関連性論理に触れてみよう: First Degree Entailment

First Dgree Entailment(以下FDE)という論理体系があります。これは非古典論理(non-classical logic)の一種であり、古典論理で妥当な推論の一部が成り立たない体系になっています。とくに、前提と結論の間に「関連性」がない推論を批判するという点で、関連性論理(relevant logic)の1つとされています。日本語で検索してもあんまり情報がなかったので、ちょっとした紹介記事みたいな感じで書いてみます。

本稿では以下の3点について説明しようと思います。

1. 導入として、FDEなどの関連性論理が古典論理の何を問題としているかについて説明し、形式的な定義の動機付けをします。
2. FDEにはモデルの与え方が複数あります。ここでは2通りの定義を紹介し、等価性を示します。
3. 最後に、FDEではうまく説明できない推論をいくつか紹介します。

2は割とテクニカルな話になるので、FDE(ないし関連性論理)の概要に興味がある方は1だけ読むと良いと思います。

関連性論理としてのFDE

関連性の誤謬

古典論理では、以下のような推論が妥当になる。

• 排中律: $B\models A\vee \mathrm{\neg }A$
• 爆発律: $A\wedge \mathrm{\neg }A\models B$

しかし、このような推論は本当に「前提から結論が帰結する」という関係になっているのだろうか？以下の自然言語による例を見てみよう。

それぞれの文を素朴に命題変項に変換すれば、これらの推論は古典論理上では妥当ということになる。しかし、直観的にはこれらの推論は正しいとは言えそうにない。少なくとも、日常的な会話でこのように「ならば」を使われたら耳を疑うだろう。

この違和感の根底には、前提と結論の間に何も関連がないことがあると考えられる。ふつう「推論」といえば、前提の内容をもとに思考をめぐらして結論を引き出すような作業のことを指す。ということは、前提とは何も関係のない結論が出てくるような推論は「正しい」ないし「妥当」とは言い難いのではないだろうか？このような考えから、上に挙げた排中律・爆発律のような推論は関連性の誤謬(fallacy of relevance)を犯している、と言われる。

関連性の有無による違いを見るために、共通の前提を持つ例を挙げてみる([Restall 1999]の例を少し改変)。

どちらも前提は成り立っていないが(このような作図はできない)、推論の正しさという点では違いがある。前者は妥当と思われる。というのも、もしそのような作図ができたとしたら、幾何学を揺るがすような発見になるからである。一方、後者はよく分からない推論になってしまっており、例1と同様妥当には見えない(少なくとも前者ほど納得のいく説明をするのは難しい)。このような違いが生じるのは、前者では前提と結論に「関連」があり、後者はそうではないからだ、という風に説明できるだろう。

以上を踏まえて、関連性の誤謬が避けられるべきものだということを受け入れるなら、妥当な推論が満たすべき1つの条件は「前提と結論の間に何か共通の内容がある」ということになる。このスローガンを形式的な論理体系に適用できるように定式化するのは難しいが、多くの場合以下のような規準が用いられる。

原因と対策

冒頭で述べた通り、関連性の規準を満たす論理として今回はFDEを扱う。形式的な定義を述べる前に、まずはなぜ古典論理では関連性の誤謬が起こってしまうのか、そしてFDEはそれをどう直そうとしているのか、大まかな方針について説明する。

ただし、以下の説明は私が「こう解釈して書くと分かりやすそう」と思って書いているだけで、歴史的経緯などを踏まえたものではないことに注意されたい。

原因

当たり前に思われるかもしれないが、なぜ古典論理では排中律・爆発律が妥当になるのかを丁寧に確認してみよう。

以上の妥当性の導出において中心となる$[[-]]$の性質は、以下のようなものである。

1. 任意の論理式$A$について、$[[A]]=1$と$[[A]]=0$のうちいずれか一方だけが成り立つ。
2. 任意の論理式$A$について、$[[\mathrm{\neg }A]]=1⟺[[A]]=0$

前者は$0,1$という真理値の振る舞いに注目している一方で、後者は$\mathrm{\neg }$という論理結合子の挙動を見ている、と言えるだろう。$[[A]]=1$とは「$A$が真である」ということなので、これを以下のように言い換えておこう。

