ロドリゲスの回転公式

3次元の回転変換をベクトルで記述する、ロドリゲスの回転公式を紹介します。なお、この内容は先日開催された 第3回すうがく徒のつどい の「四元数と回転」で話した内容の一部です。その際の 講演資料 には画像がありませんでしたが、今回は画像を作成しました。

ロドリゲスの回転公式

以下、3次元ベクトル空間${\mathbb{R}}^3$で考えます。ベクトル$\overrightarrow{x}$と$\overrightarrow{y}$の内積を$⟨\overrightarrow{x}|\overrightarrow{y}⟩$と、外積を$\overrightarrow{x}\times \overrightarrow{y}$と書くことにします。

3次元空間のなかで、原点を通る回転軸の周りに回転角$\theta$だけ回転するという変換は、次のように記述できます。

$\overrightarrow{n}$は回転軸に沿う単位ベクトルです。$\overrightarrow{n}$の周りに角$\theta$だけ回転するという操作を図で示すと、次のようになります。

回転軸の周りの回転

ロドリゲスの回転公式は、回転後のベクトル$\overrightarrow{x^{\prime }}$を、$\overrightarrow{x}$、$\overrightarrow{n}$、$\overrightarrow{n}\times \overrightarrow{x}$の3つのベクトルの和の形で記述しています。

ロドリゲスの回転公式の証明

以下、ロドリゲスの回転公式を証明します。

まず、$\overrightarrow{x}$を$\overrightarrow{n}$と平行な方向${\overrightarrow{x}}_{\parallel }$と垂直な方向${\overrightarrow{x}}_{\perp }$に分解します。
$$\overrightarrow{x}={\overrightarrow{x}}_{\parallel }+{\overrightarrow{x}}_{\perp }$$
このとき、${\overrightarrow{x}}_{\parallel }=⟨\overrightarrow{n}|\overrightarrow{x}⟩\overrightarrow{n}$となります。

$\overrightarrow{x^{\prime }}$も同様に分解します。
$$\overrightarrow{x^{\prime }}={\overrightarrow{x^{\prime }}}_{\parallel }+{\overrightarrow{x^{\prime }}}_{\perp }$$
このとき、点$X^{\prime }$は点$X$を$\overrightarrow{n}$の周りに回転した点であることから、$\overrightarrow{x}$と$\overrightarrow{x^{\prime }}$について、$\overrightarrow{n}$と平行な方向の成分は等しくなります。つまり${\overrightarrow{x^{\prime }}}_{\parallel }={\overrightarrow{x}}_{\parallel }$です。

位置ベクトルの分解

よって、${\overrightarrow{x^{\prime }}}_{\parallel }$は$\overrightarrow{x}$と$\overrightarrow{n}$であらわせることが分かりました。次に、${\overrightarrow{x^{\prime }}}_{\perp }$を$\overrightarrow{x}$と$\overrightarrow{n}$であらわすことを考えます。

外積$\overrightarrow{n}\times {\overrightarrow{x}}_{\perp }$を考えます。外積の大きさは平行四辺形の面積でしたから、これは実は$\overrightarrow{n}\times \overrightarrow{x}$と等しいです。

$\overrightarrow{n}$と${\overrightarrow{x}}_{\perp }$は直交していることから、次が成り立ちます。
$$|\overrightarrow{n}\times {\overrightarrow{x}}_{\perp }|=|\overrightarrow{n}||{\overrightarrow{x}}_{\perp }|\sin \frac{\pi }{2}=|\overrightarrow{n}||{\overrightarrow{x}}_{\perp }|=|{\overrightarrow{x}}_{\perp }|$$
よって、${\overrightarrow{x}}_{\perp }$、${\overrightarrow{x^{\prime }}}_{\perp }$、$\overrightarrow{n}\times {\overrightarrow{x}}_{\perp }$はすべて同じ大きさです。

外積ベクトル

${\overrightarrow{x^{\prime }}}_{\perp }$を${\overrightarrow{x}}_{\perp }$方向と$\overrightarrow{n}\times {\overrightarrow{x}}_{\perp }$方向に分解します。
${\overrightarrow{x}}_{\perp }$と${\overrightarrow{x^{\prime }}}_{\perp }$のなす角は$\theta$なので、次のようになります。
$${\overrightarrow{x^{\prime }}}_{\perp }=\cos \theta {\overrightarrow{x}}_{\perp }+\sin \theta (\overrightarrow{n}\times {\overrightarrow{x}}_{\perp })$$

ベクトルの分解

これで、${\overrightarrow{x^{\prime }}}_{\perp }$を$\overrightarrow{x}$と$\overrightarrow{n}$であらわすことができました。したがって、次が成り立ちます。
$$\begin{array}{rl}\overrightarrow{x^{\prime }}& ={\overrightarrow{x^{\prime }}}_{\parallel }+{\overrightarrow{x^{\prime }}}_{\perp }\\ & ={\overrightarrow{x}}_{\parallel }+\cos \theta {\overrightarrow{x}}_{\perp }+\sin \theta (\overrightarrow{n}\times {\overrightarrow{x}}_{\perp })\\ & ={\overrightarrow{x}}_{\parallel }+\cos \theta (\overrightarrow{x}-{\overrightarrow{x}}_{\parallel })+\sin \theta (\overrightarrow{n}\times \overrightarrow{x})\\ & =\cos \theta \overrightarrow{x}+(1-\cos \theta ){\overrightarrow{x}}_{\parallel }+\sin \theta (\overrightarrow{n}\times \overrightarrow{x})\\ & =\cos \theta \overrightarrow{x}+(1-\cos \theta )⟨\overrightarrow{n}|\overrightarrow{x}⟩\overrightarrow{n}+\sin \theta (\overrightarrow{n}\times \overrightarrow{x})\end{array}$$

以上でロドリゲスの回転公式が証明できました。