余弦定理の証明

証明

今回は例として $ a^2 $=$ b^2 $$ c^2 $-$ 2bc \cos A $ を証明してみましょう。
三角形ABCの頂点Bから垂線を引き辺ACに交わった点をHとする時,
BH=csinA
HC=b-ccosA
ということが言えます。
三平方の定理より
$ BC^2 $=$ BH^2 $+$ HC^2 $
これに代入して
$ a^2 = (csinA)^2 + (b-ccosA)^2 $

$ = c^2sin^2A + b^2 - 2bccosA + c^2cos^2A$

$ = b^2 + c^2(sin^2A + cos^2A) - 2bccosA$

$ =b^2 + c^2 - 2bccosA$

よって
$ a^2 $=$ b^2 $$ c^2 $-$ 2bc \cos A $
が成り立つことが言えます。