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積分の技法演習問題3の解説

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0π2sin2xlncosxdx = ?

解説

0π2sin2xlncosxdx=0π2lncosxdx0π2cos2xlncosxdx=0π2tcostx|t=0dx0π2ucosux|u=2dx=12ddtB(t+12,12)|t=012dduB(u+12,12)|u=2=14B(t+12,12)(ψ(t+12)ψ(t2+1))|t=0     14B(u+12,12)(ψ(u+12)ψ(u2+1))|u=2=14B(12,12)(ψ(12)ψ(1))     14B(32,12)(ψ(32)ψ(2))=π4(2ln2γ+γ)     14Γ(32)Γ(12)(ψ(12)+2ψ(1)1)=π2ln2π8(2ln2+1)=3π4ln2π8
実は,2行目に現れる積分
0π2lncosxdx
は高校範囲で解くこともできます.ぜひチャレンジしてみてください!
投稿日:2020118
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Re_menal
Re_menal
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16歳 代数や積分,級数についての記事を書きます!(2021 年時点) → 17 歳 (無限)圏論についての記事を書きます!(2022 年 12 月時点)

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