Frullani integralに似た形の積分２
前回に引き続きFrullani integralに似た形の積分を考えます。今回示すのはこちらのかなり一般的な式です。
$f,g$が$]0,+\infty[$上で$C^1$級で、$f(0)=g(0)$ かつ$f(\infty)=\lim_{x\to+\infty}f(x),\;g(\infty)=\lim_{x\to+\infty}g(x)$が存在して$f(\infty)=g(\infty)$が成り立つとき、$a,b,p,q>0$に対して次が成り立つ。
$$\int_0^\infty \frac{f(ax^p)-g(bx^q)}xdx=(f(\infty)-f(0))\left(\frac1p\ln(a)-\frac1q\ln(b)\right)-\frac1p\int_0^\infty f'(x)\ln(x)dx+\frac1q\int_0^\infty g'(x)\ln(x)dx$$
$$\begin{align*} \int_0^\infty \frac{f(ax^p)-g(bx^q)}xdx&=\int_0^\infty \frac{f(ax^p)-f(\infty)-(g(bx^q)-g(\infty))}xdx\\ &=\lim_{\epsilon\to0}\;\int_\epsilon^\infty \frac{f(ax^p)-f(\infty)}{x}dx-\int_\epsilon^\infty \frac{g(bx^q)-g(\infty)}{x}dx\\ &=\lim_{\epsilon\to0}\;\frac1p\int_{a\epsilon^p}^\infty \frac{f(x)-f(\infty)}{x}dx-\frac1q\int_{b\epsilon^q}^\infty \frac{g(x)-g(\infty)}{x}dx \\ \end{align*}$$
ここで
$$F_1(x)=\int_x^\infty\frac{f(x)-f(\infty)}xdx,\;\;\mathrm{Fin}(x)=\int_0^x\frac{f(0)-f(x)}{x}dx$$
$$G_1(x)=\int_x^\infty\frac{g(x)-g(\infty)}xdx,\;\;\mathrm{Gin}(x)=\int_0^x\frac{g(0)-g(x)}{x}dx$$
と定義すると、前の記事の定理３を用いて次のように計算できます。
$$\begin{align*}
\int_0^\infty &\frac{f(x^p)-f(x^q)}{x}dx=\lim_{\epsilon\to0}\;\frac1pF_1(a\epsilon^p)-\frac1qG_1(b\epsilon^q)\\
&=\lim_{\epsilon\to0}\;\frac1p\left(\mathrm{Fin}(a\epsilon^p)-(f(0)-f(\infty))\ln(a)-p(f(0)-f(\infty))\ln(\epsilon)-\int_0^\infty f'(x)\ln(x)dx\right)\\
&\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;-\frac1q\left(\mathrm{Gin}(b\epsilon^q)-(g(0)-g(\infty))\ln(b)-q(g(0)-g(\infty))\ln(\epsilon)-\int_0^\infty g'(x)\ln(x)dx\right)\\
&=(f(\infty)-f(0))\left(\frac1p\ln(a)-\frac1q\ln(b)\right)-\frac1p\int_0^\infty f'(x)\ln(x)dx+\frac1q\int_0^\infty g'(x)\ln(x)dx
\end{align*}$$
この式は前回の結果やFrullani integral、さらにはラマヌジャンによるFrullani integralの一般化も含んでいます。
かなりいろいろなことができそうですね。短いですがこれで終わります。
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