Eisenstein級数の微分(Ramanujanの恒等式)

Eisenstein級数の微分とEisenstein級数の間の恒等式があるみたいなんですが、その証明の手法がとても凄かった(主観)ので、書いてみます。この恒等式は、僕が知る範囲だと、約数の個数に関する定理の導出や双曲線関数を含む無限級数の計算などに使えます。

これらは正規化されたEisenstein級数$E_2(\tau),E_4(\tau),E_6(\tau)$に$\tau = ix$を代入したものになっています。
このとき以下が成り立ちます。

一般のEisenstein級数は$L,M,N$の多項式で書けますから、それらの高階微分を具体的にL,M,Nで書けることになります！

証明

まずBernoulli数の定義です。

さらにEisenstein級数の類似物$\Phi_{r,s}(q),S_r(q)$を定義します。

正整数nに対して以下が成り立ちます。
$$ \begin {aligned} \cot \frac {\theta }2\sin n\theta &=1+2\sum _{k=1}^{n-1}\cos k\theta +\cos n\theta \end {aligned} $$
証明は省きます。また
$$ \begin {aligned} \sin n\theta \sin m\theta &=\frac {1}2\left (\cos (n-m)\theta -\cos (n+m)\theta \right ) \end {aligned} $$
ですから、
$$ \begin {aligned} \left (\frac {1}4\cot\frac {\theta }2+\sum _{n=1}^\infty \frac {q^{n}\sin n\theta }{1-q^{n}} \right )^2-\left (\frac {1}4\cot \frac {\theta }2\right )^2&=\sum _{n=0}^\infty C_n\cos n\theta \end {aligned} $$
というFourier級数展開ができます。具体的に係数を計算すると、
$C_0$は
$$ \begin {aligned} C_0&=\frac {2}4\sum _{n=1}^\infty \frac {q^{n}}{1-q^{n}}+\frac {1}2\sum _{n=1}^\infty \left (\frac {q^{n}}{1-q^{n}}\right )^2\\ &=\frac {1}2\sum _{n=1}^\infty \frac {q^{n}}{(1-q^{n})^2}\\ &=\frac {1}2\sum _{n,m=1}^\infty mq^{nm}\\ &=\frac {1}2\sum _{m=1}^\infty \frac {mq^{m}}{1-q^{m}} \end {aligned} $$
$C_n (n>0)$は
$$ \begin {aligned} C_n&=\frac {2}4\frac {q^{n}}{1-q^{n}}+2\sum _{k=n+1}^\infty \frac {2}4\frac {q^k}{1-q^k}+2\sum _{k=1}^{\infty }\frac {1}2\frac {q^k}{1-q^k}\frac {q^{k+n}}{1-q^{k+n}}-\sum _{k=1}^{n-1}\frac {1}2\frac {q^{k}}{1-q^k}\frac {q^{n-k}}{1-q^{n-k}}\\ &=\frac {1}2\frac {q^{n}}{1-q^{n}}+\sum _{k=1}^{\infty }\frac {1}{1-q^{k}}\frac {q^{k+n}}{1-q^{k+n}}-\frac {1}2\sum _{k=1}^{n-1}\frac {q^{k}}{1-q^{k}}\frac {q^{n-k}}{1-q^{n-k}}\\ C_n\frac {1-q^n}{q^{n}}&=\frac {1}2+\sum _{k=1}^{\infty }\left (\frac {q^k}{1-q^k}-\frac {q^{k+n}}{1-q^{k+n}}\right )-\frac {1}2\sum _{k=1}^{n-1}\left (1+\frac {q^k}{1-q^k}+\frac {q^{n-k}}{1-q^{n-k}}\right )\\ &=\frac {1}2+\sum _{k=1}^{n}\frac {q^{k}}{1-q^{k}}-\frac {n-1}2-\sum _{k=1}^{n-1}\frac {q^{k}}{1-q^{k}}\\ &=\frac {q^{n}}{1-q^{n}}+1-\frac {n}2\\ &=\frac {1}{1-q^{n}}-\frac {n}2\\ C_n&=\frac {q^{n}}{(1-q^{n})^{2}}-\frac {nq^{n}}{2(1-q^{n})} \end {aligned} $$
