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大学数学基礎解説

積分の技法演習問題3の解説

ガンマ関数,ベータ関数,積分

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\begin{array}{r} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin^{2} x \ln \cos x d x = ? \end{array}

解説

\begin{aligned} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin^{2} x \ln \cos x d x \\ = \int_{0}^{\frac{π}{2}} \ln \cos x d x - \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos^{2} x \ln \cos x d x \\ = \int_{0}^{\frac{π}{2}} {\frac{\partial}{\partial t} \cos^{t} x |}_{t = 0} d x - \int_{0}^{\frac{π}{2}} {\frac{\partial}{\partial u} \cos^{u} x |}_{u = 2} d x \\ = {\frac{1}{2} \frac{d}{d t} B (\frac{t + 1}{2}, \frac{1}{2}) |}_{t = 0} - {\frac{1}{2} \frac{d}{d u} B (\frac{u + 1}{2}, \frac{1}{2}) |}_{u = 2} \\ = {\frac{1}{4} B (\frac{t + 1}{2}, \frac{1}{2}) (ψ (\frac{t + 1}{2}) - ψ (\frac{t}{2} + 1)) |}_{t = 0} \\ - {\frac{1}{4} B (\frac{u + 1}{2}, \frac{1}{2}) (ψ (\frac{u + 1}{2}) - ψ (\frac{u}{2} + 1)) |}_{u = 2} \\ = \frac{1}{4} B (\frac{1}{2}, \frac{1}{2}) (ψ (\frac{1}{2}) - ψ (1)) \\ - \frac{1}{4} B (\frac{3}{2}, \frac{1}{2}) (ψ (\frac{3}{2}) - ψ (2)) \\ = \frac{π}{4} (- 2 \ln 2 - γ + γ) \\ - \frac{1}{4} Γ (\frac{3}{2}) Γ (\frac{1}{2}) (ψ (\frac{1}{2}) + 2 - ψ (1) - 1) \\ = - \frac{π}{2} \ln 2 - \frac{π}{8} (- 2 \ln 2 + 1) \\ = - \frac{3 π}{4} \ln 2 - \frac{π}{8} \end{aligned}

実は，2行目に現れる積分

\begin{array}{r} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \ln \cos x d x \end{array}

は高校範囲で解くこともできます．ぜひチャレンジしてみてください！

投稿日：2020年11月8日

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