正の約数の個数を大雑把に上から評価する

以降，自然数$n$の正の約数の個数を$d(n)$で表すこととします．
約数関数の定義から
$$ \begin{align} d(n)&=\sum_{d\vert n,0\lt d}1 \\ &\leq 2\sum_{d\vert n,0\lt d\leq \frac{n}{d}}1 \\ &=2\sum_{d\vert n,0\lt d\leq \sqrt{n}}1 \\ &\leq 2\sum_{k=1}^{\lbrack \sqrt{n} \rbrack}1 \\ &=2\lbrack \sqrt{n} \rbrack \end{align} $$
ゆえに，
$$ d(n) \leq 2\lbrack \sqrt{n} \rbrack $$
となります．ここで$\lbrack \ \ \rbrack$はガウス記号を表します．

何か物足りないので，こんな問題を考えてみます．

定理1の導出過程で不等号が全て等号になる$n$を探すので，条件は以下のようになります。

ここからは場合わけです．

1. $\lbrack \sqrt n \rbrack =1$のとき，
   $d(n)=2$なので$n$は素数．
   $n \geq 5$なら$\sqrt n \gt 2$であるから，$n=2,3$．

2. $\lbrack \sqrt n \rbrack =2$のとき，
   $n$は$1,2$を約数にもち，$n=2a$となる$a(\gt 2)$が存在する．
   不等式$\sqrt{2a}\lt 3$を解けば$a=3,4$であるから，$n=6,8$．

3. $\lbrack \sqrt n \rbrack =3$のとき，
   $n$は$1,2,3$を約数にもち，$n=6a$となる$a(\gt 1)$が存在する．
   不等式$\sqrt{6a}\lt 4$を解けば$a=2$であるから，$n=12$．

4. $\lbrack \sqrt n \rbrack =4$のとき，
   $n$は$1,2,3,4$を約数にもち，$n=12a$となる$a(\gt 1)$が存在する．
   不等式$\sqrt{12a}\lt 5$を解けば$a=2$であるから，$n=24$．

5. $\lbrack \sqrt n \rbrack =N \geq 5$のとき解が存在しないこと証明する．
   $\mathrm{lcm}(1,2,\cdots ,N)=L(N)$として，$n=L(N)a$となる$a(\geq 1)$が存在すると仮定する．
   $\mathrm{gcd}(N-1,N)=1$より$L(N)=kN(N-1) \ \ (k \geq 2)$と表すことができ，$\lbrack \sqrt n \rbrack =N $より
   $$ \begin{align} n & \lt (N+1)^2 \\ L(N)a & \leq N(N+2) \\ a & \leq \frac{N(N+2)}{ \ kN(N-1) \ } \\ & =\frac{1}{k} + \frac{3}{k(N-1)} \\ & \lt 1 \end{align} $$
   となる．これは仮定に矛盾し，この場合の解$n$は存在しない．

以上により，$ d(n)=2\lbrack \sqrt{n} \rbrack $の解は$n=2,3,6,8,12,24$のみだとわかります．

今回の記事はこれで以上です．ここまで読んで頂きありがとうございました．