積分の技法演習問題3の解説

\begin{align*} \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^2 x \ln \cos x dx~=~? \end{align*}

解説

\begin{align*} &\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^2 x \ln \cos x dx \\ &=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \ln \cos x dx - \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^2 x \ln \cos x dx \\ &=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \left. \frac{\partial}{\partial t} \cos^t x \right|_{t=0} dx - \int_0^{\frac{\pi}{2}} \left. \frac{\partial}{\partial u} \cos^u x \right|_{u=2} dx \\ &=\left. \frac12 \frac{d}{dt} B\left(\frac{t+1}{2}, \frac12\right) \right|_{t=0} - \left. \frac12 \frac{d}{du} B\left(\frac{u+1}{2}, \frac12\right) \right|_{u=2}\\ &=\left. \frac14 B\left(\frac{t+1}{2}, \frac12\right)\left( \psi\left(\frac{t+1}{2}\right) - \psi\left(\frac{t}{2} + 1\right)\right)\right|_{t=0} \\ &~~~~~- \left. \frac14 B\left(\frac{u+1}{2}, \frac12\right)\left( \psi\left(\frac{u+1}{2}\right) - \psi\left(\frac{u}{2} + 1\right)\right)\right|_{u=2}\\ &=\frac14 B\left(\frac12, \frac12\right)\left( \psi\left(\frac12\right) - \psi(1)\right) \\ &~~~~~- \frac14 B\left(\frac32, \frac12\right)\left( \psi\left(\frac32\right) - \psi(2)\right)\\ &=\frac{\pi}{4}(-2\ln 2 - \gamma + \gamma) \\ &~~~~~- \frac14 \Gamma\left(\frac32\right)\Gamma\left(\frac12\right)\left(\psi\left(\frac12\right) + 2 - \psi(1) - 1\right)\\ &=-\frac{\pi}{2}\ln 2 - \frac{\pi}{8}(-2\ln 2 + 1) \\ &=-\frac{3\pi}{4}\ln 2 - \frac{\pi}{8} \end{align*}
実は，2行目に現れる積分
\begin{align*} \int_0^{\frac{\pi}{2}} \ln \cos x dx \end{align*}
は高校範囲で解くこともできます．ぜひチャレンジしてみてください！

投稿日：2020年11月8日

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Re_menal

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16歳　代数や積分，級数についての記事を書きます！（2021 年時点） → 17 歳　（無限）圏論についての記事を書きます！（2022 年 12 月時点）

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