文献あり

赤雪江第1章のまとめノート作ってみた

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はじめに

今回から雪江明彦先生の「群論入門」のまとめノート的なアレを作っていきたいと思います(需要があるのかと言われてしまうと何とも言えませんが......)。本記事で扱う範疇を逸脱する証明は省略することにします。誤植などあればコメントやtwitterでご連絡頂けると幸いです。

集合と論理の基礎

集合 $A$ の任意の元 $a$ に対し集合 $B$ の元 $f (a)$ がただ一つに定まっているとき， $f$ を $A$ から $B$ への写像という.

$f$ が集合 $A$ から集合 $B$ への写像なら, このことを $f : A \to B$ と表す.

部分集合 $S \subset A, T \subset B$ に対し， $f (S) = {f (a) \in A ∣ a \in S}, f^{- 1} (T) = {a \in A ∣ f (a) \in T}$ とおき，それぞれ $S$ の像, $T$ の逆像という.

一般に, 逆像は写像であるとは限らない.

$A, B$ を集合, $f : A \to B$ を写像とする. 任意の $a, a^{'} \in A$ に対し, $f (a) = f (a^{'}) \Rightarrow a = a^{'}$ という条件が成り立つとき, $f$ は単射であるという. また，任意の $b \in B$ に対し, $f (a) = b$ となる $a \in A$ が存在するとき， $f$ は全射であるという. 写像が単射かつ全射なら, 全単射であるという.

集合 $A$ から集合 $B$ への全単射写像があるとき, 集合 $A$ と集合 $B$ は一対一に対応するという. また, $A \subset B$ なら， $A$ の元を $B$ の元とみなす写像のことを包含写像という.

集合 $A$ から $A$ への写像 $f$ で, 全ての $a \in A$ に対し $f (a) = a$ となるものを恒等写像といい, ${id}_{A}$ と書く.
$f : A \to B, g : B \to C$ が写像なら， $A$ から $C$ への写像 $g \circ f$ を $g \circ f (a) = g (f (a))$ と定義し， $f, g$ の合成という.
$A, B$ が集合, $f : A \to B$ が全単射写像であるとする.このとき, 任意の $b \in B$ に対して $b = f (a)$ となる $a \in A$ が常にただ一つ存在する. そこで $b \in B$ に対して, $a = g (b)$ となる $a \in A$ を対応させ, $B$ から $A$ への写像 $g$ が一意に定まる. この写像を $f$ の逆写像といい, $g = f^{- 1}$ と表す.

$f^{- 1}$ は逆写像にも逆像にも用いる用語であるため, どちらの意味で使うのか注意する必要がある.

$A, B$ が有限集合で $| A | = | B |$ なら，以下が成り立つ.

$A \subset B \Rightarrow A = B$
$f : A \to B$ が写像なら, $f$ が単射であることと全射であることは同値である. つまり, このとき $f$ は全単射になる.

$B = A \cup (B ∖ A)$ で $A \cap (B ∖ A) = \emptyset$ なので, $B \Rightarrow A = \emptyset$ , つまり $B = A$ である.
$f$ を単射とする.
このとき $| f (A) | = | B | = | A |$ である.
したがって, $f$ が写像であることから $f (A) \subset B$ なので，(1)の結果より, $f (A) = B$ となり, $f$ は全射である.
逆に $f$ を全射とする.
任意の $b \in B$ に対し,$a_b \in A, , f(a_b) = b $となる元$ a_b $を取ることができる .$ b, b' \in B, , b \neq b', , a_b \neq a_{b'} $なら，$ b = f(a_b) = f(a_{b'}) = b' $となり, 矛盾が生じる . よって，$ b \neq b'\Rightarrow a_b \neq a_{b'} $なので，集合$ \left{a_b,\vert, b \in B\right} \subset A $の元の個数は$ \left| B \right| = \left| A \right| $ に等しい.
したがって, (1)より, $\left{a_b,\vert, b \in B\right} = A$.
これは, 任意の $b \in B$ に対し， $f^{- 1} (b)$ が1つの元よりなることを意味している. ゆえに， $f$ が単射であることと全射であることは同値であるから， $f$ は全単射である.

well-definedと自然な対象

本節で紹介する概念はイメージしにくいので、実際に出てきた際に詳しく解説したいと思います。

$A$ という数学的対象から $B$ という数学的対象を定義するとき， $A$ から複数定まる $C$ という数学的対象を経由して $B$ を定めるとする.
このとき, $B$ の定義が $C$ によらない(つまり, $A$ にのみ依存する)ことを示してはじめて $B$ の定義が確定する. このようなとき, この定義はwell-definedであるという.

