線形代数-1-3 〜行列の演算法則〜

どうも、いもけんぴぃです。

今回からだんだんと大学数学っぽくなるので頑張っていきましょう。

目次

• 問6
• 問7
• 問8
• おまけ
• 次回予告

問6

<解説>
まず,左辺の行列の積を求めます.
$Ax$$=$$ \begin{eqnarray} \left( \begin{array}{cc} 1 & 1 & 9 \\ 0 & -2 & 3 \\ 2 & 9 & 1 \\ \end{array} \right) \end{eqnarray} $$\begin{eqnarray} \left( \begin{array}{cc} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ \end{array} \right) \end{eqnarray} $
$=$$\begin{eqnarray} \left( \begin{array}{cc} x_{1}+x_{2}+9x_{3} \\ -2x_{2}+3x_{3} \\ 2x_{1}+9x_{2}+x_{3} \\ \end{array} \right) \end{eqnarray} $

これらの各成分が右辺の対応する成分と等しいので、
$$ \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} x_{1}+x_{2}+9x_{3}=1 \\ -2x_{2}+3x_{3}=2 \\ 2x_{1}+9x_{2}+x_{3}=3 \\ \end{array} \right. \end{eqnarray} $$
これで完了ですね.

問7

<解説>
(1)
可換であるということはすなわち$AB$と$BA$が一致することであるので,$AB$と$BA$をそれぞれ計算して比べてみましょう.

まず,$AB$を計算します.

$AB$$=$$ \begin{eqnarray} \left( \begin{array}{cc} 1 & a \\ 0 & 1 \\ \end{array} \right) \end{eqnarray} $$ \begin{eqnarray} \left( \begin{array}{cc} 1 & b \\ 0 & 1 \\ \end{array} \right) \end{eqnarray} $

$=$$ \begin{eqnarray} \left( \begin{array}{cc} 1\times1 + a\times0 & 1\times b + a\times1 \\ 0\times1 + 1\times0 & 0\times b + 1\times1 \\ \end{array} \right) \end{eqnarray} $

$=$$ \begin{eqnarray} \left( \begin{array}{cc} 1 & a+b \\ 0 & 1 \\ \end{array} \right) \end{eqnarray} $

次に$BA$を計算します.

$BA$$=$$ \begin{eqnarray} \left( \begin{array}{cc} 1 & b \\ 0 & 1 \\ \end{array} \right) \end{eqnarray} $$ \begin{eqnarray} \left( \begin{array}{cc} 1 & a \\ 0 & 1 \\ \end{array} \right) \end{eqnarray} $

$=$$ \begin{eqnarray} \left( \begin{array}{cc} 1\times1 + b\times0 & 1\times a + b\times1 \\ 0\times1 + 1\times0 & 0\times a + 1\times1 \\ \end{array} \right) \end{eqnarray} $

$=$$ \begin{eqnarray} \left( \begin{array}{cc} 1 & a+b \\ 0 & 1 \\ \end{array} \right) \end{eqnarray} $

これで$AB$と$BA$が可換であることが確かめられました.

(2)
こちらはただの計算問題です.
最初に$-2$で括っても計算量はさほど変わりませんので,お好みで.

$AB$$=$$ \begin{eqnarray} \left( \begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 1 & 1 \\ \end{array} \right) \end{eqnarray} $$ \begin{eqnarray} \left( \begin{array}{cc} 2 & 2 \\ -2 & -2 \\ \end{array} \right) \end{eqnarray} $

$=$$ \begin{eqnarray} \left( \begin{array}{cc} 1\times2 + 1\times(-2) & 1\times2 + 1\times(-2) \\ 1\times2 + 1\times(-2) & 1\times2 + 1\times(-2) \\ \end{array} \right) \end{eqnarray} $

$=$$ \begin{eqnarray} \left( \begin{array}{cc} 0 & 0 \\ 0 & 0 \\ \end{array} \right) \end{eqnarray} $

$=$$O$

これで示せましたね.

(3)
$X,Y$をそれぞれ$ \begin{eqnarray} \left( \begin{array}{cc} a & b \\ c & d \\ \end{array} \right) \end{eqnarray} $とおいて計算して確かめます

$(i)$まず$AX=I$となる行列$X$は存在しないことを示します.

$X$$=$$ \begin{eqnarray} \left( \begin{array}{cc} x_{1} & x_{2} \\ x_{3} & x_{4} \\ \end{array} \right) \end{eqnarray} $とおく.このとき

$AX$$=$$ \begin{eqnarray} \left( \begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 2 & 2 \\ \end{array} \right) \end{eqnarray} $$ \begin{eqnarray} \left( \begin{array}{cc} x_{1} & x_{2} \\ x_{3} & x_{4} \\ \end{array} \right) \end{eqnarray} $

$=$$ \begin{eqnarray} \left( \begin{array}{cc} x_{1} + x_{3} & x_{2} + x_{4} \\ 2x_{1}＋2x_{3} & 2x_{2}＋2x_{4} \end{array} \right) \end{eqnarray} $

これが単位行列となるとき,満たすべき条件は

$\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} x_{1} + x_{3} ＝1\\ 2x_{1} + 2x_{3}＝0 \\ \end{array} \right. \end{eqnarray} $　$\land$$ \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} x_{2} + x_{4}＝0 \\ 2x_{2} + 2x_{4}＝1 \\ \end{array} \right. \end{eqnarray}$

であるが,これを満たす$x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}$は存在しないので,$AX=I$となる行列$X$は存在しません.

