lim [n→∞] n = ∞は本当に自明？―実数の連続性とアルキメデスの原理

極限
$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}n=\mathrm{\infty }$$
は，一見すると当たり前の事実であるが，これを保証するには実数の連続性が必要である．本稿では，実数の連続公理から始めて，アルキメデスの原理を証明することにより，上記の極限が導かれることを示す．

準備

実数の連続公理やアルキメデスの原理について考えるには，$\mathbb{R}$の部分集合の有界性や，上限・下限の概念が必要である．本節では，それらの定義と簡単な例を取り上げる．

上界・下界

上に有界・下に有界

上限・下限

連続公理

ここでは，アルキメデスの原理が成立する根拠となる連続公理を述べる．連続公理，すなわち実数の連続性を証明するには，デデキント切断（Dedekind cut）などによる実数の構成に立ち返る必要がある．しかし，その内容は本稿の主旨から外れるため，詳細は割愛し，連続公理の主張を述べるのみに留める．

以下，連続公理を認めて議論を進める．

有界単調数列の収束定理

連続公理から導かれる重要な結論の一つが，「有界な単調数列は収束する」という事実である．本節ではこれを証明する．この事実は，アルキメデスの原理の証明において用いられる．

実数列の有界性

単調増加・単調減少

有界単調数列の収束定理

「有界な単調数列は収束する」という事実は，正確には次のような主張である．

アルキメデスの原理

アルキメデスの原理

アルキメデスの原理は「大小2つの正の数があるとき，小さい方を何倍かすれば，必ず大きい方を超える」という，直感的には自明な主張である．ここでは，前節で述べた有界単調数列の収束定理を用いて，アルキメデスの原理を証明する．

${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}n=\mathrm{\infty }}$の証明

最後に，アルキメデスの原理を用いて，冒頭に述べた極限についての証明を与えよう．

演習問題

問題の解答例

問題1

例えば，数列$\{n(-1{)}^n{\}}_{n\in \mathbb{N}}$は，上にも下にも有界ではない．

問題2

1. 仮定より$A=\{a_n\mid n\in \mathbb{N}\}\ne \varnothing$は下に有界であるから，$t=infA\in \mathbb{R}$が存在する．下限は下界のひとつであるから，すべての$n\in \mathbb{N}$に対して$t\le a_n$が成り立つ．
2. 下限は下界全体の最大元であるから，任意の$\epsilon >0$に対して$t+\epsilon$は$A$の下界ではない．ゆえに，ある$N\in \mathbb{N}$が存在して$a_N<t+\epsilon$が成り立つ．
3. [1], [2]および$\{a_n{\}}_{n\in \mathbb{N}}$が単調減少であることから，任意の$n\ge N$に対して
   $$t\le a_n\le a_N<t+\epsilon$$
   が成り立つ．以上より，任意の$\epsilon >0$に対し，ある$N\in \mathbb{N}$が存在して
   $$n\ge N\Rightarrow |a_n-t|=a_n-t<\epsilon$$
   となるから，$\{a_n{\}}_{n\in \mathbb{N}}$は$inf\{a_n\mid n\in \mathbb{N}\}$に収束する．

問題3

次の[1]を示せばよい．
[1] 任意の$a>0$に対し，ある$N\in \mathbb{N}$が存在して，$n\ge N$ならば$\frac{1}{n}<a$を満たす．

定理2において$b=1$とすると，任意の$a>0$に対して$Na>1$を満たす$N\in \mathbb{N}$が存在することがわかる．この$N$に対して，
$$n\ge N\Rightarrow \frac{1}{n}\le \frac{1}{N}<a$$
となるから，[1]は成り立つ．

問題4

1. 数学的帰納法を用いる．
   1. $0\le 1={10}^0,1\le 10={10}^1$であるから，$n=0,1$のとき$n\le {10}^n$は成り立つ．
   2. $n=k\ge 1$のとき$n\le {10}^n$が成り立つと仮定する．このとき，
      $$k+1\le 2k\le 10k\le 10\cdot {10}^k={10}^{k+1}$$
      となるから，$n=k+1$のときにも$n\le {10}^n$が成り立つ．

[1], [2]より，すべての$n\in \mathbb{N}$に対して$n\le {10}^n$が成り立つ，
(2) 任意の$\epsilon >0$に対して，[2]より$n\ge N$ならば$|b_n|<\epsilon$を満たす$N\in \mathbb{N}$が存在する．この$N$に対して，[1]より
$$n\ge N\Rightarrow 0\le a_n\le b_n=|b_n|<\epsilon$$
が成り立つ．従って${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=0}$である．
(3) (1)より，すべての$n\in \mathbb{N}$に対して${\displaystyle \frac{1}{{10}^n}\le \frac{1}{n}}$である．また，問題2より${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{n}=0}$である．よって，(2)より${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{{10}^n}=0}$である．
(4) [1] すべての$n\in \mathbb{N}$に対して
$$1-c_n=1-0.\stackrel{n}{\overbrace{99\cdots 9}}=\frac{1}{{10}^n}$$
である．
[2] (3)より，任意の$\epsilon >0$に対し，ある$N\in \mathbb{N}$が存在して，$n\ge N\Rightarrow \frac{1}{{10}^n}<\epsilon$が成り立つ．
[3] [1], [2]より，任意の$\epsilon >0$に対し，ある$N\in \mathbb{N}$が存在して
$$n\ge N\Rightarrow 1-c_n=\frac{1}{{10}^n}<\epsilon$$
が成り立つ．

以上より，${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{c}_n=1}$である．