となります。従って
$$ \begin {aligned} \left (\frac {1}4\cot \frac {\theta }2+\sum _{n=1}^\infty \frac {q^{n}\sin n\theta }{1-q^{n}}\right )^2&=\frac {1}{16}\cot^2\frac {\theta }2+\sum _{n=1}^\infty \frac {q^{n}\cos n\theta }{(1-q^n)^2}+\frac {1}2\sum _{n=1}^\infty \frac {nq^{n}}{1-q^{n}}(1-\cos n\theta ) \end {aligned} $$
を得ます。
ここで三角関数を級数展開します。
$$ \begin {aligned} \cos \theta &=\sum _{n=0}^\infty \frac {(-1)^n}{(2n)!}\theta ^{2n}\\ \sin \theta &=\sum _{n=0}^\infty \frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}\theta ^{2n+1}\\ \frac {1}2\cot \frac {\theta }2&=\sum _{n=0}^\infty \frac {(-1)^{n}B_{2n}}{(2n)!}\theta ^{2n-1}\\ \frac {1}4\cot^2\frac {\theta }2&=-\frac {1}4-\sum _{n=0}^\infty \frac {(-1)^{n}B_{2n}(2n-1)}{(2n)!}\theta ^{2n-2} \end {aligned} $$
より
$$ \begin {aligned} \frac {1}4\cot \frac {\theta }2+\sum _{n=1}^\infty \frac {q^{n}\sin n\theta }{1-q^{n}}&=\frac {1}2\sum _{k=0}^\infty \frac {(-1)^kB_{2k}}{(2k)!}\theta ^{2k-1}+\sum _{n=1}^\infty \sum _{k=0}^\infty \frac {(-1)^k\theta ^{2k+1}}{(2k+1)!}\frac {n^{2k+1}q^{n}}{1-q^{n}}\\ &=\frac {1}{2\theta }+\sum _{k=0}^{\infty }\frac {(-1)^{k}\theta ^{2k+1}}{(2k+1)!}\left (-\frac {B_{2k+2}}{4k+4}+\sum _{n=1}^\infty \frac {n^{2k+1}q^n}{1-q^{n}}\right )\\ &=\frac {1}{2\theta }+\sum _{k=0}^\infty \frac {(-1)^{k}S_{2k+1}}{(2k+1)!}\theta ^{2k+1} \end {aligned} $$
$$ \begin {aligned} \frac {1}{16}\cot^2\frac {\theta }2+\sum _{n=1}^\infty \frac {q^{n}\cos n\theta }{(1-q^{n})^2}+\frac {1}2\sum _{n=1}^\infty \frac {nq^{n}}{1-q^{n}}(1-\cos n\theta )&= -\frac {1}{16}-\frac {1}4\sum _{k=0}^{\infty }\frac {(-1)^{k}(2k-1)B_{2k}}{(2k)!}\theta ^{2k-2}+ \sum _{n=1}^\infty \sum _{k=0}^\infty \frac {(-1)^{k}\theta ^{2k}}{(2k)!}\frac {n^{2k}q^{n}}{(1-q^{n})^{2}}-\frac {1}2\sum _{n=1}^\infty \sum _{k=1}^\infty \frac {(-1)^{k}\theta ^{2k}}{(2k)!