Tangent Line Trick :)

不等式

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はじめに

こんにちは.またまた不等式です.今回は $n - 1$ EV に関連したテクニックで,Tangent Line Trickと呼ばれています.簡単な内容です.

前提知識

微分の基礎

Tangent Line Trick

いきなりですが本題です.
Tangent Line Trickとは,
$I \subset R$ は区間で, $f : I \to R$ , $a = \frac{a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n}}{n}$ が一定であるとする.このとき,
$f (a_{1}) + f (a_{2}) + \dots + f (a_{n}) \geq n f (a)$
を示すときに,
$f (x) \geq f (a) + f^{'} (a) (x - a)$
を示すテクニックです.

もちろんですが $f$ が常に凸であれば,Jensenの不等式やKaramataの不等式によって直ちに示されます.なので, $f$ が凸でないようなときに効いてくるテクニックです.
tangent lineは接線を意味していて, $f (a) + f^{'} (a) (x - a)$ は, $f (x)$ の $x = a$ で接する接線の方程式を表しています.

これだけではつかみずらいと思いますので例題を紹介します.

ELMO SLP A6 2013

$a, b, c > 0, a + b + c = 3$ とする.
$\sum_{cyc} \frac{18}{(3 - a) (4 - a)} + 2 (a b + b c + c a) \geq 15$
を示せ.

問題はこちらを見てください.

解答

2 (a b + b c + c a) = 9 - (a^{2} + b^{2} + c^{2})

であるから,

\sum_{cyc} (\frac{18}{(3 - a) (4 - a)} - a^{2}) \geq 6

を示せばよく,

\frac{18}{(3 - a) (4 - a)} - a^{2} \geq 2 + \frac{1}{2} (a - 1) ⟺ \frac{1}{2} \cdot \frac{x (9 - 2 x) (x - 1)^{2}}{(3 - x) (4 - x)} \geq 0

であるから,与えられた不等式は成り立つ.

JMO 本選 1997

$a, b, c > 0$ とする.
$\frac{(b + c - a)^{2}}{(b + c)^{2} + a^{2}} + \frac{(c + a - b)^{2}}{(c + a)^{2} + b^{2}} + \frac{(a + b - c)^{2}}{(a + b)^{2} + c^{2}} \geq \frac{3}{5}$
を示せ.

問題はこちらを見てください.

解答

両辺は斉次で次数が等しいため,

a + b + c = 1

として,

\frac{(1 - 2 a)^{2}}{(1 - a)^{2} + a^{2}} + \frac{(1 - 2 b)^{2}}{(1 - b)^{2} + b^{2}} + \frac{(1 - 2 c)^{2}}{(1 - c)^{2} + c^{2}} \geq \frac{3}{5}

を示せばよく,

\frac{(1 - 2 a)^{2}}{(1 - a)^{2} + a^{2}} \geq \frac{1}{5} - \frac{54}{25} (x - \frac{1}{3}) ⟺ \frac{2}{25} \cdot \frac{(3 a - 1)^{2} (6 a + 1)}{(1 - a)^{2} + a^{2}} \geq 0

であるから,与えられた不等式は成り立つ.

おわりに

最後まで見ていただきありがとうございました.
正直眠たくなるような内容だったと思いますが,割と重要な内容(かもしれない)です. $\sum f (a_{i})$ の形があれば, $f$ の凸性を調べるとおもいますが,このようなテクニックを知っていなかったら焦ってしまうと思います.
特にBunching(Muirheadの不等式を用いて証明すること)より計算量は圧倒的に少ないので計算ミスをする可能性があることを考えれば知っておいたほうがいいと思われます.
例題を探しているときに感じましたが,Tangent Line Trickを用いて簡単に解けるようなものがなかなか見つけれませんでした.
Tangent Line Trickが使えないときは, $n - 1$ EV を考えたほうがいいでしょう.
それでは,ありがとうございました.