余弦定理の証明

証明

今回は例として $a^2$=$b^2$$c^2$-$2bc\cos A$ を証明してみましょう。
三角形ABCの頂点Bから垂線を引き辺ACに交わった点をHとする時,
BH=csinA
HC=b-ccosA
ということが言えます。
三平方の定理より
$B{C}^2$=$B{H}^2$+$H{C}^2$
これに代入して
$a^2=(csinA{)}^2+(b-ccosA{)}^2$

$=c^{2}si{n}^{2}A+b^2-2bccosA+c^{2}co{s}^{2}A$

$=b^2+c^2(si{n}^{2}A+co{s}^{2}A)-2bccosA$

$=b^2+c^2-2bccosA$

よって
$a^2$=$b^2$$c^2$-$2bc\cos A$
が成り立つことが言えます。