文献あり

赤雪江第1章のまとめノート作ってみた

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はじめに

今回から雪江明彦先生の「群論入門」のまとめノート的なアレを作っていきたいと思います(需要があるのかと言われてしまうと何とも言えませんが......)。本記事で扱う範疇を逸脱する証明は省略することにします。誤植などあればコメントやtwitterでご連絡頂けると幸いです。

集合と論理の基礎

集合$A$の任意の元$a$に対し集合$B$の元$f(a)$がただ一つに定まっているとき，$f$を$A$から$B$への写像という.

$f$が集合$A$から集合$B$への写像なら, このことを $f : A \rightarrow B$と表す.

部分集合$S \subset A,\, T \subset B$に対し，$f(S) = \left\{f(a)\in A\mid a\in S\right\}, \, f^{-1}(T) = \left\{a \in A \mid f(a) \in T\right\} $ とおき，それぞれ$S$の像, $T$の逆像という.

一般に, 逆像は写像であるとは限らない.

$A,B$を集合, $f : A \rightarrow B$を写像とする. 任意の$a,a' \in A$に対し, $f(a) = f(a')\Rightarrow a = a'$という条件が成り立つとき, $f$は単射であるという. また，任意の$b \in B$に対し, $f(a) = b$となる$a \in A$が存在するとき，$f$は全射であるという. 写像が単射かつ全射なら, 全単射であるという.

集合$A$から集合$B$への全単射写像があるとき, 集合$A$と集合$B$は一対一に対応するという. また, $A \subset B$なら，$A$の元を$B$の元とみなす写像のことを包含写像という.

集合$A$から$A$への写像$f$で, 全ての$a \in A$に対し$f(a) = a$となるものを恒等写像といい, $\mathrm{id}_{A}$と書く.
$f : A \rightarrow B, \, g : B \rightarrow C$が写像なら，$A$から$C$への写像$g \circ f$を$g \circ f(a) = g(f(a))$と定義し，$f,g$の合成という.
$A,B$が集合, $f : A \rightarrow B$が全単射写像であるとする.このとき, 任意の$b \in B$に対して$b = f(a)$となる$a \in A$が常にただ一つ存在する. そこで$b \in B$に対して, $a = g(b)$となる$a \in A$を対応させ, $B$から$A$への写像$g$が一意に定まる. この写像を$f$の逆写像といい,$g = f^{-1}$と表す.

$f^{-1}$は逆写像にも逆像にも用いる用語であるため, どちらの意味で使うのか注意する必要がある.

$A,B$が有限集合で$\left\lvert A\right\rvert = \left\lvert B\right\rvert $なら，以下が成り立つ.

$A \subset B \Rightarrow A = B$
$f : A \rightarrow B$が写像なら, $f$が単射であることと全射であることは同値である. つまり, このとき$f$は全単射になる.

$B = A \cup (B \setminus A)$で$A \cap (B \setminus A) = \emptyset$なので, $B \Rightarrow A = \emptyset$, つまり$B = A$である.
$f$を単射とする.
このとき $\left| f(A) \right| = \left| B \right| = \left| A \right|$ である.
したがって, $f$が写像であることから$f(A) \subset B$なので，(1)の結果より, $f(A) = B$となり, $f$は全射である.
逆に$f$を全射とする.
任意の$b \in B$に対し,$a_b \in A, , f(a_b) = b$となる元$a_b$を取ることができる.$b, b' \in B, , b \neq b', , a_b \neq a_{b'}$ なら，$b = f(a_b) = f(a_{b'}) = b'$となり, 矛盾が生じる. よって，$b \neq b'\Rightarrow a_b \neq a_{b'}$なので，集合$\left{a_b,\vert, b \in B\right} \subset A$の元の個数は$\left| B \right| = \left| A \right| $ に等しい.
したがって, (1)より, $\left{a_b,\vert, b \in B\right} = A$.
これは, 任意の$b \in B $に対し，$f^{-1}(b)$が1つの元よりなることを意味している. ゆえに，$f$が単射であることと全射であることは同値であるから，$f$は全単射である.

well-definedと自然な対象

本節で紹介する概念はイメージしにくいので、実際に出てきた際に詳しく解説したいと思います。

$A$という数学的対象から$B$という数学的対象を定義するとき，$A$から複数定まる$C$という数学的対象を経由して$B$を定めるとする.
このとき, $B$の定義が$C$によらない(つまり, $A$にのみ依存する)ことを示してはじめて$B$の定義が確定する. このようなとき, この定義はwell-definedであるという.