以下では、それぞれの仮定に注目することで、関連性の誤謬を回避する「対策」を考える。

対策1: 真理値を増やす

「真理値に関する仮定」を2つに分解すると、以下のようになる。

• 論理式が真にも偽にもならない、ということはない
• 論理式が真かつ偽になる、ということはない

このうち前者を退ける最も簡単な方法は、論理式が「真でも偽でもない」状態になることを認めることである。同様に、後者を棄却したければ「真でも偽でもある」という状態を認めればよい。このように考えると、以下2×2=4通りの候補がありうることになる。

• $\mathbf{t}$: 真であり偽ではない(true only)
• $\mathbf{f}$: 偽であり真ではない(false only)
• $\mathbf{b}$: 真かつ偽である(both true and false)
• $\mathbf{n}$: 真でも偽でもない(neither true nor false)

これら4つを真理値にとるように付値の定義を変えよう、というのが第一の対策である^[2]。なお、$\mathbf{b}$は真理値の過剰(glut)、$\mathbf{n}$は真理値の隔たり(gap)と言われる。

対策2: 否定の内包化

「否定に関する仮定」について考えるために、排中律を非妥当とする直観主義論理(intuitionistic logic)における否定の定義を取り上げてみよう。直観主義論理のクリプキ・モデルによる意味論では、状態(ないし可能世界)の間の遷移関係$\le$を考えて、「モデル$\mathcal{M}$の状態$x$で$\mathrm{\neg }A$が真である」を以下のように定める(詳細は省略)。
$$\mathcal{M},x\models \mathrm{\neg }A\stackrel{\mathsf{def}}{⟺}任意のx\le yとなるy\in Wに対して、\mathcal{M},y⊭A$$
ここで大事なことは、「ある状態における$\mathrm{\neg }A$の真偽は、その状態だけから決まるとは限らない」ということである。すなわち、
$$\mathcal{M},x\models \mathrm{\neg }A\nLeftrightarrow \mathcal{M},x⊭A$$
要は、命題の否定が真であることが、それが偽であることと同値ではなくなっているのである。この点から、直観主義論理の$\mathrm{\neg }$は否定に関する仮定を破っていると見ることができる。

では、何がこのような相違を生み出しているのだろうか？古典論理では、真理値は1つの関数$[[-]]$によってのみ定まったが、直観主義論理では真理値を状態ごとに考え、特定の演算子の真理値が他の状態を参照して決まることを許容する。このような演算子を内包的である(intensional)ということにする(一方で、普通の真理値上の関数として定まるような演算子を外延的である(extensional)という)。否定に関する仮定を棄却するキーは、$\mathrm{\neg }$を内包的な演算子として定義することにあると考えられる。

では、このアイデアをもっと単純化するとどうだろうか。「別の状態」をとりあえず参照すればよいのなら、各状態$x$に対応する$x^{\ast }$を予め用意しておいて、次のように否定を定義できるような気がしてくる。
$$\mathcal{M},x\models \mathrm{\neg }A\stackrel{\mathsf{def}}{⟺}\mathcal{M},x^{\ast }⊭A$$

実は、このような単純な定義により関連性の誤謬を回避できるモデルを作ることができる。これが第二の対策の基本的なアイデアである。なお、この$\ast :W\to W$には(Routleyの)スター関数(star function)という名前が付いている。

FDEの2つのモデル

前節の導入をもとに、以下ではFDEを定める2つのモデルを定義する。FDEの言語は命題変項の加算無限集合$\mathrm{PV}$と$\wedge ,\vee ,\mathrm{\neg }$からなるものとし、これらにより帰納的に構成される論理式の集合を$\mathrm{Fml}$とする。なお、含意は$A\to B\stackrel{\mathsf{def}}{=}\mathrm{\neg }A\vee B$と定める。

4値モデル

先述のように真理値の過剰・隔たりを考慮して、4つの真理値を取るような付値によって妥当性を定義していく。まずは、真理値の間の演算を定義する。

モデルは付値のこととし、妥当性は「真であること」($\mathbf{t}$or$\mathbf{b}$)を基準に定める。

このようなモデルのもとでは、確かに排中律・爆発律は非妥当になる。

妥当な推論もいくつか紹介する(証明は割愛)。

最後に、これが関連性論理になっていることを確認しよう。

可能世界によるモデル

否定を内包的な演算子として定義するために、可能世界(状態)ごとに真理値が定まるようなモデルを考える。

後で示すことだが、このように定まる妥当性${\models }_{\ast }$は${\models }_{\mathsf{4}}$と等価なので、先ほど4値モデルについて示した性質はこの可能世界によるモデルでも成り立つ。

