 + X^2 + 1 \\$
$ X^8 + X^6 + X^4 + X^3 + X^2 + X + 1 \\$
$ X^8 + X^6 + X^5 + X + 1 \\$
$ X^8 + X^6 + X^5 + X^2 + 1 \\$
$ X^8 + X^6 + X^5 + X^3 + 1 \\$
$ X^8 + X^6 + X^5 + X^4 + 1 \\$
$ X^8 + X^6 + X^5 + X^4 + X^2 + X + 1 \\$
$ X^8 + X^6 + X^5 + X^4 + X^3 + X + 1 \\$
$ X^8 + X^7 + X^2 + X + 1 \\$
$ X^8 + X^7 + X^3 + X + 1 \\$
$ X^8 + X^7 + X^3 + X^2 + 1 \\$
$ X^8 + X^7 + X^4 + X^3 + X^2 + X + 1 \\$
$ X^8 + X^7 + X^5 + X + 1 \\$
$ X^8 + X^7 + X^5 + X^3 + 1 \\$
$ X^8 + X^7 + X^5 + X^4 + 1 \\$
$ X^8 + X^7 + X^5 + X^4 + X^3 + X^2 + 1 \\$
$ X^8 + X^7 + X^6 + X + 1 \\$
$ X^8 + X^7 + X^6 + X^3 + X^2 + X + 1 \\$
$ X^8 + X^7 + X^6 + X^4 + X^2 + X + 1 \\$
$ X^8 + X^7 + X^6 + X^4 + X^3 + X^2 + 1 \\$
$ X^8 + X^7 + X^6 + X^5 + X^2 + X + 1 \\$
$ X^8 + X^7 + X^6 + X^5 + X^4 + X + 1 \\$
$ X^8 + X^7 + X^6 + X^5 + X^4 + X^2 + 1 \\$
$ X^8 + X^7 + X^6 + X^5 + X^4 + X^3 + 1 \\$
$ X^9 + X + 1 \\$
$ X^9 + X^4 + 1 \\$
$ X^9 + X^4 + X^2 + X + 1 \\$
$ X^9 + X^4 + X^3 + X + 1 \\$
$ X^9 + X^5 + 1 \\$
$ X^9 + X^5 + X^3 + X^2 + 1 \\$
$ X^9 + X^5 + X^4 + X + 1 \\$
$ X^9 + X^6 + X^3 + X + 1 \\$
$ X^9 + X^6 + X^4 + X^3 + 1 \\$
$ X^9 + X^6 + X^4 + X^3 + X^2 + X + 1 \\$
$ X^9 + X^6 + X^5 + X^2 + 1 \\$
$ X^9 + X^6 + X^5 + X^3 + 1 \\$
$ X^9 + X^6 + X^5 + X^3 + X^2 + X + 1 \\$
$ X^9 + X^6 + X^5 + X^4 + X^2 + X + 1 \\$
$ X^9 + X^6 + X^5 + X^4 + X^3 + X^2 + 1 \\$
$ X^9 + X^7 + X^2 + X + 1 \\$
$ X^9 + X^7 + X^4 + X^2 + 1 \\$
$ X^9 + X^7 + X^4 + X^3 + 1 \\$
$ X^9 + X^7 + X^5 + X + 1 \\$
$ X^9 + X^7 + X^5 + X^2 + 1 \\$
$ X^9 + X^7 + X^5 + X^3 + X^2 + X + 1 \\$
$ X^9 + X^7 + X^5 + X^4 + X^2 + X + 1 \\$
$ X^9 + X^7 + X^5 + X^4 + X^3 + X^2 + 1 \\$
$ X^9 + X^7 + X^6 + X^3 + X^2 + X + 1 \\$
$ X^9 + X^7 + X^6 + X^4 + 1 \\$
$ X^9 + X^7 + X^6 + X^4 + X^3 + X + 1 \\$
$ X^9 + X^7 + X^6 + X^5 + X^4 + X^2 + 1 \\$
$ X^9 + X^7 + X^6 + X^5 + X^4 + X^3 + 1 \\$
$ X^9 + X^8 + 1 \\$
$ X^9 + X^8 + X^4 + X + 1 \\$