$A$ を数学的対象とするとき, $A$ のみから，それ以外の情報を用いずに定義できる数学的対象を $A$ により自然に定まる対象であるという.

自然な対象という用語は, 正確には圏論の概念を用いて説明される.

$A$ を集合とするとき, $A$ の部分集合全体の集合は $A$ により自然に定まる．

選択公理とZornの補題

$Λ$ を集合とし, 各 $λ \in Λ$ に対し，集合 $A_{λ}$ が与えられているとする. このようなとき， ${A_{λ}}$ を, $Λ$ を添字集合に持つ集合族という.

分かりやすい例で言えば、数列が挙げられる. この場合, $Λ = N$ になる.

$Λ$ を添字集合に持つ集合族 ${A_{λ} | λ \in Λ}$ が与えられたとき, $Λ$ から和集合 $⋃ (A_{λ} | λ \in Λ)$ への関数 $f$ のうちで， $Λ$ のどの元 $λ$ に対しても $f (λ) = f_{λ} \in A_{λ}$ となるようなもの全体を集合族 ${A_{λ} | λ \in Λ}$ の直積といい, $\prod_{λ \in Λ} A_{λ}$ と書く. また，各 $A_{λ}$ を直積因子という.

つまり, 直積は定義の条件を満たす写像である.

$\prod_{x \in R} {2 x}$ の元は, $f (x) = 2 x$ となる写像 $f : R \to R$ のみである.

${A_{λ} | λ \in Λ}$ のうち、空集合であるものが少なくとも1つ存在するならば, $\prod_{λ \in Λ} A_{λ} = \emptyset$ である.

この例の逆が成り立つとしたものが後に述べる選択公理である.

${X_{i}}$ が $I$ を添字集合とする集合族であるとき， $X = ⋃_{i} X_{i}$ , $Y = X \times I$ とし, 各 $i \in I$ に対して $Y_{i}$ を $Y$ の部分集合で, $x \in X_{i}$ により $(x, i)$ という形をした元全体よりなるものとする.このとき, $Z = ⋃_{i} Y_{i}$ を集合族 ${X_{i}}$ の直和といい, $\underset{i}{∐} X_{i}$ と書く.

ここで, $Y_{i}$ は $X_{i}$ と一対一に対応する. このことから, 直和は，各 $X_{i}$ と一対一に対応する部分集合を含み，それらの交わりのない和になっている集合と考えることができる.

選択公理

${A_{λ}}$ を $λ \in Λ$ を添字集合とする空でない集合よりなる集合族とするとき, 直積 $\prod_{λ \in Λ} A_{λ}$ は空集合ではない.

本記事では選択公理を認めます.

$S$ を集合するとき, $S$ 上の関係とは, $S \times S$ の部分集合のことである. $R \subset S \times S$ を関係とするとき， $x, y \in S$ が $(x, y) \in R$ であるならば， $x, y$ は関係 $R$ があるといい, そうでないとき, 関係 $R$ がないという.

$R$ を $S$ 上の関係とするとき, $x, y \in S$ に対して, $x, y$ に関係 $R$ があることを $x R y$ と表すことがある.

集合 $X$ 上の関係 $≦$ が次の $(1) - (3)$ の条件を満たす時に順序という. 以下， $x, y, z$ は $X$ の元を表す.

$x ≦ x$
$x ≦ y, y ≦ z \Rightarrow x ≦ z$
$x ≦ y, y ≦ x \Rightarrow x = y$

さらに, 任意の $x, y \in X$ に対し
(4) $x ≦ y$ または $y ≦ x$ が成り立つ.

という条件が満たされるなら, $≦$ を全順序という.
順序を持つ集合を順序集合, 全順序を持つ集合を全順序集合という.

$≦$ はあくまで関係なのであって, 通常の不等号であるとは限らない.

集合 $X = R$ 上で $≦$ が通常の不等号なら, $≦$ は全順序である.

$X$ を順序集合, $S \subset X$ を部分集合とする. $x_{0} \in X$ が任意の $y \in S$ に対し $y ≦ x_{0}$ という条件を満たすなら， $x_{0}$ は $S$ の上界であるという.
$x \in X$ が順序に関して極大元であるとは，任意の $y \in X$ に対し $x ≦ y \Rightarrow y = x$ が成り立つことである.