とはいえ、定義の特徴をつかむために、非妥当な推論の例だけ見ておこう。

2つのモデルの等価性

以上で定まる2つの妥当性${\models }_{\mathsf{4}},{\models }_{\ast }$は、かなり異なる形のモデルによって定義されているが、実際は等価である。非常に粗く言えば、特定の$A\in \mathrm{Fml}$と$x\in W$に対して

• $\mathcal{M},x\models A$であることは$A$が真($\mathbf{t},\mathbf{b}$)であることと同じ
• $\mathcal{M},x^{\ast }⊭A$であることは$A$が偽($\mathbf{f},\mathbf{b}$)であることと同じ

という対応関係がある。これをきちんと証明しよう。

2つのモデルの相違点

等価であるにもかかわらず、なぜ複数モデルの定義があるのか？と疑問に思われる方もいるかもしれない。この背景には歴史的な経緯がある。当初、これらのモデルはそれぞれ別の派閥によって研究されていた。4値モデルは北米で発展した一方、可能世界によるモデルはオーストラリアで盛んに研究された(らしい)。このため、関連性論理に対するアプローチとして、前者はAmerican plan・後者はAustralian planといわれる。

このような経緯で、2つのモデルには相反する長所・短所がある。4値モデルでは複合式に対する付値を簡単かつ直観的に与えられるが、可能世界によるモデルでは付値を定義する際に「スター関数」というよく分らないモノに訴えることになる。一方、後者のモデル論では、可能世界がなす構造に課す制約を調整することで、様相論理における対応理論と同様に、妥当になる論理式を細かく調整することができる。この点では4値モデルは単純すぎ、やや見劣りする。さらに、4値モデル上では含意$\to$をうまく定義することが難しいという問題もある。

という感じで一長一短であり、これらを併せて「4値可能世界モデル」を提案するような研究すらあるようだが、これ以上は本稿の射程を超えるので、この辺にしておく。

FDEの限界

関連性の規準を満たす論理ができたからヨシ！、としたいところだが、FDEにも問題は残っている。FDEは否定$\mathrm{\neg }$の絡む問題についてはうまく対応できるかもしれないが、その他の結合子の扱いに弱点がある。

含意にまつわる問題

まず、含意$\to$に問題がある。FDEでは「ならば」が$A\to B=\mathrm{\neg }A\vee B$と定義されるが、このような含意だと、望ましくない推論が妥当になったり、成り立ってほしい推論が妥当にならなかったりする。

実質含意のパラドックス

まず、FDEでは以下の推論が妥当になる (${\models }_{\mathsf{4}},{\models }_{\ast }$は同じことなので、以下では統一して${\models }_{\mathsf{FDE}}$と書く)。

どれも関連性の誤謬を犯しているわけではないが、冒頭の例と同様、自然言語にすれば「ならば」の使い方としておかしいことがわかる。これらは、古典論理流の$\mathrm{\neg }A\vee B$で定義された含意に伴う問題ということで、実質含意のパラドックス(paradox of material implication)と言われる。

これはある意味で、「偽からはなんでも結論できる」「どんな前提からでも真を結論できる」という爆発律・排中律と同様の問題であるとも捉えられる。これまでは${\models }_{\mathsf{4}},{\models }_{\ast }$というメタレベルの記号について議論していたが、話が$\to$という対象レベルに移ったわけである。

modus ponensの不成立

一方で、FDEでは以下のように、modus ponens($\to$の除去則)が成り立たない。modus ponensは非常に基本的な推論であり、流石にこれは成り立ってほしいだろう。

というわけで、$A\to B$を単に略記とするのではなく、独立に意味の与え方を考えることで、含意固有の事情を考慮する必要がある。

典型的な関連性論理では、FDEの否定と同様、含意を「内包化」する(別の可能世界・状態を参照して真理値が定まる演算子とする)ことになるが、詳細な定義を説明すると長くなるので割愛する。

選言にまつわる問題

含意を実質含意として定義することをやめたとしても、もとの$\mathrm{\neg }A\vee B$の方ではmodus ponensに相当する推論は非妥当である。すなわち、

