lim [n→∞] n = ∞は本当に自明？―実数の連続性とアルキメデスの原理
極限
$$
\lim_{n\to\infty}n=\infty
$$
は，一見すると当たり前の事実であるが，これを保証するには実数の連続性が必要である．本稿では，実数の連続公理から始めて，アルキメデスの原理を証明することにより，上記の極限が導かれることを示す．
準備
実数の連続公理やアルキメデスの原理について考えるには，$\mathbb{R}$の部分集合の有界性や，上限・下限の概念が必要である．本節では，それらの定義と簡単な例を取り上げる．
上界・下界
$b,c$を実数，$A$を$\mathbb{R}$の部分集合とする．
- $b$が$A$の上界（upper bound）であるとは，任意の$a\in A$に対して$a\leq b$が成り立つことをいう．
- $c$が$A$の下界（lower bound）であるとは，任意の$a\in A$に対して$c\leq a$が成り立つことをいう．
- $0$以上の任意の実数は，区間$(-\infty,0]$の上界である．
- $0$以下の任意の実数は，区間$(0,\infty)$の下界である．
上に有界・下に有界
$\mathbb{R}$の部分集合$A$に対して，$U(A)$を$A$の上界全体の集合，$L(A)$を$A$の下界全体の集合とする．すなわち
$$
U(A)=\{b\in\mathbb{R}\mid\text{任意の }a\in A\text{ に対して }a\leq b\}，\\
L(A)=\{c\in\mathbb{R}\mid\text{任意の }a\in A\text{ に対して }c\leq a\}
$$
と定める．
- $U(A)$が空でないとき，$A$は上に有界（bounded above）であるという．
- $L(A)$が空でないとき，$A$は下に有界（bounded below）であるという．
- $A$が上に有界かつ下に有界であるとき，$A$は有界（bounded）であるという．
- $U((-\infty, 0])=[0,\infty)\neq\varnothing$であるから，区間$(-\infty,0]$は上に有界である．
- $L((0,\infty))=(-\infty, 0]\neq\varnothing$であるから，区間$(0,\infty)$は下に有界である．
- $U((0,1))=[1,\infty)\neq\varnothing$，$L((0,1))=(-\infty, 0]\neq\varnothing$であるから，区間$(0,1)$は有界である．
上限・下限
$\mathbb{R}$の部分集合$A$に対して，$U(A)$を$A$の上界全体の集合，$L(A)$を$A$の下界全体の集合とする．
- $U(A)$に最小元$m$が存在するとき，$m$を$A$の上限（supremum）といい，$\sup A$と書く．
- $L(A)$に最大元$M$が存在するとき，$M$を$A$の下限（infimum）といい，$\inf A$と書く．
- $U((-\infty, 0])=[0,\infty)$の最小元は$0$であるから，$\sup((-\infty,0])=0$である．
- $L((0,\infty))=(-\infty, 0]$の最大元は$0$であるから，$\inf((0,\infty))=0$である．
大雑把な言い方をすれば，上限，下限はそれぞれ最大値，最小値を一般化した概念である．すなわち，$\mathbb{R}$の部分集合$A$に最大値，最小値が存在すれば，それぞれ$\sup A, \inf A$に一致する．例3の場合であれば，
- $\sup((-\infty,0])=\max((-\infty,0])=0$
- $\inf((0,\infty))=0$，最小値なし
となる．2では，$(0,\infty)$に最小値が存在しないが，$\inf((0,\infty))=0$が最小値と同じような意味合いを有することになる．
連続公理
ここでは，アルキメデスの原理が成立する根拠となる連続公理を述べる．連続公理，すなわち実数の連続性を証明するには，デデキント切断（Dedekind cut）などによる実数の構成に立ち返る必要がある．しかし，その内容は本稿の主旨から外れるため，詳細は割愛し，連続公理の主張を述べるのみに留める．
$\mathbb{R}$の空でない部分集合$A$が上に有界ならば，$A$の上限$\sup A$が$\mathbb{R}$の中に存在する．
以下，連続公理を認めて議論を進める．
有界単調数列の収束定理
連続公理から導かれる重要な結論の一つが，「有界な単調数列は収束する」という事実である．本節ではこれを証明する．この事実は，アルキメデスの原理の証明において用いられる．
実数列の有界性
$\{a_n\}_{n\in\mathbb{N}}$を実数列とする．
- $\{a_n\}_{n\in\mathbb{N}}$が上に有界であるとは，集合$\{a_n\mid n\in\mathbb{N}\}$が上に有界であることをいう．
- $\{a_n\}_{n\in\mathbb{N}}$が下に有界であるとは，集合$\{a_n\mid n\in\mathbb{N}\}$が下に有界であることをいう．
- $\{a_n\}_{n\in\mathbb{N}}$が有界であるとは，$\{a_n\}_{n\in\mathbb{N}}$が上に有界かつ下に有界であることをいう．
- 数列$\{-n\}_{n\in\mathbb{N}}$は上に有界である．
- 数列$\{n\}_{n\in\mathbb{N}}$は下に有界である．
- 数列$\{(-1)^n\}_{n\in\mathbb{N}}$は有界である．
上にも下にも有界ではない実数列の例を挙げよ．
単調増加・単調減少
$\{a_n\}_{n\in\mathbb{N}}$を実数列とする．
