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競技数学解説

匿式図形問題エスパー杯 The 2nd (T-GUESS Cup 2)　問題Ａ～Ｃの解説

自作問題,初等幾何,TGUESSCup2
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　先日開催した 匿式図形問題エスパー杯 The 2nd (Tock's Geometry "Using Extra-Sensory Solutions" Cup - The 2nd)、通称T-GUESS Cup 2の問題を解説する。どの問題も決して簡単ではなかったと推察するが、まずはそれぞれの問題を紹介しよう。目次の通り、問題紹介のすぐ後に解答を記載しているので、もしも自力で解きたい読者がいらっしゃればその直前でスクロールを停止していただきたい。


問題Ａ

　1辺が2である正方形ABCDの内部にBE=2をみたす点Eをとり、点Dについて点Eと対称な点をFとすると、BE∥CFが成立した。CFの長さを求めよ。

数オリの予選でも最初か2問目くらいに出題されそう 数オリの予選でも最初か2問目くらいに出題されそう


問題Ｂ

　三角形ABCにおいて、∠A内の傍心をJとし、線分AJを直径とする円と半直線JCの交点をD(≠J)とする。ACとBDの交点をPとすれば△ABP=22, △CDP=7となるとき、△BCPの面積を求めよ。

そういえば22/7って円周率の近似値なんですよね そういえば22/7って円周率の近似値なんですよね


問題Ｃ

　長方形ABCDの辺AB上に点E、辺AD上に点Fをとる。EFを折り目として長方形ABCDを折ると、点Aは辺BC上の点Pに移った。線分DF上の点QがDQ=7, FQ=9をみたし、3直線AC,EQ,FPが1点で交わるとき、AFの長さを求めよ。

本当に条件が足りているか疑わしい 本当に条件が足りているか疑わしい


問題Ｄ

　五角形ABCDEはAB=CD=DEをみたす。辺BC上に2点F,Gをとると、4点B,F,G,Cはこの順に並び、BF=CGが成立した。∠CAE=∠ACD=41∘, ∠CDF=∠EDF=82∘, ∠BAC=57∘のとき、直線AGと直線DFのなす角(のうち90∘以上180∘未満であるもの)を求めよ。

そもそも図を描くのが難しい そもそも図を描くのが難しい


解答

問題Ａ問題Ｂ問題Ｃ問題Ｄ
　25−2　　8　　12　　115∘　
　以下で問題Ａ～Ｃの解説をする。問題Ｄの解説は長くなるので、別の記事に掲載する。


問題Ａの解説

シンプルイズベスト、ベストイズシンプル シンプルイズベスト、ベストイズシンプル


　点Dについて点Cと対称な点をGとすると、明らかにDE=DF, DC=DG, ∠CDF=∠GDEとなり、2辺とその間の角がそれぞれ等しいので△CDF≡△GDEである。したがって∠DEB+∠DEG=∠DEB+∠DFC=180∘(∵BE∥CF)であるから、3点B,E,Gはこの順で同一直線上にある。
　したがってCF=GE=BG−BE=BC2+CG2−BE=25−2を得る。


問題Ｂの解説

どの辺の長さも求めなくてよい(というか求められない)問題 どの辺の長さも求めなくてよい(というか求められない)問題


　辺ACの中点をMとする。線分AJは円の直径であったから、円周角の定理(もしくはタレスの定理)より∠ADJ=90∘と判る。すなわち△ADCは直角三角形であり、特に点Mは△ADCの外心となる(∵点Mは斜辺の中点)。点Jは△ABCの傍心なので∠BCJ=∠ACDが成り立ち、MC=MDから∠MCD=∠MDCを得るので、これらを統合して∠BCJ=∠MDJ、つまりBC∥MDが導かれる。
　したがって△BCD=△BCM=△ABC2となり、面積を計算することで△BCP+22=2(△BCP+7)、ゆえに△BCP=8と示される。


問題Ｃの解説

正解者全員が想定解より簡潔に解いてきたという噂 正解者全員が想定解より簡潔に解いてきたという噂


　3直線AC,EQ,FPが交わる点をXとし、Pから引いたEFの平行線と半直線CDの交点をRとする。また、点Fを中心とする半径AFの半円を描き、線分DFとの共有点をSとする。このとき、AE∥CR, EF∥RP, FA∥PCより、3つの角がそれぞれ等しいので△AEF∼△CRPが従い、特に点Xはこの相似の中心となっている。すなわち4点E,X,Q,Rはこの順で同一直線上に存在する。
　円周角の定理より∠ASP=∠AFP2=∠AFEであり、ここからEF∥PSを得るので、3点P,S,Rはこの順で同一直線上に存在する。DEとPRの交点をTとすると、長さの比を計算して、
DT:TE=DS:SF=DS:AF=DR:AE=DQ:QA
が判る。よってAE∥QTとなり、3つの角がそれぞれ等しいので△AEF∼△QTSが導かれる。この相似の中心は明らかに点Dであるから、AF:FD=QS:SDよりAF:16=(AF−9):(16−AF)を得て、これを解くとAF=12を得る。


主催者コメント

　良問揃いである。繰り返す。良問揃いである。さらに繰り返す。良問揃いである。誰が何と言おうとも、良問揃いである。どうか良問揃いであると認めていただきたい。これでも作問に4ヶ月程度を費やしているのだ。およそ40問の候補の中から厳選したセットなのだ。頼むから良問と言ってくれ。無理か。無理なのか。そこを何とか。
投稿日：2022年5月8日
OptHub AI Competition

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投稿者

匿(Tock)
匿(Tock)
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主に初等幾何・レムニスケート。時々偏差値・多重根号。 「たとえ作曲家が忘れ去られた日であっても、彼の旋律が街並みを縫って美しく流れていますように。」

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