線形代数-1-4 〜行列の転置〜

どうも、いもけんぴぃです。

今回は全体的に簡単ですので気楽に見てください。

目次

• 問9
• 問10
• 問11
• 問12
• 次回予告

問9

<解説>
それぞれ定義にしたがって並べ替えるだけですね.
${}^{t}a$$=$$\begin{array}{r}\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\end{array}\right)\end{array}$

${}^{t}B$$=$$\begin{array}{r}\left(\begin{array}{cc}4& 2\\ 3& 1\end{array}\right)\end{array}$

以上です.

問10

<解説>
${}^t(ab)={}^{t}b{}^{t}a$を利用します.

${}^t(ABC)$
$=$${}^t((AB)C)$
$=$${}^{t}C{}^t(AB)$
$=$${}^{t}C{}^{t}B{}^{t}A$

これで証明完了です.

問11

<解説>
ある正方行列を$A$,その(i,j)成分を$[a_{i,j}]$とおく.

$A$が交代行列である.
$\leftrightarrow$ ${}^{t}A=-A$
$\leftrightarrow$ $\mathrm{\forall }i,j$に対して$a_{i,j}=-a_{j,i}$
ここで,
$i=j$のとき
$\mathrm{\forall }i$に対して$a_{i,i}=-a_{i,i}$
$\leftrightarrow$ $\mathrm{\forall }i$に対して$a_{i,i}=0$

よって交代行列の対角成分はすべて0である.

問12

<解説>
${}^t(A^2)=({}^{t}A{)}^2$　であることと,
${}^{t}A=-A$ であることを用います.

${}^t(A^2)=({}^{t}A{)}^2=(-A{)}^2=A^2$

これで示せました.

次回予告

次回は第5節の問13,問14の2本立てでお送りします。
次回もまた見てくださいね！
じゃ〜んけ〜ん
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ちょき！