$ X^9 + X^8 + X^4 + X^2 + 1 \\$
$ X^9 + X^8 + X^4 + X^3 + X^2 + X + 1 \\$
$ X^9 + X^8 + X^5 + X + 1 \\$
$ X^9 + X^8 + X^5 + X^4 + 1 \\$
$ X^9 + X^8 + X^5 + X^4 + X^3 + X + 1 \\$
$ X^9 + X^8 + X^6 + X^3 + 1 \\$
$ X^9 + X^8 + X^6 + X^3 + X^2 + X + 1 \\$
$ X^9 + X^8 + X^6 + X^4 + X^3 + X + 1 \\$
$ X^9 + X^8 + X^6 + X^5 + 1 \\$
$ X^9 + X^8 + X^6 + X^5 + X^3 + X + 1 \\$
$ X^9 + X^8 + X^6 + X^5 + X^3 + X^2 + 1 \\$
$ X^9 + X^8 + X^6 + X^5 + X^4 + X + 1 \\$
$ X^9 + X^8 + X^6 + X^5 + X^4 + X^3 + X^2 + X + 1 \\$
$ X^9 + X^8 + X^7 + X^2 + 1 \\$
$ X^9 + X^8 + X^7 + X^3 + X^2 + X + 1 \\$
$ X^9 + X^8 + X^7 + X^5 + 1 \\$
$ X^9 + X^8 + X^7 + X^5 + X^4 + X^2 + 1 \\$
$ X^9 + X^8 + X^7 + X^5 + X^4 + X^3 + 1 \\$
$ X^9 + X^8 + X^7 + X^6 + X^2 + X + 1 \\$
$ X^9 + X^8 + X^7 + X^6 + X^3 + X + 1 \\$
$ X^9 + X^8 + X^7 + X^6 + X^3 + X^2 + 1 \\$
$ X^9 + X^8 + X^7 + X^6 + X^4 + X^2 + 1 \\$
$ X^9 + X^8 + X^7 + X^6 + X^4 + X^3 + 1 \\$
$ X^9 + X^8 + X^7 + X^6 + X^5 + X + 1 \\$
$ X^9 + X^8 + X^7 + X^6 + X^5 + X^3 + 1 \\$
$ X^9 + X^8 + X^7 + X^6 + X^5 + X^4 + X^3 + X + 1 \\$
$ X^{10} + X^3 + 1 \\$
$ X^{10} + X^3 + X^2 + X + 1 \\$
$ X^{10} + X^4 + X^3 + X + 1 \\$
$ X^{10} + X^4 + X^3 + X^2 + 1 \\$
$ X^{10} + X^5 + X^2 + X + 1 \\$
$ X^{10} + X^5 + X^3 + X^2 + 1 \\$
$ X^{10} + X^5 + X^4 + X^2 + 1 \\$
$ X^{10} + X^6 + X^2 + X + 1 \\$
$ X^{10} + X^6 + X^4 + X + 1 \\$
$ X^{10} + X^6 + X^5 + X + 1 \\$
$ X^{10} + X^6 + X^5 + X^2 + 1 \\$
$ X^{10} + X^6 + X^5 + X^3 + X^2 + X + 1 \\$
$ X^{10} + X^7 + 1 \\$
$ X^{10} + X^7 + X^3 + X + 1 \\$
$ X^{10} + X^7 + X^4 + X^3 + 1 \\$
$ X^{10} + X^7 + X^5 + X^3 + 1 \\$
$ X^{10} + X^7 + X^5 + X^3 + X^2 + X + 1 \\$
$ X^{10} + X^7 + X^6 + X^2 + 1 \\$
$ X^{10} + X^7 + X^6 + X^3 + 1 \\$
$ X^{10} + X^7 + X^6 + X^4 + X^2 + X + 1 \\$
$ X^{10} + X^7 + X^6 + X^5 + X^2 + X + 1 \\$
$ X^{10} + X^7 + X^6 + X^5 + X^3 + X^2 + 1 \\$
$ X^{10} + X^7 + X^6 + X^5 + X^4 + X + 1 \\$