$(ii)$次に$YA=I$となる行列$Y$は存在しないことを示します.

$Y$$=$$\begin{eqnarray} \left( \begin{array}{cc} y_{1} & y_{2} \\ y_{3} & y_{4} \end{array} \right) \end{eqnarray} $とおく.このとき

$YA$$=$$\begin{eqnarray} \left( \begin{array}{cc} y_{1} & y_{2} \\ y_{3} & y_{4} \end{array} \right) \end{eqnarray} $$ \begin{eqnarray} \left( \begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 2 & 2 \\ \end{array} \right) \end{eqnarray}$

$=$$ \begin{eqnarray} \left( \begin{array}{cc} y_{1} ＋2y_{2} & y_{1} +2y_{4} \\ y_{2}＋2x_{4} & y_{2}＋2y_{4} \end{array} \right) \end{eqnarray} $

これが単位行列となるとき,満たすべき条件は

$\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} y_{1} ＋2y_{2} ＝1\\ y_{1} ＋2y_{2}＝0 \\ \end{array} \right. \end{eqnarray} $　$\land$$ \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} y_{2}＋2y_{4}＝0 \\ y_{2}＋2y_{4}＝1 \\ \end{array} \right. \end{eqnarray}$

であるが,これを満たす$y_{1},y_{2},y_{3},y_{4}$は存在しないので,$YA=I$となる行列$Y$は存在しません.

以上,$(i),(ii)$より$AX=I,YA=I$となる行列$X,Y$は存在しないことが示せました.

問8

<解説>
どちらかを確かめるにしても累乗していくところからはじまります.

$(i)$$A$について確認します.
$A^2$$=$$A\times A$

$=$$ \begin{eqnarray} \left( \begin{array}{cc} 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{array} \right) \end{eqnarray} $$ \begin{eqnarray} \left( \begin{array}{cc} 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{array} \right) \end{eqnarray} $

$=$$ \begin{eqnarray} \left( \begin{array}{cc} 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{array} \right) \end{eqnarray} $

$A^3$$=$$A\times A^2$

$=$$ \begin{eqnarray} \left( \begin{array}{cc} 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{array} \right) \end{eqnarray} $$ \begin{eqnarray} \left( \begin{array}{cc} 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{array} \right) \end{eqnarray} $

$=$$ \begin{eqnarray} \left( \begin{array}{cc} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{array} \right) \end{eqnarray} $

$A^4$$=$$A\times A^3$

$=$$ \begin{eqnarray} \left( \begin{array}{cc} 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{array} \right) \end{eqnarray} $$ \begin{eqnarray} \left( \begin{array}{cc} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{array} \right) \end{eqnarray} $

$=$$ \begin{eqnarray} \left( \begin{array}{cc} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{array} \right) \end{eqnarray} $

よって$A$はべき零行列であることがわかりました.

$(ii)$$B$について確認します.

$B^2$$=$$B\times B$

$=$$ \begin{eqnarray} \left( \begin{array}{cc} 2 & -3 & 1 \\ 1 & -2 & 1 \\ 1 & -3 & 2 \\ \end{array} \right) \end{eqnarray} $$ \begin{eqnarray} \left( \begin{array}{cc} 2 & -3 & 1 \\ 1 & -2 & 1 \\ 1 & -3 & 2 \\ \end{array} \right) \end{eqnarray} $

$=$$ \begin{eqnarray} \left( \begin{array}{cc} 4-3+1 & -6+6-3 & 2-3+2 \\ 2-2+1 & -3+4-3 & 1-2+2 \\ 2-3+2 & -3+6-6 & 1-3+4 \\ \end{array} \right) \end{eqnarray} $

$=$$ \begin{eqnarray} \left( \begin{array}{cc} 2 & -3 & 1 \\ 1 & -2 & 1 \\ 1 & -3 & 2 \\ \end{array} \right) \end{eqnarray} $

よって$B$はべき等行列であることがわかりました.

おまけ

問8の$A$行列についてのおまけです！

ある正方行列$A$について,対角成分がすべて$0$のとき
$\mathrm{Tr}(A)=0$ より,

$A^n$$=$$O$

が成り立ちます.
証明は未履修の事柄を使用しますので,興味がある方は下の"参考文献"欄のリンクから見てみてください.

次回予告

次回は第4節の問9,問10,問11,問12の4本立てでお送りします。
次回もまた見てくださいね！
じゃ〜んけ〜ん
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ぐー！