$A$を数学的対象とするとき, $A$のみから，それ以外の情報を用いずに定義できる数学的対象を$A$により自然に定まる対象であるという.

自然な対象という用語は, 正確には圏論の概念を用いて説明される.

$A$を集合とするとき, $A$の部分集合全体の集合は$A$により自然に定まる．

選択公理とZornの補題

$\Lambda$を集合とし, 各$\lambda \in \Lambda$に対し，集合$A_{\lambda}$が与えられているとする. このようなとき，$\left\{A_{\lambda}\right\}$を, $\Lambda$を添字集合に持つ集合族という.

分かりやすい例で言えば、数列が挙げられる. この場合, $\Lambda = \mathbb{N}$になる.

$\Lambda$を添字集合に持つ集合族$\left\{A_{\lambda}\,\vert\, \lambda \in \Lambda\right\}$が与えられたとき, $\Lambda$から和集合$\bigcup(A_{\lambda}\,\vert\, \lambda \in \Lambda)$ への関数$f$のうちで，$\Lambda$のどの元$\lambda$に対しても $f(\lambda) = f_{\lambda} \in A_{\lambda}$となるようなもの全体を集合族$\left\{A_{\lambda}\,\vert\, \lambda \in \Lambda\right\}$の直積といい, $\prod_{\lambda \in \Lambda}A_{\lambda}$と書く. また，各$A_{\lambda}$ を直積因子という.

つまり, 直積は定義の条件を満たす写像である.

$\prod_{x \in \mathbb{R}}\left\{2x\right\}$の元は, $f(x) = 2x$となる写像$f : \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$のみである.

$\left\{A_{\lambda}\,\vert\, \lambda \in \Lambda\right\}$のうち、空集合であるものが少なくとも1つ存在するならば, $\prod_{\lambda \in \Lambda}A_{\lambda} = \emptyset$である.

この例の逆が成り立つとしたものが後に述べる選択公理である.

$\left\{X_i\right\}$が$I$を添字集合とする集合族であるとき，$X = \bigcup_{i} X_i$, $Y = X \times I$とし, 各$i \in I$に対して$Y_i$を$Y$の部分集合で, $x \in X_i$により$\left(x, i\right)$という形をした元全体よりなるものとする.このとき, $Z = \bigcup_{i} Y_i$を集合族$\left\{X_i\right\}$の直和といい, $\coprod_{i} X_i$と書く.

ここで, $Y_i$は$X_i$と一対一に対応する. このことから, 直和は，各$X_i$と一対一に対応する部分集合を含み，それらの交わりのない和になっている集合と考えることができる.

選択公理

$\left\{A_{\lambda}\right\}$を$\lambda \in \Lambda$を添字集合とする空でない集合よりなる集合族とするとき, 直積$\prod_{\lambda \in \Lambda} A_{\lambda}$は空集合ではない.

本記事では選択公理を認めます.

$S$を集合するとき, $S$上の関係とは, $S \times S$の部分集合のことである.$R \subset S \times S$を関係とするとき，$x,y \in S$が$\left(x,y\right) \in R$ であるならば，$x,y$は関係$R$があるといい, そうでないとき, 関係$R$がないという.

$R$を$S$上の関係とするとき, $x,y \in S$に対して, $x,y$に関係$R$があることを$xRy$と表すことがある.

集合$X$上の関係$\leqq$が次の$(1)-(3)$の条件を満たす時に順序という. 以下，$x,y,z$は$X$の元を表す.

$x \leqq x$
$x \leqq y,\, y \leqq z \Rightarrow x \leqq z$
$x \leqq y,\, y \leqq x \Rightarrow x = y$

さらに, 任意の$x,y \in X$に対し
(4) $x \leqq y$または$y \leqq x$が成り立つ.

という条件が満たされるなら, $\leqq$を全順序という.
順序を持つ集合を順序集合, 全順序を持つ集合を全順序集合という.

$\leqq$はあくまで関係なのであって, 通常の不等号であるとは限らない.

集合$X = \mathbb{R}$上で$\leqq$が通常の不等号なら, $\leqq$は全順序である.

$X$を順序集合, $S \subset X$を部分集合とする.$x_0 \in X$が任意の$y \in S$に対し$y \leqq x_0$という条件を満たすなら，$x_0$は$S$の上界であるという.
$x \in X$が順序に関して極大元であるとは，任意の$y \in X$に対し$x \leqq y \Rightarrow y = x$が成り立つことである.