線形代数-1-2 〜行列の演算〜

どうも、いもけんぴぃです。

さっそく問題に取り掛かっていきましょう。

<解説>
ひたすら順番に計算していくだけですね。
(1)
$A-2B$
$=$$\begin{pmatrix} 0-2\times3 & 1-2\times(-2) & 2-2\times1 \\ 3-2\times1 & 1-2\times0 & -1-2\times(-1) \end{pmatrix}$
$=$$\begin{pmatrix} -6 & 5 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} $
(2)
$3A+4B$
$=$$\begin{pmatrix} 3\times0+4\times3 & 3\times1+4\times(-2) & 3\times2+4\times1 \\ 3\times3+4\times1 & 3\times1+4\times0 & 3\times(-1)+4\times(-1) \end{pmatrix}$
$=$$\begin{pmatrix} 12 & -5 & 10 \\ 13 & 3 & -7 \end{pmatrix} $
(3)
$-A+B$
$=$$\begin{pmatrix} -0+3 & -1-2 & -2+1 \\ -3+1 & -1+0 & 1-1 \end{pmatrix}$
$=$$\begin{pmatrix} 3 & -3 & -1 \\ -2 & -1 & 0 \end{pmatrix} $

問4

$A = $$\begin{pmatrix} -1 & 0 & 3 \\ 2 & 1 & 1 \end{pmatrix} $,$B = $$\begin{pmatrix} 3 & -2 \\ 7 & 1 \end{pmatrix} $とするとき、$AB,BA$を求めよ.

<解説>
まず、掛け算が定義されるかを確認しましょう.
$A$は$2\times3$行列,$B$は$2\times2$行列ですので、$BA$は定義されますが$AB$は定義されないことが分かります.あとは計算をするのみです.
$BA=\begin{pmatrix} 3 & -2 \\ 7 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 & 0 & 3 \\ 2 & 1 & 1 \end{pmatrix} $
$=$$\begin{pmatrix} 3\times(-1)-2\times2& 3\times0-2\times1 & 3\times3-2\times1 \\ 7\times(-1)+1\times2 & 7\times0+1\times1 & 7\times3+1\times1 \end{pmatrix} $
$=$$\begin{pmatrix} -7 & -2 & 7 \\ -5 & 1 & 22 \end{pmatrix} $

問5

$A = $$\begin{pmatrix} a_{1},a_{2}, \cdots ,a_{n} \end{pmatrix} $,$B = $$\begin{pmatrix} b_{1} \\ b_{2} \\ \vdots \\ b_{n} \end{pmatrix} $に対して,積$BA$を求めよ.

<解説>
$B$は$n\times1$行列,$A$は$1\times n$行列なので積$BA$は定義されます.
$BA$$=\begin{pmatrix} b_{1} \\ b_{2} \\ \vdots \\ b_{n} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} a_{1},a_{2}, \cdots ,a_{n} \end{pmatrix} $
$=$$ \begin{eqnarray} \left( \begin{array}{cc} a_{1}b_{1} & a_{1}b_{1} & \cdots & a_{1}b_{n} \\ a_{2}b_{1} & a_{2}b_{2} & \cdots & a_{2}b_{n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots\\ a_{n}b_{1} & a_{n}b_{2} & \cdots & a_{n}b_{n} \end{array} \right) \end{eqnarray}$