正の約数の個数を大雑把に上から評価する

以降，自然数$n$の正の約数の個数を$d(n)$で表すこととします．
約数関数の定義から
$$\begin{array}{rl}d(n)& =\sum _{d|n,0<d}1\\ & \le 2\sum _{d|n,0<d\le \frac{n}{d}}1\\ & =2\sum _{d|n,0<d\le \sqrt{n}}1\\ & \le 2\sum _{k=1}^{[\sqrt{n}]}1\\ & =2[\sqrt{n}]\end{array}$$
ゆえに，
$$d(n)\le 2[\sqrt{n}]$$
となります．ここで$[]$はガウス記号を表します．

何か物足りないので，こんな問題を考えてみます．

定理1の導出過程で不等号が全て等号になる$n$を探すので，条件は以下のようになります。

ここからは場合わけです．

1. $[\sqrt{n}]=1$のとき，
   $d(n)=2$なので$n$は素数．
   $n\ge 5$なら$\sqrt{n}>2$であるから，$n=2,3$．

2. $[\sqrt{n}]=2$のとき，
   $n$は$1,2$を約数にもち，$n=2a$となる$a(>2)$が存在する．
   不等式$\sqrt{2a}<3$を解けば$a=3,4$であるから，$n=6,8$．

3. $[\sqrt{n}]=3$のとき，
   $n$は$1,2,3$を約数にもち，$n=6a$となる$a(>1)$が存在する．
   不等式$\sqrt{6a}<4$を解けば$a=2$であるから，$n=12$．

4. $[\sqrt{n}]=4$のとき，
   $n$は$1,2,3,4$を約数にもち，$n=12a$となる$a(>1)$が存在する．
   不等式$\sqrt{12a}<5$を解けば$a=2$であるから，$n=24$．

5. $[\sqrt{n}]=N\ge 5$のとき解が存在しないこと証明する．
   $\mathrm{lcm}(1,2,\cdots ,N)=L(N)$として，$n=L(N)a$となる$a(\ge 1)$が存在すると仮定する．
   $\gcd (N-1,N)=1$より$L(N)=kN(N-1)(k\ge 2)$と表すことができ，$[\sqrt{n}]=N$より
   $$\begin{array}{rl}n& <(N+1{)}^2\\ L(N)a& \le N(N+2)\\ a& \le \frac{N(N+2)}{kN(N-1)}\\ & =\frac{1}{k}+\frac{3}{k(N-1)}\\ & <1\end{array}$$
   となる．これは仮定に矛盾し，この場合の解$n$は存在しない．

以上により，$d(n)=2[\sqrt{n}]$の解は$n=2,3,6,8,12,24$のみだとわかります．

今回の記事はこれで以上です．ここまで読んで頂きありがとうございました．