$ X^{10} + X^7 + X^6 + X^5 + X^4 + X^3 + X^2 + X + 1 \\$
$ X^{10} + X^8 + X^3 + X + 1 \\$
$ X^{10} + X^8 + X^3 + X^2 + 1 \\$
$ X^{10} + X^8 + X^4 + X^3 + 1 \\$
$ X^{10} + X^8 + X^4 + X^3 + X^2 + X + 1 \\$
$ X^{10} + X^8 + X^5 + X + 1 \\$
$ X^{10} + X^8 + X^5 + X^4 + 1 \\$
$ X^{10} + X^8 + X^5 + X^4 + X^3 + X^2 + 1 \\$
$ X^{10} + X^8 + X^6 + X + 1 \\$
$ X^{10} + X^8 + X^6 + X^4 + X^2 + X + 1 \\$
$ X^{10} + X^8 + X^6 + X^5 + 1 \\$
$ X^{10} + X^8 + X^6 + X^5 + X^2 + X + 1 \\$
$ X^{10} + X^8 + X^6 + X^5 + X^3 + X + 1 \\$
$ X^{10} + X^8 + X^7 + X^2 + 1 \\$
$ X^{10} + X^8 + X^7 + X^3 + X^2 + X + 1 \\$
$ X^{10} + X^8 + X^7 + X^4 + X^2 + X + 1 \\$
$ X^{10} + X^8 + X^7 + X^4 + X^3 + X + 1 \\$
$ X^{10} + X^8 + X^7 + X^5 + 1 \\$
$ X^{10} + X^8 + X^7 + X^5 + X^3 + X + 1 \\$
$ X^{10} + X^8 + X^7 + X^5 + X^4 + X^3 + 1 \\$
$ X^{10} + X^8 + X^7 + X^6 + 1 \\$
$ X^{10} + X^8 + X^7 + X^6 + X^2 + X + 1 \\$
$ X^{10} + X^8 + X^7 + X^6 + X^5 + X^2 + 1 \\$
$ X^{10} + X^8 + X^7 + X^6 + X^5 + X^4 + X^2 + X + 1 \\$
$ X^{10} + X^8 + X^7 + X^6 + X^5 + X^4 + X^3 + X + 1 \\$
$ X^{10} + X^9 + X^4 + X + 1 \\$
$ X^{10} + X^9 + X^4 + X^2 + 1 \\$
$ X^{10} + X^9 + X^5 + X + 1 \\$
$ X^{10} + X^9 + X^5 + X^2 + 1 \\$
$ X^{10} + X^9 + X^5 + X^4 + 1 \\$
$ X^{10} + X^9 + X^5 + X^4 + X^2 + X + 1 \\$
$ X^{10} + X^9 + X^6 + X + 1 \\$
$ X^{10} + X^9 + X^6 + X^3 + X^2 + X + 1 \\$
$ X^{10} + X^9 + X^6 + X^4 + 1 \\$
$ X^{10} + X^9 + X^6 + X^4 + X^3 + X + 1 \\$
$ X^{10} + X^9 + X^6 + X^5 + X^4 + X^3 + 1 \\$
$ X^{10} + X^9 + X^6 + X^5 + X^4 + X^3 + X^2 + X + 1 \\$
$ X^{10} + X^9 + X^7 + X^2 + 1 \\$
$ X^{10} + X^9 + X^7 + X^3 + 1 \\$
$ X^{10} + X^9 + X^7 + X^5 + X^2 + X + 1 \\$
$ X^{10} + X^9 + X^7 + X^5 + X^3 + X^2 + 1 \\$
$ X^{10} + X^9 + X^7 + X^5 + X^4 + X^2 + 1 \\$
$ X^{10} + X^9 + X^7 + X^5 + X^4 + X^3 + X^2 + X + 1 \\$
$ X^{10} + X^9 + X^7 + X^6 + 1 \\$
$ X^{10} + X^9 + X^7 + X^6 + X^3 + X^2 + 1 \\$
$ X^{10} + X^9 + X^7 + X^6 + X^4 + X + 1 \\$
