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難問, ∫((sinx)^2)/(x^2)dxの不定積分に挑戦

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難問, $\int\frac{\sin^{2}x}{x^{2}}dx$の不定積分に挑戦

次の不定積分を求めよ.
$$\int\dfrac{\sin^{2}x}{x^{2}}dx$$

私が以前作り, 解こうとして挫折した問題です.
ですがネットで解き方を調べてみて,
面白い解き方をするみたいなので
Mathlogに載せてみようと思いました.
では早速解いてみましょう.
(残念ながら参考文献は忘れました)

$\int\dfrac{\sin^{2}x}{x^{2}}dx=\int\sin^{2}x\cdot\dfrac{1}{x^{2}}dx$であり
$(\sin^{2}x)’=\left(\dfrac{1-\cos2x}{2}\right)’=-\dfrac{1}{2}(\cos2x)’=-\dfrac{1}{2}(-\sin2x)\cdot(2x)’=\sin2x,$
また$\int\dfrac{1}{x^{2}}dx=\int x^{-2}dx=-x^{-1}=-\dfrac{1}{x}$なので
部分積分法より$\int\dfrac{\sin^{2}x}{x^{2}}dx=\sin^{2}x\cdot\left(-\dfrac{1}{x}\right)-\int\sin2x\cdot\left(-\dfrac{1}{x}\right)dx=-\dfrac{\sin^{2}x}{x}+\int\dfrac{\sin2x}{x}dx$
(積分定数は考えないものとする)

途中までは部分積分法で解けるのですが
途中に出てくる$\int\dfrac{\sin2x}{x}dx$を解くことができません.
気になって調べてみたのですが,
この積分は特殊関数(基本的に数3の範囲外にある関数)を
使わなければどう頑張っても解けないようです.
今回は正弦積分という特殊関数を使います.

正弦積分

$$Si(x)=\int\dfrac{\sin x}{x}dx$$(積分定数は考えないものとする)

この特殊関数を使って$\int\dfrac{\sin2x}{x}dx$を求めてみます.
$\int\dfrac{\sin2x}{x}dx=2\int\dfrac{\sin2x}{2x}=2Si(2x)$となります.
積分の値が分かったので, 問題の続きに戻りましょう.

$$\int\dfrac{\sin^{2}x}{x^{2}}dx=-\dfrac{\sin^{2}x}{x}+\int\dfrac{\sin2x}{x}dx=-\dfrac{\sin^{2}x}{x}+2Si(2x)+C$$($C$は積分定数)

これが答えとなります.
$2Si(2x)$で答えになるのはしっくりきませんが
特殊関数なのでこれで大丈夫なようです.

投稿日:202252

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OMC_Masterです. 中3生で京都の学校にいます. OnlineMathContestをやっていて, twitter, LINE VOOMに数学などの投稿をしています. フォローお願いします.

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