実際、FDEの立場からすれば、$A$が成りたったとしても$\mathrm{\neg }A$の成立は排除されない(両方が真になりうる)ので、$B$とは結論できない。2つ目も同様である。

しかし、これらの推論形式は選言三段論法(disjunctive syllogism)とよばれ、現代的な数理論理学ができる前から妥当とされてきた由緒正しい推論である。そして実際、私たちは日常的にこのような推論をしている。例えば、Aさんは夕方には職場にいるか家にいるかのどちらかであるとして、Aさんが家にいないことを確認したら、「ああじゃあ今は職場かな」と推論するのは至極もっともなことだろう。

ということで、選言三段論法を捨てるのは惜しい。関連性論理を擁護する立場から可能な1つの応答は、真理値上の関数で定まる$\vee$とは別に、選言三段論法が成り立つ「または」を考えればよい、ということである。例えば$\mathbf{R}$という関連性論理の体系では、含意$\to$を使って「$A$でないならば$B$」として定義される「$A$または$B$」がある。

$$A\bullet B\stackrel{\mathsf{def}}{=}\mathrm{\neg }A\to B$$

このような「または」はいったい何者なのだろうか？まず、$\to$は実質含意のパラドックスを回避できるように定義されるため、$A$(または$B$)が成りたったとしても$A\vee B$が真になるとは限らない。一方で、$\mathrm{\neg }A$と$\mathrm{\neg }B$が両方成り立つと$\mathrm{\neg }(A\bullet B)$となる。これは単なる真理値上の関数として定義される$\vee$の振る舞いに対照的である($A$から$A\vee B$が帰結するが、$\mathrm{\neg }A$と$\mathrm{\neg }B$が両方成り立っても$\mathrm{\neg }(A\vee B)$は必ずしも帰結しない)^[4]。

このような$\bullet$を適切に解釈するためには、「$A$と$B$がともに否定される可能性はない」という様相(modality)を含んだ読み方をするとよい。「可能性」の話をしているわけだから、$A$と$B$の一方が現実に成り立っていたとしても、このような「または」を主張することはできない。一方で、現に$\mathrm{\neg }A$と$\mathrm{\neg }B$が成り立つことが分かったら、「可能性はない」とは言い切れない(反例があることになる)ので、$\mathrm{\neg }(A\bullet B)$となるだろう。このように「可能性」や「必然性」を解釈に含むという点から、$\bullet$は内包的選言(intensional disjunction)と呼ばれる(対して、$\vee$は外延的選言(extensional disjunction)といわれる)^[5]。テクニカルな定義としても、$\mathbf{R}$では$\to$が内包的な演算子とされるので、$\bullet$の真理値は別の状態・世界を参照して定まることになる。

とはいえ、自然言語における「または」を外延的に読むか内包的に読むかは難しい問題であり、そもそもこのような区別など存在しないと批判する論者もいる。また、これら2つの違いは論理学という言葉通りの意味を扱う分野ではなく、文脈や状況との関係により決まる語用論(pragmatics)的なレベルで議論されるべきだとする人もいる。さらに、排他的選言(exclusive disjunction)という別の「または」もあることが知られており、内包的選言を導入しただけで全て解決、というわけではなさそうである。

とはいえ、モデルを細かく設定することで、現実の推論に関する現象をこれまでよりは「うまく」説明できるようになりそうだ、とは言えるだろう。人間の行う推論活動の一見して「曖昧」で「ふわふわ」した側面を、このように形式的に捉えられるのが関連性論理の魅力の一つと思われるのだが、いかがだろうか。

長くなってしまったので、まとめに入ります。古典論理に対する批判として関連性の誤謬に注目したものがあり、FDEはこの問題を解決しようと試みる論理体系です。そして、FDEには4値モデルと可能世界によるモデルという、等価な2種類のモデル論があることを紹介しました。そして最後に、FDEでは含意や選言に関する問題が指摘されうることを観察し、「内包化」した演算子を考えることで対応できる可能性があることが分かりました。

そして先述の通り、FDEにはなかった内包的な含意・選言を扱う体系として関連性論理$\mathbf{R}$があります。これに対するモデル論としては、RoutleyとMeyerによるものが有名で、FDEの可能世界によるモデルにさらなる構造を加えたものになっています。詳細を知りたい方は、大西『論理学』の第11章以降や、Priestの教科書の10章を参照してください。