$ X^{10} + X^9 + X^7 + X^6 + X^4 + X^3 + X^2 + X + 1 \\$
$ X^{10} + X^9 + X^7 + X^6 + X^5 + X^4 + X^2 + X + 1 \\$
$ X^{10} + X^9 + X^7 + X^6 + X^5 + X^4 + X^3 + X^2 + 1 \\$
$ X^{10} + X^9 + X^8 + X^3 + X^2 + X + 1 \\$
$ X^{10} + X^9 + X^8 + X^4 + 1 \\$
$ X^{10} + X^9 + X^8 + X^4 + X^2 + X + 1 \\$
$ X^{10} + X^9 + X^8 + X^4 + X^3 + X^2 + 1 \\$
$ X^{10} + X^9 + X^8 + X^5 + 1 \\$
$ X^{10} + X^9 + X^8 + X^5 + X^3 + X + 1 \\$
$ X^{10} + X^9 + X^8 + X^5 + X^4 + X^2 + 1 \\$
$ X^{10} + X^9 + X^8 + X^5 + X^4 + X^3 + 1 \\$
$ X^{10} + X^9 + X^8 + X^6 + X^2 + X + 1 \\$
$ X^{10} + X^9 + X^8 + X^6 + X^3 + X^2 + 1 \\$
$ X^{10} + X^9 + X^8 + X^6 + X^4 + X^2 + 1 \\$
$ X^{10} + X^9 + X^8 + X^6 + X^4 + X^3 + 1 \\$
$ X^{10} + X^9 + X^8 + X^6 + X^5 + X + 1 \\$
$ X^{10} + X^9 + X^8 + X^6 + X^5 + X^4 + X^3 + X + 1 \\$
$ X^{10} + X^9 + X^8 + X^6 + X^5 + X^4 + X^3 + X^2 + 1 \\$
$ X^{10} + X^9 + X^8 + X^7 + 1 \\$
$ X^{10} + X^9 + X^8 + X^7 + X^2 + X + 1 \\$
$ X^{10} + X^9 + X^8 + X^7 + X^3 + X^2 + 1 \\$
$ X^{10} + X^9 + X^8 + X^7 + X^4 + X + 1 \\$
$ X^{10} + X^9 + X^8 + X^7 + X^5 + X^3 + 1 \\$
$ X^{10} + X^9 + X^8 + X^7 + X^5 + X^4 + 1 \\$
$ X^{10} + X^9 + X^8 + X^7 + X^6 + X^2 + 1 \\$
$ X^{10} + X^9 + X^8 + X^7 + X^6 + X^4 + X^3 + X + 1 \\$
$ X^{10} + X^9 + X^8 + X^7 + X^6 + X^5 + X^3 + X + 1 \\$
$ X^{10} + X^9 + X^8 + X^7 + X^6 + X^5 + X^4 + X + 1 \\$
$ X^{10} + X^9 + X^8 + X^7 + X^6 + X^5 + X^4 + X^3 + 1 \\$
$ X^{10} + X^9 + X^8 + X^7 + X^6 + X^5 + X^4 + X^3 + X^2 + X + 1 \\$
$ $

ありがとうございました！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！

追記：
上の式をすべて掛けると（たぶん）以下の式になります（次数が合っているので大丈夫だと思いますが）

$\frac{( X^{1024} - X )( X^{512} - X )( X^{256} - X )( X^{128} - X )( X^{64} - X ) }{ ( X^8 - X )( X^4 - X )( X^4 - X )( X^2 - X ) }$

実質的にこの記事は この式の因数分解をしたことになります（）

参考文献

[1]
諏訪紀幸, 現代基礎数学 6 有限体と代数曲線, p.86
投稿日：2022年4月27日
更新日：10月26日
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