Eisenstein級数の微分(Ramanujanの恒等式)

Eisenstein級数の微分とEisenstein級数の間の恒等式があるみたいなんですが、その証明の手法がとても凄かった(主観)ので、書いてみます。この恒等式は、僕が知る範囲だと、約数の個数に関する定理の導出や双曲線関数を含む無限級数の計算などに使えます。

これらは正規化されたEisenstein級数$E_2(\tau ),E_4(\tau ),E_6(\tau )$に$\tau =ix$を代入したものになっています。
このとき以下が成り立ちます。

一般のEisenstein級数は$L,M,N$の多項式で書けますから、それらの高階微分を具体的にL,M,Nで書けることになります！

証明

まずBernoulli数の定義です。

さらにEisenstein級数の類似物${\mathrm{\Phi }}_{r,s}(q),S_r(q)$を定義します。

正整数nに対して以下が成り立ちます。
$$\begin{array}{rl}\cot \frac{\theta }{2}\sin n\theta & =1+2\sum _{k=1}^{n-1}\cos k\theta +\cos n\theta \end{array}$$
証明は省きます。また
$$\begin{array}{rl}\sin n\theta \sin m\theta & =\frac{1}{2}(\cos (n-m)\theta -\cos (n+m)\theta )\end{array}$$
ですから、
$$\begin{array}{rl}{(\frac{1}{4}\cot \frac{\theta }{2}+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{q^n\sin n\theta }{1-q^n})}^2-{(\frac{1}{4}\cot \frac{\theta }{2})}^2& =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{C}_n\cos n\theta \end{array}$$
というFourier級数展開ができます。具体的に係数を計算すると、
$C_0$は
$$\begin{array}{rl}{C}_0& =\frac{2}{4}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{q^n}{1-q^n}+\frac{1}{2}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{\left(\frac{q^n}{1-q^n}\right)}^2\\ & =\frac{1}{2}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{q^n}{(1-q^n{)}^2}\\ & =\frac{1}{2}\sum _{n,m=1}^{\mathrm{\infty }}m{q}^{nm}\\ & =\frac{1}{2}\sum _{m=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{m{q}^m}{1-q^m}\end{array}$$
$C_n(n>0)$は
$$\begin{array}{rl}{C}_n& =\frac{2}{4}\frac{q^n}{1-q^n}+2\sum _{k=n+1}^{\mathrm{\infty }}\frac{2}{4}\frac{q^k}{1-q^k}+2\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{2}\frac{q^k}{1-q^k}\frac{q^{k+n}}{1-q^{k+n}}-\sum _{k=1}^{n-1}\frac{1}{2}\frac{q^k}{1-q^k}\frac{q^{n-k}}{1-q^{n-k}}\\ & =\frac{1}{2}\frac{q^n}{1-q^n}+\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{1-q^k}\frac{q^{k+n}}{1-q^{k+n}}-\frac{1}{2}\sum _{k=1}^{n-1}\frac{q^k}{1-q^k}\frac{q^{n-k}}{1-q^{n-k}}\\ C_n\frac{1-q^n}{q^n}& =\frac{1}{2}+\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}(\frac{q^k}{1-q^k}-\frac{q^{k+n}}{1-q^{k+n}})-\frac{1}{2}\sum _{k=1}^{n-1}(1+\frac{q^k}{1-q^k}+\frac{q^{n-k}}{1-q^{n-k}})\\ & =\frac{1}{2}+\sum _{k=1}^n\frac{q^k}{1-q^k}-\frac{n-1}{2}-\sum _{k=1}^{n-1}\frac{q^k}{1-q^k}\\ & =\frac{q^n}{1-q^n}+1-\frac{n}{2}\\ & =\frac{1}{1-q^n}-\frac{n}{2}\\ C_n& =\frac{q^n}{(1-q^n{)}^2}-\frac{n{q}^n}{2(1-q^n)}\end{array}$$
となります。従って
$$\begin{array}{rl}{(\frac{1}{4}\cot \frac{\theta }{2}+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{q^n\sin n\theta }{1-q^n})}^2& =\frac{1}{16}{\cot }^2\frac{\theta }{2}+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{q^n\cos n\theta }{(1-q^n{)}^2}+\frac{1}{2}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{n{q}^n}{1-q^n}(1-\cos n\theta )\end{array}$$
を得ます。
ここで三角関数を級数展開します。
$$\begin{array}{rl}\cos \theta & =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{(2n)!}{\theta }^{2n}\\ \sin \theta & =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{(2n+1)!}{\theta }^{2n+1}\\ \frac{1}{2}\cot \frac{\theta }{2}& =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n{B}_{2n}}{(2n)!}{\theta }^{2n-1}\\ \frac{1}{4}{\cot }^2\frac{\theta }{2}& =-\frac{1}{4}-\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n{B}_{2n}(2n-1)}{(2n)!}{\theta }^{2n-2}\end{array}$$
より