- すべての$n\in\mathbb{N}$に対して$a_n\leq a_{n+1}$が成り立つとき，$\{a_n\}_{n\in\mathbb{N}}$は単調増加（monotonically increasing）であるという．特に，すべての$n\in\mathbb{N}$に対して$a_n< a_{n+1}$が成り立つとき，$\{a_n\}_{n\in\mathbb{N}}$は狭義単調増加（strictly monotonically increasing）であるという．
- すべての$n\in\mathbb{N}$に対して$a_n\geq a_{n+1}$が成り立つとき，$\{a_n\}_{n\in\mathbb{N}}$は単調減少（monotonically decreasing）であるという．特に，すべての$n\in\mathbb{N}$に対して$a_n>a_{n+1}$が成り立つとき，$\{a_n\}_{n\in\mathbb{N}}$は狭義単調減少（strictly monotonically decreasing）であるという．
- 数列$\{n\}_{n\in\mathbb{N}}$は狭義単調増加である．
- 数列$\{-n\}_{n\in\mathbb{N}}$は狭義単調減少である．
有界単調数列の収束定理
「有界な単調数列は収束する」という事実は，正確には次のような主張である．
$\{a_n\}_{n\in\mathbb{N}}$を実数列とする．
- $\{a_n\}_{n\in\mathbb{N}}$が上に有界かつ単調増加ならば，$\{a_n\}_{n\in\mathbb{N}}$は$\sup\{a_n\mid n\in\mathbb{N}\}$に収束する．
- $\{a_n\}_{n\in\mathbb{N}}$が下に有界かつ単調減少ならば，$\{a_n\}_{n\in\mathbb{N}}$は$\inf\{a_n\mid n\in\mathbb{N}\}$に収束する．
-
- 仮定より$A=\{a_n\mid n\in\mathbb{N}\}\neq\varnothing$は上に有界であるから，連続公理より$s=\sup A\in\mathbb{R}$が存在する．上限は上界のひとつであるから，すべての$n\in\mathbb{N}$に対して$a_n\leq s$が成り立つ．
- 上限は上界全体の最小元であるから，任意の$\varepsilon>0$に対して$s-\varepsilon$は$A$の上界ではない．ゆえに，ある$N\in\mathbb{N}$が存在して$s-\varepsilon< a_N$が成り立つ．
- [1], [2]および$\{a_n\}_{n\in\mathbb{N}}$が単調増加であることから，任意の$n\geq N$に対して
$$ s-\varepsilon< a_N\leq a_n\leq s $$
が成り立つ．以上より，任意の$\varepsilon>0$に対し，ある$N\in\mathbb{N}$が存在して
$$ n\geq N\Rightarrow|a_n-s|=s-a_n<\varepsilon $$
となるから，$\{a_n\}_{n\in\mathbb{N}}$は$\sup\{a_n\mid n\in\mathbb{N}\}$に収束する．
定理1（有界単調数列の収束定理）の2を証明せよ．ただし，次の事実を用いてもよい．
$\mathbb{R}$の空でない部分集合$A$が下に有界ならば，$A$の下限$\inf A$が$\mathbb{R}$の中に存在する．
アルキメデスの原理
アルキメデスの原理
アルキメデスの原理は「大小2つの正の数があるとき，小さい方を何倍かすれば，必ず大きい方を超える」という，直感的には自明な主張である．ここでは，前節で述べた有界単調数列の収束定理を用いて，アルキメデスの原理を証明する．
任意の2つの正の実数$a,b$に対して，$na>b$を満たす$n\in\mathbb{N}$が存在する．
任意の$n\in\mathbb{N}$に対して$na\leq b$が成り立つと仮定する．
[1] $b$は実数列$\{na\}_{n\in\mathbb{N}}$の上界である．
[2] $\{na\}_{n\in\mathbb{N}}$は狭義単調増加である．
[3] [1], [2]および定理1の1より，$\{na\}_{n\in\mathbb{N}}$は$s=\sup\{na\mid n\in\mathbb{N}\}$に収束する．
[4] $s$は上限であるから，すべての$n\in\mathbb{N}$に対して$na\leq s$が成り立つ．
[5] 上限は上界全体の最小元であるから，$a>0$より$s-a$は$\{na\mid n\in\mathbb{N}\}$の上界ではない．ゆえに，ある$N\in\mathbb{N}$が存在して$s-a< Na$が成り立つ．
[6] [5]より$s<(N+1)a$かつ$N+1\in\mathbb{N}$であるが，これは[4]に矛盾する．
以上より，$na>b$を満たす$n\in\mathbb{N}$が存在する．
$\displaystyle\lim_{n→\infty}n=\infty$の証明
最後に，アルキメデスの原理を用いて，冒頭に述べた極限についての証明を与えよう．
$$ \lim_{n\to\infty}n=\infty $$
次の[1]を示せばよい．
[1] 任意の$b>0$に対し，ある$N\in\mathbb{N}$が存在して，$n\geq N$ならば$n>b$を満たす．
定理2において$a=1$とすると，任意の$b>0$に対して$N>b$を満たす$N\in\mathbb{N}$が存在することがわかる．この$N$に対して，$n\geq N$ならば$n>b$となるから，[1]は成り立つ．
定理2（アルキメデスの原理）を用いて
$$
\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}=0