}\frac {n^{2k+1}q^{n}}{1-q^{n}}\\ &=-\frac {1}{16}+\frac {1}{4\theta ^{2}}+\frac {B_2}8+\frac {1}2\sum _{k=1}^\infty \frac {(-1)^{k}\theta ^{2k}}{(2k)!}\left (\frac {B_{2k+2}}{2(2k+2)}-\sum _{n=1}^\infty \frac {n^{2k+1}q^{n}}{1-q^{n}}\right )+\sum _{k=0}^\infty \frac {(-1)^{k}\theta ^{2k}}{(2k)!}\sum _{n,m=1}^\infty n^{2k}mq^{nm}\\ &=\frac {1}{4\theta ^{2}}-\frac {1}{24}+\frac {1}2\sum _{k=1}^\infty \frac {(-1)^{k-1}S_{2k+1}}{(2k)!}\theta ^{2k}+\sum _{k=0}^\infty \frac {(-1)^{k}\Phi _{1,2k}}{(2k)!}\theta ^{2k}\\ &=\frac {1}{4\theta ^{2}}+S_1+\frac {1}2\sum _{k=1}^\infty \frac {(-1)^{k-1}S_{2k+1}}{(2k)!}\theta ^{2k}+\sum _{k=1}^\infty \frac {(-1)^{k}\Phi _{1,2k}}{(2k)!}\theta ^{2k} \end {aligned} $$
なので
$$ \begin {aligned} \left (\frac {1}{2\theta }+\sum _{k=0}^\infty \frac {(-1)^{k}S_{2k+1}}{(2k+1)!}\theta ^{2k+1}\right )^2 &=\frac {1}{4\theta ^{2}}+S_1+\frac {1}2\sum _{k=1}^\infty \frac {(-1)^{k-1}S_{2k+1}}{(2k)!}\theta ^{2k}+\sum _{k=1}^\infty \frac {(-1)^{k}\Phi _{1,2k}}{(2k)!}\theta ^{2k} \end {aligned} $$
を得ます。両辺の$\theta ^{2n}$の係数を比較して
$$ \begin {aligned} \frac {(-1)^{n}S_{2n+1}}{(2n+1)!}+\sum _{k=0}^{n-1}\frac {(-1)^{k+n-1-k}S_{2k+1}S_{2(n-1-k)+1}}{(2k+1)!(2(n-1-k)+1)!}&=\frac {(-1)^{n-1}S_{2n+1}}{2(2n)!}-\frac {(-1)^{n-1}\Phi _{1,2n}}{(2n)!}\\ -\frac {S_{2n+1}}{2n+1}+\sum _{k=0}^{n-1}\binom {2n}{2k+1}S_{2k+1}S_{2n-2k-1}&=\frac {S_{2n+1}}{2}-\Phi _{1,2n} \end {aligned} $$
つまり
$$ \begin{aligned} \Phi _{1,2n}&=\frac {2n+3}{2(2n+1)}S_{2n+1}-\sum _{k=0}^{n-1}\binom {2n}{2k+1}S_{2k+1}S_{2n-2k-1} \end{aligned} $$
が分かります！！！例えば、
$$ \begin {aligned} \Phi_{1,2}&=\frac {5}6S_3-2S_1^2\\ \Phi _{1,4}&=\frac {7}{10}S_5-8S_1S_3\\ \Phi _{1,6}&=\frac {9}{14}S_7-12S_1S_5-20S_3^2 \end {aligned} $$
といった具合です。
ここで、$q=e^{-x}$とすれば
$$ \begin {aligned} \Phi _{1,n+1}&=\frac {dS_n}{dx} \end {aligned} $$
であり、また
$$ \begin {aligned} S_1=-\frac {L}{24},S_3=\frac {M}{240},S_5=-\frac {N}{504},S_7&=\frac {M^2}{480} \end {aligned} $$
ですから、
$$ \begin {aligned} \frac {dL}{dx}&=\frac {M-L^2}{12}\\ \frac {dM}{dx}&=\frac {N-LM}{3}\\ \frac {dN}{dx}&=\frac {M^2-LN}{2} \end {aligned} $$
が得られました。以上です。

感想:
Ramanujanすげぇ～