難問, ∫((sinx)^2)/(x^2)dxの不定積分に挑戦

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難問, $\int \frac{\sin^{2} x}{x^{2}} d x$ の不定積分に挑戦

次の不定積分を求めよ.
$\int \frac{\sin^{2} x}{x^{2}} d x$

私が以前作り, 解こうとして挫折した問題です.
ですがネットで解き方を調べてみて,
面白い解き方をするみたいなので
Mathlogに載せてみようと思いました.
では早速解いてみましょう.
(残念ながら参考文献は忘れました)

$\int \frac{\sin^{2} x}{x^{2}} d x = \int \sin^{2} x \cdot \frac{1}{x^{2}} d x$ であり
$(\sin^{2} x)^{'} = {(\frac{1 - \cos 2 x}{2})}^{'} = - \frac{1}{2} (\cos 2 x)^{'} = - \frac{1}{2} (- \sin 2 x) \cdot (2 x)^{'} = \sin 2 x,$
また $\int \frac{1}{x^{2}} d x = \int x^{- 2} d x = - x^{- 1} = - \frac{1}{x}$ なので
部分積分法より $\int \frac{\sin^{2} x}{x^{2}} d x = \sin^{2} x \cdot (- \frac{1}{x}) - \int \sin 2 x \cdot (- \frac{1}{x}) d x = - \frac{\sin^{2} x}{x} + \int \frac{\sin 2 x}{x} d x$
(積分定数は考えないものとする)

途中までは部分積分法で解けるのですが
途中に出てくる $\int \frac{\sin 2 x}{x} d x$ を解くことができません.
気になって調べてみたのですが,
この積分は特殊関数(基本的に数3の範囲外にある関数)を
使わなければどう頑張っても解けないようです.
今回は正弦積分という特殊関数を使います.

正弦積分

$S i (x) = \int \frac{\sin x}{x} d x$ (積分定数は考えないものとする)

この特殊関数を使って $\int \frac{\sin 2 x}{x} d x$ を求めてみます.
$\int \frac{\sin 2 x}{x} d x = 2 \int \frac{\sin 2 x}{2 x} = 2 S i (2 x)$ となります.
積分の値が分かったので, 問題の続きに戻りましょう.