$$
を示せ．
演習問題
次の問いに答えよ．
(1) すべての$n\in\mathbb{N}$に対して$n\leq 10^n$が成り立つことを示せ．
(2) 実数列$\{a_n\}_{n\in\mathbb{N}}, \{b_n\}_{n\in\mathbb{N}}$が次の[1], [2]を満たすならば，$\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=0$であることを示せ．
[1] すべての$n\in\mathbb{N}$に対して$0\leq a_n\leq b_n$
[2] $\displaystyle\lim_{n\to\infty}b_n=0$
(3) $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{1}{10^n}=0$を示せ．
(4) 数列$\{c_n\}_{n\in\mathbb{N}}$を
$$
c_n=9\sum_{k=1}^n0.1^k=0.\overbrace{99\cdots9}^n
$$
と定めるとき，$\displaystyle\lim_{n\to\infty}c_n=1$であることを示せ．
問題の解答例
問題1
例えば，数列$\{n(-1)^n\}_{n\in\mathbb{N}}$は，上にも下にも有界ではない．
問題2
- 仮定より$A=\{a_n\mid n\in\mathbb{N}\}\neq\varnothing$は下に有界であるから，$t=\inf A\in\mathbb{R}$が存在する．下限は下界のひとつであるから，すべての$n\in\mathbb{N}$に対して$t\leq a_n$が成り立つ．
- 下限は下界全体の最大元であるから，任意の$\varepsilon>0$に対して$t+\varepsilon$は$A$の下界ではない．ゆえに，ある$N\in\mathbb{N}$が存在して$a_N< t+\varepsilon$が成り立つ．
- [1], [2]および$\{a_n\}_{n\in\mathbb{N}}$が単調減少であることから，任意の$n\geq N$に対して
$$ t\leq a_n\leq a_N< t+\varepsilon $$
が成り立つ．以上より，任意の$\varepsilon>0$に対し，ある$N\in\mathbb{N}$が存在して
$$ n\geq N\Rightarrow|a_n-t|=a_n-t<\varepsilon $$
となるから，$\{a_n\}_{n\in\mathbb{N}}$は$\inf\{a_n\mid n\in\mathbb{N}\}$に収束する．
問題3
次の[1]を示せばよい．
[1] 任意の$a>0$に対し，ある$N\in\mathbb{N}$が存在して，$n\geq N$ならば$\frac{1}{n}< a$を満たす．
定理2において$b=1$とすると，任意の$a>0$に対して$Na>1$を満たす$N\in\mathbb{N}$が存在することがわかる．この$N$に対して，
$$
n\geq N\Rightarrow\frac{1}{n}\leq\frac{1}{N}< a
$$
となるから，[1]は成り立つ．
問題4
- 数学的帰納法を用いる．
- $0\leq 1=10^0, 1\leq 10=10^1$であるから，$n=0,1$のとき$n\leq10^n$は成り立つ．
- $n=k\geq 1$のとき$n\leq10^n$が成り立つと仮定する．このとき，
$$ k+1\leq 2k\leq 10k\leq10\cdot10^k=10^{k+1} $$
となるから，$n=k+1$のときにも$n\leq10^n$が成り立つ．
[1], [2]より，すべての$n\in\mathbb{N}$に対して$n\leq 10^n$が成り立つ，
(2) 任意の$\varepsilon>0$に対して，[2]より$n\geq N$ならば$|b_n|<\varepsilon$を満たす$N\in\mathbb{N}$が存在する．この$N$に対して，[1]より
$$
n\geq N\Rightarrow 0\leq a_n\leq b_n=|b_n|<\varepsilon
$$
が成り立つ．従って$\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=0$である．
(3) (1)より，すべての$n\in\mathbb{N}$に対して$\displaystyle\frac{1}{10^n}\leq\frac{1}{n}$である．また，問題2より$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}=0$である．よって，(2)より$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{1}{10^n}=0$である．
(4) [1] すべての$n\in\mathbb{N}$に対して
$$
1-c_n=1-0.\overbrace{99\cdots9}^n=\frac{1}{10^n}
$$
である．
[2] (3)より，任意の$\varepsilon>0$に対し，ある$N\in\mathbb{N}$が存在して，$n\geq N\Rightarrow\frac{1}{10^n}<\varepsilon$が成り立つ．
[3] [1], [2]より，任意の$\varepsilon>0$に対し，ある$N\in\mathbb{N}$が存在して
$$
n\geq N\Rightarrow 1-c_n=\frac{1}{10^n}<\varepsilon
$$
が成り立つ．
以上より，$\displaystyle\lim_{n\to\infty}c_n=1$である．
問題3の(4)は$1=0.\dot{9}$の証明のひとつである．
