線形代数-1-4 〜行列の転置〜

どうも、いもけんぴぃです。

今回は全体的に簡単ですので気楽に見てください。

目次

• 問9
• 問10
• 問11
• 問12
• 次回予告

問9

<解説>
それぞれ定義にしたがって並べ替えるだけですね.
${}^t\ \!a$$=$$\begin{eqnarray} \left( \begin{array}{cc} 1 & 2 & 3 \\ \end{array} \right) \end{eqnarray} $

${}^t\ \!B$$=$$\begin{eqnarray} \left( \begin{array}{cc} 4 & 2 \\ 3 & 1 \\ \end{array} \right) \end{eqnarray}$

以上です.

問10

<解説>
$ {}^t\ \! (ab)= {}^t\ \! b {}^t\ \! a $を利用します.

$ {}^t\ \! (ABC) $
$=$$ {}^t\ \! ((AB)C) $
$=$$ {}^t\ \! C {}^t\ \! (AB) $
$=$$ {}^t\ \! C {}^t\ \! B {}^t\ \! A $

これで証明完了です.

問11

<解説>
ある正方行列を$A$,その(i,j)成分を$[a_{i,j}]$とおく.

$A$が交代行列である.
$\leftrightarrow$ $ {}^t\ \! A=-A$
$\leftrightarrow$ $\forall i,j$に対して$a_{i,j}=-a_{j,i}$
ここで,
$i=j$のとき
$\forall i$に対して$a_{i,i}=-a_{i,i}$
$\leftrightarrow$ $\forall i$に対して$a_{i,i}=0$

よって交代行列の対角成分はすべて0である.

問12

<解説>
$ {}^t\ \! (A^2)=({}^t\ \! A)^2$　であることと,
$ {}^t\ \! A=-A$ であることを用います.

$ {}^t\ \! (A^2)=({}^t\ \! A)^2=(-A)^2=A^2$

これで示せました.

次回予告

次回は第5節の問13,問14の2本立てでお送りします。
次回もまた見てくださいね！
じゃ〜んけ〜ん
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ちょき！