$$\begin{array}{rl}\frac{1}{4}\cot \frac{\theta }{2}+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{q^n\sin n\theta }{1-q^n}& =\frac{1}{2}\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^k{B}_{2k}}{(2k)!}{\theta }^{2k-1}+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^k{\theta }^{2k+1}}{(2k+1)!}\frac{n^{2k+1}{q}^n}{1-q^n}\\ & =\frac{1}{2\theta }+\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^k{\theta }^{2k+1}}{(2k+1)!}(-\frac{B_{2k+2}}{4k+4}+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{n^{2k+1}{q}^n}{1-q^n})\\ & =\frac{1}{2\theta }+\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^k{S}_{2k+1}}{(2k+1)!}{\theta }^{2k+1}\end{array}$$
$$\begin{array}{rl}\frac{1}{16}{\cot }^2\frac{\theta }{2}+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{q^n\cos n\theta }{(1-q^n{)}^2}+\frac{1}{2}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{n{q}^n}{1-q^n}(1-\cos n\theta )& =-\frac{1}{16}-\frac{1}{4}\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^k(2k-1)B_{2k}}{(2k)!}{\theta }^{2k-2}+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^k{\theta }^{2k}}{(2k)!}\frac{n^{2k}{q}^n}{(1-q^n{)}^2}-\frac{1}{2}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^k{\theta }^{2k}}{(2k)!}\frac{n^{2k+1}{q}^n}{1-q^n}\\ & =-\frac{1}{16}+\frac{1}{4{\theta }^2}+\frac{B_2}{8}+\frac{1}{2}\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^k{\theta }^{2k}}{(2k)!}(\frac{B_{2k+2}}{2(2k+2)}-\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{n^{2k+1}{q}^n}{1-q^n})+\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^k{\theta }^{2k}}{(2k)!}\sum _{n,m=1}^{\mathrm{\infty }}{n}^{2k}m{q}^{nm}\\ & =\frac{1}{4{\theta }^2}-\frac{1}{24}+\frac{1}{2}\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{k-1}{S}_{2k+1}}{(2k)!}{\theta }^{2k}+\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^k{\mathrm{\Phi }}_{1,2k}}{(2k)!}{\theta }^{2k}\\ & =\frac{1}{4{\theta }^2}+S_1+\frac{1}{2}\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{k-1}{S}_{2k+1}}{(2k)!}{\theta }^{2k}+\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^k{\mathrm{\Phi }}_{1,2k}}{(2k)!}{\theta }^{2k}\end{array}$$
なので
$$\begin{array}{rl}{(\frac{1}{2\theta }+\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^k{S}_{2k+1}}{(2k+1)!}{\theta }^{2k+1})}^2& =\frac{1}{4{\theta }^2}+S_1+\frac{1}{2}\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{k-1}{S}_{2k+1}}{(2k)!}{\theta }^{2k}+\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^k{\mathrm{\Phi }}_{1,2k}}{(2k)!}{\theta }^{2k}\end{array}$$
を得ます。両辺の${\theta }^{2n}$の係数を比較して
$$\begin{array}{rl}\frac{(-1{)}^n{S}_{2n+1}}{(2n+1)!}+\sum _{k=0}^{n-1}\frac{(-1{)}^{k+n-1-k}{S}_{2k+1}{S}_{2(n-1-k)+1}}{(2k+1)!(2(n-1-k)+1)!}& =\frac{(-1{)}^{n-1}{S}_{2n+1}}{2(2n)!}-\frac{(-1{)}^{n-1}{\mathrm{\Phi }}_{1,2n}}{(2n)!}\\ -\frac{S_{2n+1}}{2n+1}+\sum _{k=0}^{n-1}(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n}{2k+1})S_{2k+1}{S}_{2n-2k-1}& =\frac{S_{2n+1}}{2}-{\mathrm{\Phi }}_{1,2n}\end{array}$$
つまり
$$\begin{array}{rl}{\mathrm{\Phi }}_{1,2n}& =\frac{2n+3}{2(2n+1)}{S}_{2n+1}-\sum _{k=0}^{n-1}(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n}{2k+1})S_{2k+1}{S}_{2n-2k-1}\end{array}$$
が分かります！！！例えば、
$$\begin{array}{rl}{\mathrm{\Phi }}_{1,2}& =\frac{5}{6}{S}_3-2S_1^2\\ {\mathrm{\Phi }}_{1,4}& =\frac{7}{10}{S}_5-8S_1{S}_3\\ {\mathrm{\Phi }}_{1,6}& =\frac{9}{14}{S}_7-12S_1{S}_5-20S_3^2\end{array}$$
といった具合です。
ここで、$q=e^{-x}$とすれば
$$\begin{array}{rl}{\mathrm{\Phi }}_{1,n+1}& =\frac{d{S}_n}{dx}\end{array}$$
であり、また
$$\begin{array}{rl}{S}_1=-\frac{L}{24},S_3=\frac{M}{240},S_5=-\frac{N}{504},S_7& =\frac{M^2}{480}\end{array}$$
ですから、
$$\begin{array}{rl}\frac{dL}{dx}& =\frac{M-L^2}{12}\\ \frac{dM}{dx}& =\frac{N-LM}{3}\\ \frac{dN}{dx}& =\frac{M^2-LN}{2}\end{array}$$
が得られました。以上です。

感想:
Ramanujanすげぇ～